資源簡介

2023屆高考數學復習專題 ★★
必修一知識點匯編
一、集合
元素與集合 集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性
集合間的基本關系 子集:若對任意x∈A,都有x∈B,則A B(或B A)
真子集:若A B,且B中至少有一個元素不屬于A,則A B(或B A)
相等:若A B,且B A,則A=B
結論:若有限集A中有n(n∈N*)個元素,則A的子集有2n個,真子集有(2n-1)個
集合的基本 運算 并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A B A∪B=B
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A B A∩B=A
補集: UA={x|x∈U,且x A},A B UA UB
二、充分條件與必要條件
命題真假 “若p,則q”為真命題 “若p,則q”為假命題
推出關系 由p能推出q,記作p q 由p不能推出q,記作p /q
條件關系 p是q的充分條件 p不是q的充分條件
q是p的必要條件 q不是p的必要條件
三、充要條件
如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p q,又有q p,就記作p q.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.概括地說,如果p q,那么p與q互為充要條件.
四、全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞 全稱量詞命題 全稱量詞命題 的真假判斷
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號 “ ”表示 含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”可用符號簡記為 x∈M,p(x) 全真為真,一假為假
五、存在量詞與存在量詞命題
存在量詞 存在量詞命題 存在量詞命題的真假判斷
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“ ”表示 含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題. 存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符號簡記為 x∈M,p(x) 一真為真,全假為假
六、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
命題的類型 命題的符號表示 命題的否定 的符號表示 命題的否定 的類型
全稱量詞命題 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 存在量詞命題
存在量詞命題 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 全稱量詞命題
七、不等式的主要性質
1.對稱性:a>b b2.傳遞性:a>b,b>c a>c.
3.加法法則:a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d.
4.乘法法則:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 aca>b>0,c>d>0 ac>bd.
5.倒數法則:a>b,ab>0 <.
6.乘方法則:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
7.開方法則:a>b>0 >(n∈N,n≥2).
八、基本不等式
如果a,b是正數,那么≤(當且僅當a=b時,等號成立).
九、二次函數與一元二次方程、不等式
設一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為x1、x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,則不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集的各種情況如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的圖象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1十、函數的概念及其表示
函數 一般地,設A,B是非空的實數集,如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有唯一確定的數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數
表示法 解析法、列表法和圖象法
十一、函數的單調性與奇偶性
1.函數的單調性
增函數 減函數
設函數f(x)的定義域為I,區間D I:如果 x1,x2∈D
當x1f(x2),那么就稱f(x)在區間D上單調遞減,D叫做f(x)的遞減區間
2.函數的最大(小)值
前提 一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足
條件 x∈I,都有f(x)≤M; x0∈I,使得f(x0)=M x∈I,都有f(x)≥M; x0∈I,使得f(x0)=M
結論 那么稱M是函數f(x)的最大值 那么稱M是函數f(x)的最小值
3.函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
十二、冪函數
定義 一般地,函數y=xα叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數
常見五 種冪函 數的圖象
性質 冪函數在(0,+∞)上都有定義
當α>0時,圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調遞增
當α<0時,圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減
十三、指數與指數函數
1.正數的分數指數冪
定義 =(a>0,m,n∈N*,n>1) ==(a>0,m,n∈N*,n>1)
運算性質 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q
2.指數函數及其性質
概念 一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:R;值域:(0,+∞)
過定點(0,1),即x=0時,y=1
x>0時,y>1;x<0時,01;x>0時,0在(-∞,+∞)上是增函數 在(-∞,+∞)上是減函數
十四、對數與對數函數
1.對數的概念與運算(a>0,且a≠1,M>0,N>0)
定義 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN
常用對數 以10為底的對數叫做常用對數,并把log10N記為lg N
自然對數 以無理數e=2.718 28…為底的對數叫做自然對數,并把logeN記為ln N
結論 loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b
運算性質 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)
換底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.對數函數及其性質
概念 一般地,函數y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數函數,其中x是自變量,定義域是(0,+∞)
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:(0,+∞);值域:R
過定點(1,0),即x=1時,y=0
x>1時,y>0;01時,y<0;00
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
十五、函數與方程
1.函數的零點
概念 對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點
等價關系 方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點
函數零點 存在定理 如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解
2.二分法求函數的零點
二分法 的概念 對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法
步驟 (給定精 確度ε) (1)確定零點x0的初始區間[a,b],驗證f(a)f(b)<0. (2)求區間(a,b)的中點c. (3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區間:①若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數的零點;②若f(a)f(c)<0(此時零點x0∈(a,c)),則令b=c;③若f(c)f(b)<0(此時零點x0∈(c,b)),則令a=c. (4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟(2)~(4)
十六、三角函數
1.同角三角函數的基本關系
(1)sin2α+cos2α=1;
(2)tan α=.
2.誘導公式
記憶口訣:奇變偶不變,符號看象限.
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z);cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z);tan(2kπ+α)=tan α(k∈Z).
公式二:
sin(π+α)=-sin α;cos(π+α)=-cos α;tan(π+α)=tan α.
公式三:
sin(-α)=-sin α;cos(-α)=cos α;tan(-α)=-tan α.
公式四:
sin(π-α)=sin α;cos(π-α)=-cos α;tan(π-α)=-tan α.
公式五:
sin=cos α;cos=sin α.
公式六:
sin=cos α;cos=-sin α.
3.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
(1)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
(2)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(3)tan(α±β)=.
4.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
5.輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ).
6.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質
函數 y=sin x y=cos x y=tan x
圖象
定義域 R R xx≠kπ+,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
單調性 單調遞增區間:2kπ-,2kπ+,k∈Z; 單調遞減區間:2kπ+,2kπ+,k∈Z 單調遞增區間:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 單調遞減區間: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 單調遞增區間:kπ-,kπ+,k∈Z
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱性 對稱中心: (kπ,0),k∈Z 對稱中心:kπ+,0,k∈Z 對稱中心: ,k∈Z
對稱軸: x=kπ+,k∈Z 對稱軸: x=kπ,k∈Z
周期 2π 2π π
7.三角函數的圖象變換
由函數y=sin x的圖象通過變換得到函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法:
必修二知識點匯編
第六章　平面向量及其應用
一、平面向量的線性運算
定義 法則(或幾何意義) 運算律
加 法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律: a+b=b+a; (2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
減 法 向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差 ——
數 乘 實數λ與向量a的積是一個向量,記作λa (1)模:|λa|=|λ|·|a|; (2)方向: 當λ>0時,λa與a的方向相同; 當λ<0時,λa與a的方向相反; 當λ=0時,λa=0 設λ,μ是實數. (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb
二、向量共線定理
　　向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數λ,使b=λa.
三、平面向量基本定理
　　如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
四、平面向量的坐標表示
　　設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=,a·b=|a|·|b|·cos θ=x1x2+y1y2(θ為a與b的夾角).
五、余弦定理及其推論
　　1.余弦定理
三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2.推論
cos A=,cos B=,cos C=.
六、正弦定理及其常見變形
　　1.正弦定理
在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即===2R(R為△ABC外接圓半徑).
2.常見變形
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
sin A=,sin B=,sin C=,
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,
=2R.
第七章　復數
一、復數的有關概念及代數表示
　　1.復數
把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數,其中i叫做虛數單位,a叫做復數的實部,b叫做復數的虛部.把z=a+bi(a,b∈R)這一表示形式叫做復數的代數表示式,簡稱代數形式.
2.復數集
全體復數所構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.
3.復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規定:
a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d.
4.復數的分類
復數z=a+bi
(a,b∈R)
二、復數的幾何意義
三、復數的四則運算
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則
(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
(2)z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)==+i(z2≠0).
對任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
第八章　立體幾何初步
一、常見幾何體的面積
　　多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.
圓柱的側面積S側=2πrl,表面積S=2πr(r+l).
圓錐的側面積S側=πrl,表面積S=πr(r+l).
圓臺的側面積S側=π(r'+r)l,表面積S=π(r'2+r2+r'l+rl).
球的表面積S=4πR2.
其中r',r分別為上、下底面半徑,l為母線長,R為球的半徑.
二、常見幾何體的體積
柱體的體積V=Sh;
錐體的體積V=Sh;
臺體的體積V=(S'++S)h;
球的體積V=πR3.
其中S',S分別為上、下底面面積,h為高,R為球的半徑.
三、平面的基本事實
　　基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.
基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.
推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.
推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面.
推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.
基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.
四、空間點、直線、平面之間的位置關系
　　1.空間中直線與直線的位置關系
2.空間中直線與平面的位置關系
(1)直線在平面內——有無數個公共點;
(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點;
(3)直線與平面平行——沒有公共點.
當直線與平面相交或平行時,直線不在平面內,也稱為直線在平面外.
3.空間中平面與平面的位置關系
(1)兩個平面平行——沒有公共點;
(2)兩個平面相交——有一條公共直線.
五、空間平行關系的判定及性質
　　1.直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.
2.直線與平面平行的性質定理:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
3.平面與平面平行的判定定理:如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.
4.平面與平面平行的性質定理:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.
六、空間垂直關系的判定及性質
　　1.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.
2.直線與平面垂直的性質定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.
3.平面與平面垂直的判定定理:如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直.
4.平面與平面垂直的性質定理:兩個平面垂直,如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.
第九章　統計
一、隨機抽樣
簡單隨 機抽樣 從總體中逐個抽取樣本的方法,分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣
分層隨 機抽樣 將總體分層,按照比例從各層中獨立抽取樣本的方法
二、用樣本估計總體
頻率分布 樣本中某個數據(范圍)在總體中占有的比例稱為這個數據(范圍)的頻率,使用頻率分布表、頻率分布直方圖表達樣本數據的頻率分布
樣 本 的 數 字 特 征 百分位數 一組數據的第p百分位數使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數據大于或等于這個值
眾數 樣本數據中出現次數最多的數據
中位數 從小到大排序后,中間的數或者中間兩數的平均數
平均數 x1,x2,…,xn的平均數是=(x1+x2+…+xn)
方差、 標準差 s2=(xi-)2=-, s=
三、頻率分布直方圖的特征
　　1.各個小矩形的面積和為1.
2.縱軸的含義為,矩形的面積=組距×=頻率.
3.樣本數據的平均數的估計值等于各個小矩形的面積乘該矩形底邊中點橫坐標之和.
4.眾數為最高矩形的底邊中點的橫坐標
第十章　概率
一、有限樣本空間與隨機事件
　　1.隨機試驗:把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗.
2.樣本點:把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點,一般用ω表示.
3.樣本空間:全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間,一般用Ω表示.
4.有限樣本空間:如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,}為有限樣本空間.
5.隨機事件:把樣本空間的子集稱為隨機事件,簡稱事件,把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.
6.必然事件:Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發生,所以Ω總會發生,我們稱Ω為必然事件.
7.不可能事件:空集 不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發生,我們稱 為不可能事件.
二、事件的關系和運算
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含 A發生導致B發生 B A(或A B)
相等 A發生導致B發生,B發生也導致A發生 A=B
并事件(和事件) A與B至少有一個發生 A∪B(或A+B)
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B(或AB)
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B=
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∪B=Ω,且A∩B=
三、古典概型
　　1.特征(1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;(2)等可能性:每個樣本點發生的可能性相等.
2.概率公式
設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率P(A)==.其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數.
四、概率的基本性質
　　性質1:對任意的事件A,都有P(A)≥0.
性質2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性質3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
推廣:如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性質4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性質5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性質6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
五、事件的相互獨立性
　　1.概念對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.
2.性質A與B是相互獨立事件,則A與,與B,與也都相互獨立.
六、頻率與概率
　　1.頻率與概率的關系(1)頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩定值.
(2)頻率是隨機的,概率是確定的,可以用頻率f(n)(A)來估計概率P(A).
2.隨機模擬
利用計算器或計算機軟件產生隨機數做模擬試驗,由模擬試驗得到頻率來估計概率,這種用計算器或計算機模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.

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