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9年級數學二次函數知識點歸納
一、二次函數的概念：
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
二、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式：y＝a（x–h）2＋k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式：y＝a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0
三、二次函數的圖象及性質
1.二次函數的圖象與性質
解析式 二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x＝–
頂點 （–，）
a的符號 a＞0 a＜0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x＝–時，y最小值＝ 當x＝–時，y最大值＝
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x＜–時，y隨x的增大而減小；當x＞–時，y隨x的增大而增大 當x＜–時，y隨x的增大而增大；當x＞–時，y隨x的增大而減小
2.二次函數圖象的特征與a，b，c的關系
內容 字母的符號 圖象的特征 圖例
a a＞0 開口向上
a＜0 開口向下
b b＝0 對稱軸為y軸 或
ab＞0（a與b同號） 對稱軸在y軸左側
ab＜0（a與b異號） 對稱軸y軸右側
c c＝0 經過原點
c＞0 與y軸正半軸相交
c＜0 與y軸負半軸相交
四、拋物線的平移
1.將拋物線解析式化成頂點式y＝a（x–h） 2＋k，頂點坐標為（h，k）．
2.保持y＝ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：
3.注意
二次函數平移遵循“上加下減，配方后后看x→左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
五、二次函數與一元二次方程的關系
1.二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當y＝0時，就變成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
2.ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．
3.（1）b2–4ac＞0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac＝0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac＜0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．
六、二次函數的綜合
1、函數存在性問題：
解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；
然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；
最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，
然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在。
2、函數動點問題
（1）函數壓軸題主要分為兩大類：
一是動點函數圖象問題；
二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．
（2）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；
解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算。
如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標軸平行，計算這樣“規則”的三角形的面積，直接用面積公式．
如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標軸平行的，計算這樣“不規則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．
計算面積長用到的策略還有：
如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖6，同高三角形面積比等于底的比．
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