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2023屆高考數學復習專題 ★★
選擇性必修一
第一章　空間向量與立體幾何
一、共線向量、共面向量定理
　　1.共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.
二、空間向量基本定理
　　如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空間向量運算的坐標表示
　　1.空間向量運算的坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
運算 坐標表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
減法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
數乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
數量積 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空間向量常用結論的坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
結論 坐標表示
共線 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量長度 |a|==
向量夾 角公式 cos==
　　3.空間兩點間的距離公式
設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則P1P2=||=.
四、空間向量
　　1.設直線l,m的方向向量分別為μ,v,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
線線平行 l∥m μ∥v μ=λv,λ∈R
線面平行 l∥α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
線線垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
線面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
線線夾角 l,m的夾角θ∈,cos θ=
線面夾角 l,α的夾角為θ∈,sin θ=
面面夾角 α,β的夾角為θ∈,cos θ=
　　2.點到直線的距離
設=a,則向量在直線l上的投影向量=(a·u)u,點P到直線l的距離PQ==.
3.點到平面的距離
已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離PQ===.
第二章　直線和圓的方程
一、直線的傾斜角與斜率
　　1.直線的傾斜角
定義 當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角
規定 當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0°
范圍 [0,π)
　　2.直線的斜率
定義 當直線l的傾斜角α≠時,其傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan α
斜率公式 經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=
　　3.直線的方向向量
直線的方向向量 設A,B為直線上的兩點,則就是這條直線的方向向量
方向向量的坐標 設A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),則直線AB的一個方向向量為=(x2-x1,y2-y1)
方向向量與斜率 若直線l的斜率為k,則直線l的一個方向向量為(1,k)
　　4.兩條直線平行和垂直的判定
對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2.
位置關系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直線l1,l2的斜率都不存在時,l1與l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直線斜率為零,另一直線斜率不存在時,兩條直線垂直
二、直線的方程
　　直線方程的五種形式及適用范圍:
名稱 幾何條件 方程 適用條件
斜截式 縱截距、斜率 y=kx+b 與x軸不垂直的直線
點斜式 過一點、斜率 y-y0=k(x-x0)
兩點式 過兩點 = 與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式 橫、縱截距 +=1 不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直線
三、直線的交點坐標與距離公式
　　1.兩條直線的交點坐標
直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標就是方程組的解.
位置關系 方程組的解的個數
相交 方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解
平行 方程組無解
重合 方程組有無數個解
　　2.距離公式
距離類型 已知幾何元素 距離公式
兩點間的距離 兩點P1(x1,y1), P2(x2,y2) |P1P2| =
點到直線的距離 點P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0 d=
兩條平行直線 間的距離 兩條平行直線l1: Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 d=
四、圓的方程
圓的定義 圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合
圓 的 方 程 標準式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心坐標:(a,b)
半徑為r
一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圓心坐標:
半徑r=
五、直線與圓、圓與圓的位置關系
　　1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法
(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系判斷;
(2)代數法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,利用判別式Δ判斷.
位置關系 幾何法 代數法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相離 d>r Δ<0
　　2.圓與圓的位置關系
設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
　　　　　方法位置關系　　 幾何法:根據圓心距d=|O1O2|與r1+r2或|r1-r2|的大小關系進行判斷 代數法:根據兩圓方程組成的方程組解的個數進行判斷
外離 d>r1+r2 無解
外切 d=r1+r2 一組實數解
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實數解
內含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解
第三章　圓錐曲線的方程
一、橢圓
　　1.橢圓的定義
定義 平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距
符號語言 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數
軌跡類型 a>c 點M的軌跡為橢圓
a=c 點M的軌跡為線段
a　　2.橢圓的標準方程及其幾何性質
標準方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
圖形
性 質 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
對稱性 對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點坐標 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
軸 長軸A1A2的長為2a,a為長半軸長;短軸B1B2的長為2b,b為短半軸長
焦距 |F1F2|=2c
離心率 e=,e∈(0,1),其中c=
a,b,c的關系 a2=b2+c2
二、雙曲線
　　1.雙曲線的定義
定義 平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距
符號語言 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數,且a>0,c>0
軌跡類型 aa=c 點M的軌跡為兩條射線(不含絕對值時為一條射線)
a>c 點M不存在
　　2.雙曲線的標準方程及其幾何性質
標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
圖形
性 質 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性 對稱軸:坐標軸　對稱中心:原點
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
軸 實軸A1A2的長為2a,a為實半軸長; 虛軸B1B2的長為2b,b為虛半軸長
a,b,c的關系 c2=a2+b2
三、拋物線
　　1.拋物線的定義
定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線
符號語言 集合P={M||MF|=d}(d為點M到準線l的距離)
特例 當F∈l時,動點M的軌跡是過F點垂直于l的直線
　　2.拋物線的標準方程及其幾何性質
圖形
標準方程 y2= 2px(p>0) y2= -2px(p>0) x2= 2py(p>0) x2= -2py(p>0)
p的幾何意義:焦點F到準線l的距離
性 質 頂點 O(0,0)
對稱軸 y=0 x=0
焦點 F F F F
離心率 e=1
準線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
選擇性必修二
一、等差數列
1.概念:如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,即an+1-an=d(n∈N*,d為常數).
2.等差中項:由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時,A叫做a與b的等差中項,且2A=a+b.
3.通項公式:等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.
4.前n項和公式:Sn==na1+d(n∈N*).
5.性質:(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有am+an=ap+aq.(3)數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數列.(4)數列{an}是等差數列 Sn=An2+Bn(A,B為常數).
(5)在等差數列{an}中,若a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
二、等比數列
　　1.概念:如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列.
2.等比中項:如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab.
3.通項公式:等比數列{an}的首項為a1,公比為q,則其通項公式為an=a1qn-1.
4.前n項和公式:Sn=
5.性質:(1)通項公式的推廣:an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.(3)當q≠-1或q=-1且n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數列,其公比為qn.
三、求一元函數的導數
1.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
　　2.導數的四則運算法則
已知兩個函數f(x),g(x)的導數分別為f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,則有:
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=(g(x)≠0).
3.簡單復合函數的導數
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=y'u·u'x.
四、導數在研究函數中的應用
　　1.函數的單調性與導數
一般地,函數f(x)的單調性與導函數f'(x)的正負之間具有如下的關系:
在某個區間(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;
在某個區間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
2.函數的極值與導數
條件 f'(x0)=0
x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0 x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0
圖象
極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值
極值點 x0為極大值點 x0為極小值點
　　3.函數的最大(小)值與導數
(1)如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.
(2)若函數f(x)在[a,b]上單調遞增,則f(a)為函數的最小值, f(b)為函數的最大值;若函數f(x)在[a,b]上單調遞減,則f(a)為函數的最大值, f(b)為函數的最小值.
(3)求函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:
①求函數y=f(x)在區間(a,b)上的極值;
②將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a), f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
選擇性必修三
一、計數原理
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.
3.排列與排列數
(1)排列
一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
(2)排列數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號表示.
4.組合與組合數
(1)組合
一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
(2)組合數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數,用符號表示.
5.二項式定理
(1)二項式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N* .
(2)二項展開式的通項:Tk+1=an-kbk,通項為展開式的第k+1項.
6.各二項式系數的和
(1)(a+b)n的展開式的各二項式系數的和等于2n,即+++…+=2n.
(2)在(a+b)n的展開式中,偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和,即+++…=+++…=2n-1.
二、隨機變量及其分布
　　1.條件概率
一般地,設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)=為在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率,簡稱條件概率.
對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A),稱此公式為概率的乘法公式.
2.全概率公式
一般地,設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),稱此公式為全概率公式.
3.離散型隨機變量的分布列、期望與方差
名稱 表現形式(或公式) 性質
分布列 Xx1x2…xnPp1p2…pn
pi≥0,i=1,2,3,…,n; p1+p2+…+pn=1
期望 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi E(aX+b)=aE(X)+b
方差 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi (1)D(aX+b)= a2D(X); (2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2
　　4.幾種常見的概率分布
名稱 概念(或公式) 數字特征
二項分布 P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.記作X~B(n,p) E(X)=np; D(X)=np(1-p)
超幾何分布 P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M} E(X)=
正態分布 隨機變量X服從正態分布記為X~N(μ,σ2),特別地,當μ=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態分布 若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2; P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5
三、成對數據的統計分析
　　1.樣本相關系數
r=.
2.經驗回歸方程
方程=x+是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中,是待定參數,其最小二乘估計分別為
3.2×2列聯表
Y=0 Y=1 合計
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
　　4.獨立性檢驗:χ2=,其中n=a+b+c+d.

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