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九上數學同步優質課件
人教版九年級上冊
圓周角
第二十四章 圓
情景導入
知識精講
典例解析
針對練習
達標檢測
小結梳理
1.理解圓周角的概念,會敘述并證明圓周角定理;
2.掌握圓內接四邊形的性質;
3.理解圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.(重點)
4.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用.(難點)
2.如圖，在☉O中，若 ，則AD=_____,AC=_____,
AB⊥____,∠AOD=______.
1.什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？
頂點在圓心的角叫圓心角, ∠AOD和∠BOD.
BD
BC
OD
∠BOD
足球場有句順口溜：“沖向球門跑，越近就越好；歪著球門跑，射點要選好.”在射門游戲中(如圖)，球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角(∠ABC)有關.
在上圖中，當球員在B，D，E處射門時他
所處的位置對球門AC分別形成三個張角
∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關系？
在圓中，除圓心角外，還有一類角(如圖中的∠ACB)，它的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交，我們把這樣的角叫做圓周角.
（兩個條件必須同時具備，缺一不可）
下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.
在圓中，除圓心角外，還有一類角(如圖中的∠ACB)，它的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交，我們把這樣的角叫做圓周角.
（兩個條件必須同時具備，缺一不可）
如圖，連接AO，BO，得到圓心角∠AOB.可以發現，∠ACB與∠AOB對著同一條弧 ，它們之間存在什么關系呢？
分別測量圖中AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的度數，它們之間有什么關系？
在⊙O上任取一條弧，作出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數，你能得出同樣的結論嗎？由此你能發現什么規律？
猜想：可以發現，同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對的圓心角的度數的一半.
在圓周角的內部
圓心O與圓周角∠ACB有幾種不同的位置關系？
在圓周角的外部
在圓周角的一條邊上
分析第(1)種情況：
OA=OC
∠A=∠C
∠BOC=∠A+∠C
∠A=∠BOC
分析第(2)種情況：
∠BAD=∠BOD①
連AO并延長交☉O于點D
由圖(1)結論
∠CAD=∠COD②
①+②
∠BAC=∠BOC
分析第(3)種情況：
∠BAD=∠BOD④
連AO并延長交☉O于點D
由圖(1)結論
∠CAD=∠COD③
③-④
∠BAC=∠BOC
圓周角定理：
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
例1.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.
證明：∵ ，
∴∠ACB=∠AOB
∵ ，
∴∠BAC=∠BOC
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
如圖，點C,D是☉O上任意兩點，連接AC,BC,AD,BD.∠ACB與∠ADB相等嗎？請說明理由.
解：∠ACB=∠ADB.理由如下：
連結OA、OB.
根據圓周角定理可得，
∠ACB=∠AOB，∠ADB=∠AOB
∴ ∠ACB=∠ADB.
如圖，在☉O中，如果 ，那么∠E與∠F相等嗎？請說明理由.
解：∠E=∠F.理由如下：
連結OA、OB、OC、OD.
∵
∴∠AOB=∠COD
∵∠E=∠AOB，∠F=∠COD
∴∠E=∠F.
推論1：
同弧或等弧所對的圓周角相等.
如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點(除點A、B外)，那么∠ABC就是半圓(直徑AB)所對的圓周角，你能求出∠ACB的度數嗎？
方法一：
解：∵半圓所對的圓心角為180°
∴∠AOB=180°
∴∠ACB=∠AOB=×180°=90°
如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點(除點A、B外)，那么∠ABC就是半圓(直徑AB)所對的圓周角，你能求出∠ACB的度數嗎？
方法二：
解：連結OC.
∵OA=OB=OC
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB
又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°
推論2：
半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.
例2.如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
(1)求證：∠ACO＝∠BCD．
(2)若BE＝3，CD＝8，求BC的長．
（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴，
∴．
例3.如圖，已知為的直徑，，為上兩點，，連接，過點作，垂足為點，求證：．
解：連接DO并延長交⊙O于G，連接DC，DB，延長DE交⊙O于F，
∵AB為⊙O的直徑，
∴DE=DF，，
∵，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，，
例3.如圖，已知為的直徑，，為上兩點，，連接，過點作，垂足為點，求證：．
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∴AC=DF，
∴DE=AC．
例4.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC、AD、BD的長.
解：連接OD.
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，
BC=(cm)
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
例4.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC、AD、BD的長.
∴∠AOD=∠BOD
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∴AD=BD=AB=×10=5(cm)
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.
圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？
如圖，連接OB，OD.
∵∠A所對的弧為 ，∠C所對的弧為 又 和 所對的圓心角的和是周角
∴∠A+∠C= =180°
同理∠B+∠D=180°
圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補.
1.如圖，☉O中，∠BOC=78°，則∠BAC的度數是( )
A.156° B.78° C.39° D.12°
2.如圖,A，B，C，D是☉O上的點，則圖中與∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
C
D
3.如圖，AB是☉O的直徑，點C、D在☉O上，∠BDC=20°,則∠AOC的大小為( )
A.40° B.140° C.160° D.170°
4.如圖，☉O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數為( )
A.14° B.28° C.42° D.56°
B
D
5.如圖，∠AOB=100°，若點C在☉O上，且點C不與A、B重合，則∠ACB的度數為( )
A.50° B.50°或130°
C.130° D.80°或50°
6.如圖，AB是半圓的直徑，C，D是半圓上的兩點，∠ADC=106°，則∠CAB等于( )
A.10° B.14° C.16° D.26°
B
C
7.如圖，四邊形ABCD內接于☉O.若 ，∠BDC=50°,則∠ADC的度數是( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
B
8.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為CD延長線上一點.若∠B=110°，求∠ADE的度數.
解：∵ 四邊形ABCD內接于⊙O
∴ ∠B+∠ADC=180°
∴ ∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70°
∵ ∠ADE+∠ADC=180°
∴ ∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°
9.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O0交BC于點D，求證:BD=CD.
證明:連接AD
∵AB為O0的直徑
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AB=AC
∴BD=CD
10.已知如圖，在中，AB為直徑，，，．
(1)求的度數．
(2)求CD的長．
（1）解： ，
（2）解：
謝謝
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