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九上數學同步優質課件
人教版九年級上冊
弧、弦、圓心角
第二十四章 圓
情景導入
知識精講
典例解析
針對練習
達標檢測
小結梳理
1.理解圓心角的概念，掌握圓的中心對稱性和旋轉不變性.
2.探索圓心角、弧、弦之間關系定理并利用其解決相關問題.（重點）
3.理解圓心角、弧、弦之間關系定理中的“在同圓或等圓”條件的意義.
（難點）
垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理的推論：
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
1.如圖，O0的半徑為13，弦AB的長度是24，ONLAB，垂足為N，則ON的長為( )
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如圖，O0的弦AB垂直平分半徑0C，則四邊形OACB是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.以上答案都不對
A
B
剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結論？把圓繞圓心旋轉任意一個角度呢？
圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心；把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合.
圓是旋轉對稱圖形，具有旋轉不變性.
1.圓心角：頂點在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB .
3.圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
任意給圓心角，對應出現三個量：
2.圓心角∠AOB所對的弧為AB.
⌒
圓心角及相關概念
判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由.
任意給圓心角，會對應出現哪幾個量？
這三個量之間會有什么關系呢？
如圖，⊙O(及⊙O1，⊙O2且r1=r2)中，當圓心角∠AOB=∠A′OB′時，它們所對的弧 和 、弦AB和弦A′B′相等嗎？為什么？
如圖，⊙O(及⊙O1，⊙O2且r1=r2)中，當圓心角∠AOB=∠A′OB′時，它們所對的弧 和 、弦AB和弦A′B′相等嗎？為什么？
我們把∠AOB連同 繞圓心O旋轉，使射線OA與OA′重合.
∵ ∠AOB=∠A′OB′
∴ 射線OB與OB′重合
又∵ OA=OA′，OB=OB′
∴ 點A與A′重合，點B與B′重合
因此， 與 重合，AB與A′B′重合
即 = ，AB=A′B′
圓心角、弧、弦之間的關系
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.
如果在同圓或等圓這個前提下，將定理中的題設和結論中的任何一項交換一下，結論還正確嗎？
1.在⊙O中，如果 = ，那么__________________________；
2.在⊙O中，如果AB=A′B′，那么________________________.
∠AOB=∠A'OB'，AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'，
=
同樣，還可以得到：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的、弦也相等.
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等.
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優弧和劣弧分別相等.
圓心角、弧、弦之間的關系
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.
總結上面的三個結論，我們可以得到：
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.
例1.如圖，在⊙O中， ，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
證明：
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形 , AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦.
(1)如果AB=CD，那么____________，_______.
(2)如果 ，那么____________，_______.
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，
OE與OF相等嗎？為什么？
解：OE=OF.理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE=AB，CF=CD
又∵ AB=CD，
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
∴ AE=CF
又∵ AO=CO，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(HL)
∴ OE=OF
例2.如圖，已知的直徑BA與弦DC的延長線交于點P，且，
,與的度數．
解：∵，
∴=
∵
∴==
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴．
解：
∵
如圖，AB是⊙O的直徑， ∠COD=35°，求∠AOE的度數．
·
A
O
B
C
D
E
例3.如圖，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D將 三等分，弦AB與半徑0C，OD分別交于點E，F.求證:AE=CD=BF.
證明:連接AC，BD
∵C，D將弧AB三等分，
∴AC=CD=BD
∵∠AOB=90°，且OA=OB
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=45°+30°=75°
∵OA=OC, ∠AOC=30°，
∴∠ACO=×(180-30°)=75°
∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC
同理可得BF=BD，∴AE=CD=BF
證明:連接AG.
在□ABCD中，AD∥BC.
∴∠EAF=∠EBG, ∠FAG=∠AGB
又∵AB=AG
∴∠ABG=∠AGB
∴∠EAF=∠FAG
∴
如圖，在□ ABCD中，以A為圓心AB為半徑的圓交AD、BC于F、G兩點，延長BA交圓于E.求證: .
1.如圖，在☉O中， .若∠AOB=40°，則∠COD的度數為( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
2.如圖，在☉0中， ，∠A=30°，則∠B等于( )
A.15° B.60° C.75° D.150°
B
C
3.下列語句中，正確的有( )
①圓心角相等,所對的弧也相等;②圓心角相等，所對的弦也相等;③長度相等的兩條弦所對的弧是等弧;④同圓中,相等的弧所對的圓心角相等.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.在半徑為1的☉O中，長為的弦所對圓心角的度數為( )
A.145° B.135° C.90° D.90°或135°
A
C
5.如圖，AB是☉O的直徑，∠BOD=120°，點C為弧BD的中點,AC交OD于點E，DE=1，則AE的長為( )
A. B C.2 D.2
A
6.弦長等于半徑的弦所對的圓心角等于_______.
7.若一條弦把圓分成1:3兩部分，則劣弧所對的圓心角的度數為______.
8.如圖，AB是☉O的直徑,AC，CD，DE，EF，FB都是☉O的弦，且AC=CD=DE=
EF=FB，則∠AOC=______,∠COF=______.
60°
90°
36°
108°
9.如圖，已知在☉O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在☉O及半徑OM、OP上，并且∠POM=45°，則正方形的邊長為_______.
10.如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD//BC，求證：D為的中點．
證明：，
，.
，
，
.
.
∴D為的中點．
11.如圖,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求證：AD＝BE．
證明：連接OC，
∵，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD與△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE.
12.如圖，為的直徑，是弦，且于點E．連接、、．
(1)求證：；
(2)若，求弦的長．
（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
12.如圖，為的直徑，是弦，且于點E．連接、、．
(1)求證：；
(2)若，求弦的長．
（2）解：∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
1.圓心角：頂點在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB .
3.圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
任意給圓心角，對應出現三個量：
2.圓心角∠AOB所對的弧為AB.
⌒
圓心角及相關概念
同樣，還可以得到：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的、弦也相等.
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等.
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優弧和劣弧分別相等.
圓心角、弧、弦之間的關系
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.
總結上面的三個結論，我們可以得到：
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.
謝謝
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