資源簡介

相似三角形
1、(福建福州)如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)經過A(3，0)、B(4，4)兩點．
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；
(3) 如圖②，若點N在拋物線上，且∠NBO＝∠ABO，則在(2)的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標(點P、O、D分別與點N、O、B對應)．

2、（遼寧省鞍山市）如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DM⊥x軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．
（1）直接寫出直線AB的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE．是否存在點P，使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3、（福建漳州）如圖，在平行四邊形OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．動點P從點O出發，以1 cm／s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發，以a cm／s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
(1)填空：點C的坐標是(__ _，____)，對角線OB的長度是_______cm；
(2)當a=1時，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大?
(3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.若以O、M、P為頂點的三角形與△OAB相似，求a與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．
（浙江臺州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四點.
（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____,
當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為______
（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式.
（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M.
①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長;
②點D的坐標為(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x軸,垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
1、解：(1) ∵ 拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)經過點A(3，0)、B(4，4)．
∴ ，解得：．∴ 拋物線的解析式是y＝x2－3x．

(2) 設直線OB的解析式為y＝k1x，由點B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1．∴ 直線OB的解析式為y＝x．
∴ 直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y＝x－m．
∵ 點D在拋物線y＝x2－3x上．∴ 可設D(x，x2－3x)．又點D在直線y＝x－m上，
∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0．
∵ 拋物線與直線只有一個公共點，∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4．
此時x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴ D點坐標為(2，－2)．
(3) ∵ 直線OB的解析式為y＝x，且A(3，0)，∴ 點A關于直線OB的對稱點A'的坐標是(0，3)．
設直線A'B的解析式為y＝k2x＋3，過點B(4，4)，∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝．
∴ 直線A'B的解析式是y＝x＋3．
∵ ∠NBO＝∠ABO，∴ 點N在直線A'B上，∴ 設點N(n，n＋3)，又點N在拋物線y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n，
解得：n1＝－，n2＝4(不合題意，會去)，∴ 點N的坐標為(－，)．
方法一：如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，則N1(－，－)，B1(4，－4)，
∴ O、D、B1都在直線y＝－x上．
∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N1OB1，∴ ＝＝，∴ 點P1的坐標為(－，－)．
將△OP1D沿直線y＝－x翻折，可得另一個滿足條件的點P2(，)．
綜上所述，點P的坐標是(－，－)或(，)．
方法二：如圖2，將△NOB繞原點順時針旋轉90°，得到△N2OB2，則N2(，)，B2(4，－4)，
∴ O、D、B2都在直線y＝－x上．
∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N2OB2，∴ ＝＝，∴ 點P1的坐標為(，)．
將△OP1D沿直線y＝－x翻折，可得另一個滿足條件的點P2(－，－)．
綜上所述，點P的坐標是(－，－)或(，)．
2、
考點：
二次函數綜合題。
分析：
（1）根據A（0，4），B（4，0）兩點坐標，可求直線AB的解析式；
（2）作DG⊥y軸，垂足為G，由已知得OA=OB=4，△OAB為等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余關系可知，△ADG為等腰直角三角形，則DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D點坐標；
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），設拋物線的交點式，將D點坐標代入求拋物線解析式，由于對頂角∠CFE=∠BFP=45°，故當△BPF與△FCE相似時，分為：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°兩種情況，根據等腰直角三角形的性質求P點坐標．
解答：
解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（4，0）兩點坐標代入，
得，解得，所以，直線AB的解析式為y=﹣x+4；
（2）過D點作DG⊥y軸，垂足為G，
∵OA=OB=4，∴△OAB為等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°，即△ADG為等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，∴D（2，6）；
（3）存在．
由拋物線過O（0，0），B（4，0）兩點，設拋物線解析式為y=ax（x﹣4），
將D（2，6）代入，得a=﹣，所以，拋物線解析式為y=﹣x（x﹣4），
由（2）可知，∠B=45°，則∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），
設P（x，0），則MP=x﹣2，PB=4﹣x，
①當∠ECF=∠BPF=90°時（如圖1），△BPF與△FCE相似，
過C點作CH⊥EF，此時，△CHE、△CHF、△PBF為等腰直角三角形，
則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，
將E（x，x）代入拋物線y=﹣x（x﹣4）中，得x=﹣x（x﹣4），解得x=0或，即P（，0），
②當∠CEF=∠BPF=90°時（如圖2），此時，△CEF、△BPF為等腰直角三角形，
則PE=MC=2，將E（x，2）代入拋物線y=﹣x（x﹣4）中，得2=﹣x（x﹣4），
解得x=或，即P（，0），
所以，P（，0）或（，0）．
點評：
本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據A、B兩點坐標判斷△ABC的形狀，利用互余關系判斷其它三角形形狀，求出D點坐標及拋物線解析式，根據△BPF為等腰直角三角形，△BPF與△FCE相似，且有對頂角相等，由直角的對應關系，分類求P點坐標．
3、解：(1)C(2，2)，OB=4cm．……………………4分
(2)①當0 過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1)，則QD=t．
∴S=OP·QD=t2. ………………………5分
②當4≤t≤8時，
作QE⊥x軸于點E(如圖2)，則QE=2.
∴S =DP·QE=t． ……………………6分
③當8≤t<12時，
解法一：延長QP交x軸于點F，過點P作PH⊥AF于點H(如圖3)．
易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，∴OF=OA+AP=t,AP=t-8．
∴PH=(t-8). ∴S=S△OQF-S△OPF =t·2-t·(t-8)
=-t2+3t． 當t=8時，S最大．
(3)①當△OPM～△OAB時(如圖4)，則PQ∥AB．
∴CQ=OP． ∴at-4=t，a=1+.
t的取值范圍是0②當△OPM～△OBA時(如圖5)， 則，
∴, ∴OM=．
又∵QB∥OP， ∴△BQM～△OPM， ∴,
∴, 整理得t-at=2，∴a=1-.
t的取值范圍是6≤t≤8．綜上所述：a=1+(04、【答案】解：（1）2；。
（2）∵點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，∴2≤m≤6。
當4≤m≤6時，根據定義， d=AB=2。
當2≤m＜4時，如圖，過點B作BE⊥OA于點E，
則根據定義，d=EB。
∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。
∴
。
∴。
（3）①如圖，由（2）知，當點B在⊙O的左半圓時，d=2 ，此時，點M是圓弧M1M2，長2π；
當點B從B1到B3時，d=2 ，此時，點M是線段M1M3，長為8；
同理，當點B在⊙O的左半圓時，圓弧M3M4長2π；點B從B2到B4時，線段M1M3=8。
∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為16+4π。
②存在。如圖，由A(4，0)，D(0，2), 得。
（i）∵M1H1=M2H2=2，
∴只要AH1=AH2=1, 就有△AOD∽△M1H1A和△AOD∽△M2H2A，此時OH1=5，OH2=3。
∵點M為線段BC的中點, BC=4，
∴OH1=5時，m=3；OH2=3時，m=1。
（ii）顯然，當點M3與點D重合時，△AOD∽△AH3M3，此時m=－2, 與題設m≥0不符。

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