資源簡(jiǎn)介

菱形存在性問題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-18，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．已知拋物線y=x2 + 1 (如圖所示)．
(1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(__ __，_ _)，對(duì)稱軸是__ __；
(2)已知y軸上一點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)D.直線y=﹣2x ﹣ 1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（-2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.
（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；
（2）P(x,y)是拋物線上的一點(diǎn)，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說明理由.
4．如圖，二次函數(shù)y=x2﹣x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′．
（1）若A（﹣4，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM′的面積；
（3）是否存在拋物線y=x2﹣x+c，使得四邊形AMBM′為正方形？若存在，請(qǐng)求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
菱形答案
1、解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F
在Rt△BCF中 ∵∠BCO=45°，BC=6 2∴CF=BF=12
∵C 的坐標(biāo)為（-18，0） ∴AB=OF=6 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，12）．
（2）過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G ∵AB∥DG ∴△ODG∽△OBA 21世紀(jì)教育網(wǎng)
∵ ，AB=6，OA=12 ∴DG=4，OG=8 ∴D（-4，8），E（0，4）
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0） ∴ ∴ ∴直線DE解析式為．
（3）結(jié)論：存在．
設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，．
如答圖2所示，有四個(gè)菱形滿足題意．
①菱形OEP1Q1，此時(shí)OE為菱形一邊．則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF-P1E= ．
易知△P1NF為等腰直角三角形，∴P1N=NF= ；
設(shè)P1Q1交x軸于點(diǎn)N，則NQ1=P1Q1-P1N= ，又ON=OF-NF= ，∴Q1；
②菱形OEP2Q2，此時(shí)OE為菱形一邊．此時(shí)Q2與Q1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q2；
③菱形OEQ3P3，此時(shí)OE為菱形一邊．此時(shí)P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形，∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線．由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線，
由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=-x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2），
由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或x軸對(duì)稱，∴Q4（-2，2）．
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1，Q2，Q3（4，4），Q4（-2，2）．
2、解：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，對(duì)稱軸是y軸(或x=O)．
(2) ∵△PAB是等邊三角形， ∴∠ABO=90o-60o=30o． ∴AB=20A=4．∴PB=4．
解法一：把y=4代人y=x2 + 1，得 x=±2. ∴P1(2，4)，P2(-2，4)．
(3)存在.N1(，1)，N2(-，-1)，N3(-，1)，N4(，-1).
3、解：（1）∵點(diǎn)B(-2,m)在直線上
∴m=3 即B（-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
又∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O
∴設(shè)拋物線的解析式為
∵點(diǎn)B（-2，3），A（4，0）在拋物線上
∴ 解得：
∴設(shè)拋物線的解析式為 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
（2）∵是拋物線上的一點(diǎn)
∴
若
∵ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
又∵點(diǎn)C是直線與軸交點(diǎn)
∴C(0,1) ∴OC=1
∴， 即或
解得：
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ┅┅┅ 10分
（3）存在：


4、解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函數(shù)y=x2﹣x+c的圖象上，∴×（﹣4）2﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x2﹣x﹣12；
（2）∵y=x2﹣x﹣12，=（x2﹣2x+1）﹣﹣12，=（x﹣1）2﹣，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣），
∵A（﹣4，0），對(duì)稱軸為x=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴AB=6﹣（﹣4）=6+4=10，
∴S△ABM=×10×=，∵頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′，∴S四邊形AMBM′=2S△ABM=2×=125；
（3）存在拋物線y=x2﹣x﹣，使得四邊形AMBM′為正方形．
理由如下：令y=0，則x2﹣x+c=0，設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為A（x1，0）B（x2，0），
則x1+x2=﹣=2，x1?x2==2c，所以，AB==，
點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：==，
∵頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′，四邊形AMBM′為正方形，
∴=2×，整理得，4c2+4c﹣3=0，解得c1=，c2=﹣，又拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×c＞0，解得c＜，∴c的值為﹣，故，存在拋物線y=x2﹣x﹣，使得四邊形AMBM′為正方形．

展開更多......

收起↑