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直角三角形存在性問(wèn)題
1、如圖，對(duì)稱軸為的拋物線與軸相交于點(diǎn)、.
(1）求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連結(jié)AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線.點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，當(dāng)0＜S≤18時(shí)，求的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使△OP為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
2. （2012山東棗莊10分）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為 (－1，0) ．如圖所示，B點(diǎn)在拋物線y＝x2＋x－2圖象上，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3．
（1）求證：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3、（2012內(nèi)蒙古）如圖，拋物線與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AF交y軸于點(diǎn)E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點(diǎn)P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的圖象過(guò)點(diǎn)，并與直線相交于、 兩點(diǎn).
求拋物線的解析式（關(guān)系式）；
過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
除點(diǎn)外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

直角三角形
1、解：（1）∵點(diǎn)B與O（0，0）關(guān)于x=3對(duì)稱, ∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）.
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入得： 36+12=0, ∴=. ∴拋物線解析式為.
當(dāng)=3時(shí)，, ∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3）
（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),∴ 解得, ∴.
∵直線∥AB且過(guò)點(diǎn)O,∴直線解析式為.∵點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)且橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)坐標(biāo)為（）
當(dāng)在第四象限時(shí)（t＞0），=12×6×3+×6×=9+3.
∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴-3＜≤3.又＞0,∴0＜≤3.5分
當(dāng)在第二象限時(shí)（＜0）,
作PM⊥軸于M，設(shè)對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為N. 則
=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.6分
∴t的取值范圍是-3≤＜0或0＜≤3.
(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分
2、【答案】解：（1）證明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC為等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為 (－3，1)。
設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，
∴，解得。∴BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－ x－ 。
由題意可得：，解得，。∴P2（－， ）。
∴P點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（－，－）、P2（－， ）。
3、
（3）存在。理由如下：
①當(dāng)∠FCP=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
∵點(diǎn)E是直線y=﹣x﹣1與y軸的交點(diǎn)，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。
②當(dāng)CF是斜邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AF于點(diǎn)P。
設(shè)P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F(xiàn)（4，﹣5），
∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。
∴點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上。∴x1=2。
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。
綜上所述，直線AF上存在點(diǎn)P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。
4、解： 如圖，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)交軸于點(diǎn)，所以，，，即.
又，一次函數(shù)交軸于點(diǎn)，所以，，，即.
由、是拋物線的圖象上的點(diǎn)，
所以，拋物線的解析式是：
如圖，、 ∴ 在中，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)：
設(shè)除點(diǎn)外，在坐標(biāo)軸上還存在點(diǎn)，使得是直角三角形，即或
.在中，若，那么是以為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，這時(shí)會(huì)在軸的正半軸上和軸的正半軸上.
.若交點(diǎn)在軸的正半軸上（如圖），設(shè)，則有，



，此時(shí)
.若交點(diǎn)在軸的正半軸上（如圖），設(shè)，此時(shí)過(guò)作垂直軸于點(diǎn)，則有，于是：

，
，
此時(shí)，或
.在中，若，即過(guò)作，這時(shí)會(huì)在軸的正半軸上和軸的負(fù)半軸上.
. 在軸的正半軸上，如圖，設(shè)，同樣過(guò)作垂直軸于點(diǎn)，則在中，有 ， 此時(shí)，
. 在軸的負(fù)半軸上，如圖，設(shè)，過(guò)作垂直軸于點(diǎn)，則在中，有，即： 此時(shí)，
綜上所述，除點(diǎn)外，在坐標(biāo)軸上還存在點(diǎn)，使得是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是：、或、或、或，或共五個(gè)點(diǎn).

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