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《集合的基本運算》能力探究
分析計算能力交集、并集、補集的基本運算方法
1.求集合補集的基本方法及處理技巧
（1）基本方法:定義法.
（2）兩種處理技巧.
①當集合用列舉法表示時,可借助Venn圖求解.
②當集合是用描述法表示的連續數集時,可借助數軸,利用數軸分析求解.
2.集合交、并、補運算的方法
（1）集合的交、并、補運算是同級運算,因此在進行集合的混合運算時,有括號的先算括號內的,然后按照從左到右的順序進行計算.
（2）當集合是用列舉法表示時,如數集,可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當集合是用描述法表示時,如不等式形式的集合,則可借助數軸求解.
典例1[直觀想象、數學運算]全集,,求集合.
點撥:本題為利用集合的基本性質來進行運算.
解析:
方法一:根據題意作出Venn圖(如圖所示).由圖可知.
方法二:∵,
∴,又,
∴.
∵.
分析計算能力集合計算中的求參數問題
求集合運算中參數的思路:
（1）將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關系；與不等式有關的集合,則可利用數軸得到不同集合之間的關系.
（2）將集合之間的關系轉化為方程或不等式是否有解或解集求參數問題
（3）解方程（組）或解不等式（組）來確定參數值或取值范圍.解題時,需注意兩點:
.①由集合間的運算得到的新集合一定要滿足集合中元素的互異性,因此,在求解參數的問題時,要注意隱含的條件.
②對于涉及或的問題,可利用集合的運算性質,轉化為相關集合之間的包含關系求解,注意空集的特殊性
典例2.[邏輯推理、數學運算]設,,.
(1)若,求;
(2)若,求實數的取值范圍.
點撥:本題為求集合運算中的參數間題,解決本題需靈活掌握集合運算的公式,對于,可利用集合運算性,轉化為集合間的包含關系運算求解.
解析:(1)若,.
(2)由,得,而.
當,即時,,符合.
當,即時,,符合.
當,即時,中有兩個元素,而,得.綜上,實數的取值范圍是或.
簡單問題解決能力圖示法在集合運算中的應用
圖示法求解集合運算的方法:
（1）有限集的混合運算涉及交、并、補及其關系的問題常用Venn圖法處理
（2）涉及有交叉的有限集的元素個數問題用Venn圖法處理較為方便.
解題時,先利用Venn圖表示集合的交、并、補運算的結果,確定該部分區域表示的集合與已知中的哪些集合有關,是在已知集合內還是在已知集合外,如果在已知集合外,那么與該集合的補集有關,然后利用集合間的交集、并集、補集運算確定所求的集合.
典例3[直觀想象]如圖所示,是全集,是的3個子集,則陰影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題為利用Venn圖表示集合之間的關系,解決本題需先觀察圖形,再分析關系.觀察Venn圖,可知陰影部分既在表示集合的區域中又在表示集合的區域中,即在表示集合的公共區域中,且在表示集合的區域外,即在集合中.根據集合運算的概念,可得陰影部分表示的集合為.
答案:
推測解釋能力補集思想在解題中的應用
1.運用補集思想解題的條件當從正面考慮情況較多,問題較復雜時,往往考慮運用補集思想
2.運用補集思想解題的步驟
典例4[數學運算]若集合中至多有1個元素,則實數的取值范圍為________.
解析:本題要求“至多有1個元素”,若采用分類討論比較麻煩,所以可構造“補集”進行運算,化繁為簡.設集合中含有2個元素,即有兩個不相等的實數根,則,解得且,則此時實數取值范圍是.在全集中,集合的補集是,所以滿足題意的實數的取值范圍是.
答案:
發現創新能力與集合運算相關的遷移題
1.集合的創新題,其創新性主要體現在新定義與新運算上.通過給出一個新概念或約定一種新運算或給出幾個新的模型等,創設一種全新的問題情境,以達到獨立獲取信息、加工信息的目的.
2.此類題型主要的解題策略是:在認真閱讀理解題意的基礎上,緊扣條件,理解題意,抓住關鍵,實現新的信息向已有的集合知識的轉化,從而達到解題的目的.
3.創新型數學試題大致為新概念、新情境問題,是指試題中自定義一個概念、一種運算、一個規定等,再提出一個與此相關的問題,要求考生結合所學數學知識進行解答.解題時首先必須深刻理解新概念的內涵,再利用新概念將所研究的問題轉化為常規的數學問題來解決,而集合中的新定義運算題,要求學生在理解題意的基礎上,聯系所學的知識,實現信息的遷移.
典例5.[數學抽象、邏輯推理]已知有限集,.如果中元素,滿足,就稱為“復活集”,給出下列結論:(1)集合是“復活集”.(2)若,且是“復活集”,則.(3)若,則不可能是“復活集”.其中正確的結論是________(填上你認為所有正確的結論序號)
解析:(1)因為.(2)設,則由根與系數的關系知是一元二次方程的兩個不等實根,由,可得或.(3)設中,由,得,當時,,所以,于是無解,即不存在滿足條件的“復活集”,故(3)正確.
答案:(1)(3)
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