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《集合的基本運算》知識探究
探究點1 并集的定義與基本運算
一般地,由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合,稱為集合與的并集(unionset),記作（讀作“并”),即,或,用Venn圖表示為:
【要點辨析】
1.符號語言中的“或”字與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一；而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互相排斥的,“,或包括下列三種情況:
(1),但;(2),但;(3)且.
2.概念中的“所有”二字,不能認為是由的所有元素和的所有元素簡單拼湊而成的集合,要滿足集合中元素的互異性.如:,,而不能寫成,.
3.求兩個集合的并集的方法
(1)對于元素個數有限的集合,可直接根據集合的并集定義求解,但要注意集合中元素的互異性.
(2)對于元素個數無限的集合,進行并集運算時,可借助數軸求解,注意兩個集合的并集等于兩個集合在數軸上的相應圖形所覆蓋的全部范圍.
學科素養:用集合的語言表述并集的運算，提升直觀想象、數學運算核心素養.
典例1[觀察記憶能力、分析計算能力](1)(2019-北京夏季會考)已知集合,那么等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知集合或,則( )
A.或
B.
C.
D.或
點撥:觀察給定集合中元素的特點,正確選擇表示集合的方法,并根據并集的定義進行分析計算是解決本題的關鍵.
解析:(1)已知是數集,可以選用列舉法解題.表示屬于或屬于的元素組成的集合,要注意集合中元素的互異性,即不可重復,所以.
答案:B
（2）已知分別表示一個區間,用數軸描述更直觀.表示屬于或屬于的元素組成的集合,要注意其元素是不可重復的,所以先在數軸上表示集合,如圖所示,則或.
答案:
探究點2 交集的定義與基本運算
一般地,由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合,稱為集合與的交集(intersectionset),記作(讀作“交”),即,且,用Venn圖表示為:
【要點辨析】
1.兩集合求交集的結果仍然是一個集合.
2.概念中的“且”即“同時”的意思，即兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合中的元素.
3.概念中的“所有”兩個字的含義:,且,不能僅認為中的任一元素都是與的公共元素,同時還有與的公共元素都屬于,如:,,而不是或.
4.當集合和集合沒有公共元素時,不能說集合與集合沒有交集,而要說集合的交集為空集.如:,則.
學科素養:用集合的語言表述交集，提升數學運算、數學抽象核心素養.
典例2[概括理解能力、分析計算能力(1)已知集合,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知集合,則( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知集合,集合為整數集,則( )
A.
B.
C.
D.
點撥:根據交集的定義進行分析計算是解決本題的關鍵.如果所給集合是數集,應用列舉法;如果所給集合是個范圍，應用描述法;如果所給集合是無限集，則常借助數軸.
解析:
(1)∵是由和中公共元素組成的集合,∴.
(2)∵.
(3)先求集合,由題意可知,集合,所以.
答案:(1)A(2)C(3)D
探究點3 全集與補集
1.全集
一般地,如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集(universeset).通常記作.
2.補集
對于一個集合,由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集(complementaryset).簡稱為集合的補集,記作.即,且,用圖表示為:
【要點辨析】
1.全集含有與所研究問題有關的各個集合的全部元素.
2.補集既是集合之間的一種關系，也是集合之間的一種運算,還是一種數學思想.
3.表示為全集時的補集,如果全集換成其他集合(如)時,則符號中“U”也必須換成相應的集合(即.
學科素養:用集合的語言表述全集與補集，提升數學運算、邏輯推理核心素養.
典例3[推測解釋能力、分析計算能力]（1）已知全集,若,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)若全集,則集合的補集為( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知全集,如果,則__________.
點撥:根據補集的定義和性質進行分析計算可以解答本題.
解析:由于補集是在全集中去掉集合中的元素剩下的所有元素組成的集合,所以(1)用列舉法表示.
(2)借助數軸(如圖)得.
(3)把集合化簡為,根據補集的定義,,且,因此,故填2.
答案:(1)D(2)C(3)2
探究點4 集合的運算性質
由并集、交集、全集和補集的概念及Venn圖,可以得到以下性質：
1.交換律:.
2.結合律:.
3.分配律:.
4.任何集合與其本身的并集或交集都等于這個集合的本身.
5.任何集合與空集的并集（或交集）都等于這個集合本身(或空集).
6.任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集,兩個集合的交集是其中任一集合的子集,即.
7.任何集合與它子集的并集（或交集)都是它本身（或合子集),反之亦然.
集合的基本運算包括集合的交、并、補,解決此類運算問題一般應注意以下幾點:一是看元素的構成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構成人手是解決運算問題的前提;二是對集合進行化簡,利用化簡,可使問題變得簡單明了,易于解決;三是注意數形結合思想的應用,集合運算常用的數形結合形式有數軸、坐標系和緯恩圖.
【要點辨析】
空集在運算中的重要性
1.利用集合的交集、并集性質解題時,常常會遇到等這類問題,解答時常借助于交集、并集的定義及以上集合間的關系去分析并靈活處理,如等.
2.當集合時,如果集合是一個確定的集合,而集合不確定,運算時要考慮的情況,切不可漏掉.
學科素養:利用集合的運算性質，解決集合問題，提升數學運算、邏輯推理、直觀想象核心素養.
典例4[簡單問題解決能力]（1）已知集合,,則等于( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
(2)已知集合,若,則符合條件的實數的值組成的集合為( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知集合,,且都是全集的子集,則圖中陰影部分表示的集合為( )
A.
B.
C.
D.
點撥：本題可以利用并集的性質及子集的含義求解,也題可以用排除法.
解析：(1)∵.又,或.由得或.但不滿足集合中元素的互異性,故舍去,故或.
(2)當時,;當時,,要使,則或,即或.
(3)圖中陰影都分表示的集合是集合的子集,又陰影部分在表示集合的區城外,所以陰影部分表示的集合是,根據補集和交集的運算,在集合中去掉集合與集合的公共元素,即得陰影部分表示的集合是.
答案：(1)B(2)C(3)C
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