資源簡(jiǎn)介

1.5全稱量詞與存在量詞
一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：全稱量詞和存在量詞的意義；使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.
難點(diǎn)：判定全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，正確地寫出含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的否定.
三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議
本節(jié)的主要內(nèi)容是全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要在理解全稱量詞與存在量詞的意義的基礎(chǔ)上，能正確地使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定，認(rèn)識(shí)到全稱量詞命題的否定是存在量詞命題和存在量詞命題的否定是全稱量詞命題的規(guī)律.
全稱量詞和存在量詞是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩類量詞，本節(jié)通過豐富的數(shù)學(xué)實(shí)例，介紹了這兩類量詞的意義，探究了全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，說明了全稱量詞命題的否定是存在量詞命題和存在量詞命題的否定是全稱量詞命題的規(guī)律.這個(gè)階段，只考查含有一個(gè)全稱量詞的命題或含有一個(gè)存在量詞的命題，不討論含有多個(gè)量詞的命題.
本節(jié)引入了新的數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”，以及特定命題的數(shù)學(xué)符號(hào)表示：，；，；，；，.符號(hào)的特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，但是形式化、抽象化程度都比較高，教學(xué)時(shí)應(yīng)多選取一些數(shù)學(xué)實(shí)例，多鼓勵(lì)學(xué)生使用符號(hào)語(yǔ)言，從而能讓學(xué)生習(xí)慣于運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)一些數(shù)學(xué)內(nèi)容.
1.5.1全稱量詞與存在量詞
1.通過創(chuàng)設(shè)情境，引入基本概念
教科書首先引導(dǎo)學(xué)生回顧命題的概念，然后思考、討論本小節(jié)的第一個(gè)“思考”.“思考”中選取了四個(gè)含有變量的陳述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基礎(chǔ)上分別加了一個(gè)短語(yǔ)“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量進(jìn)行限定.學(xué)生根據(jù)命題的概念容易判斷出，（1）（2）不是命題，而（3）（4）是命題.通過對(duì)比，激發(fā)學(xué)生對(duì)這類短語(yǔ)的興趣，由此引出全稱量詞的概念、符號(hào)以及全稱量詞命題的概念.
全稱量詞有許多種表述形式，除了“思考”中出現(xiàn)的兩種形式外，在教科書的邊空中列舉了其他常用的幾種表述形式.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生多舉一些數(shù)學(xué)例子，以加深學(xué)生對(duì)全稱量詞的認(rèn)識(shí).
與全稱量詞和全稱量詞命題的概念的引入類似，教科書在引入存在量詞和存在量詞命題的概念時(shí)先讓學(xué)生思考、討論本小節(jié)的第二個(gè)“思考”.“思考”中選取了四個(gè)含有變量的陳述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基礎(chǔ)上分別加了一個(gè)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”.學(xué)生根據(jù)命題的概念容易判斷出，（1）（2）不是命題，因?yàn)樵冢?）（2）中不知道變量代表什么，無(wú)法判斷真假.而（3）（4）是命題，因?yàn)樵冢?）（4）中對(duì)變量的取值范圍進(jìn)行了限定，從而可以判斷它們的真假.通過對(duì)比，引起學(xué)生對(duì)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”這類短語(yǔ)的興趣，由此引出存在量詞的概念、符號(hào)，以及存在量詞命題的概念.
存在量詞也有許多種表述形式，除了思考中出現(xiàn)的兩種表述形式外，教科書的邊空中列舉了其他常用的幾種表述形式“有一個(gè)”“有的”“有些”“對(duì)某個(gè)”等.具體教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找其他的數(shù)學(xué)例子，以加深學(xué)生對(duì)這些存在量詞的認(rèn)識(shí).
2.全稱量詞命題和存在量詞命題的符號(hào)表示
符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言.在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常使用符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容.本節(jié)中，通過引入符號(hào)表述全稱量詞命題和存在量詞命題，可以使學(xué)生體會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性.
教科書將含有變量的陳述句用符號(hào)，，，…表示，將變量的取值范圍用符號(hào)表示.這樣一來(lái)，我們就可以用符號(hào)
表示全稱量詞命題“對(duì)中任意一個(gè)，有成立”.同樣地，可以用符號(hào)
表示存在量詞命題“存在一個(gè)，有成立”.
在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生適當(dāng)使用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而習(xí)慣于運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)一些數(shù)學(xué)內(nèi)容.
3.例題和練習(xí)的設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)分析
例1是通過三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)例介紹全稱量詞命題真假的判斷方法，使學(xué)生理解全稱量詞的意義，會(huì)判定全稱量詞命題的真假.通過學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)例子理解全稱量詞的意義是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)之一，而判定全稱量詞命題的真假則是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)之一.教師在介紹完全稱量詞命題的概念和符號(hào)表示之后，可提出如下問題讓學(xué)生思考：對(duì)給定的全稱量詞命題，如何判斷它的真假呢？引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1中的三個(gè)全稱量詞命題，理解全稱量詞的意義，然后思考回答.教師最好不要先給出判定全稱量詞命題的真假的一般方法，而是針對(duì)具體的全稱量詞命題進(jìn)行分析，最后引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)出下面的一般方法：
如果對(duì)集合中每一個(gè)，都成立，那么“”為真命題；
如果在集合中存在一個(gè)，使得不成立，那么“”為假命題.教學(xué)中注意通過大量的例子引導(dǎo)學(xué)生自主歸納總結(jié)，并鼓勵(lì)學(xué)生自己舉例鞏固
加深理解，切忌教師給出方法學(xué)生死記硬背.
例2是通過三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)例介紹存在量詞命題真假的判別方法，通過這個(gè)例子使學(xué)生理解存在量詞的意義，會(huì)判定存在量詞命題的真假.與前面類似，教師在介紹完存在量詞命題的概念和符號(hào)表示之后，可提出如下問題讓學(xué)生思考：對(duì)給定的一個(gè)存在量詞命題，如何判斷它的真假呢？教師先引導(dǎo)學(xué)生閱讀例2中的三個(gè)存在量詞命題，然后思考回答這三個(gè)命題的真假.同樣地，教師最好先不要給出判定存在量詞命題的真假的一般方法，而是針對(duì)具體的存在量詞命題進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出一般方法：
如果在集合中存在一個(gè)，使得成立，那么“”為真命題；如果對(duì)集合中每一個(gè)，都不成立，那么“”為假命題.
本小節(jié)的練習(xí)1，2是為了鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，可以讓學(xué)生在課堂上完成.本小節(jié)例題和練習(xí)中部分全稱量詞命題和存在量詞命題是用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)
的其目的是讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性、引導(dǎo)學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，自覺地運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容.
1.5.2全稱量詞與存在量詞命題的否定
1.創(chuàng)設(shè)情境，引入問題
教科書為了引人本小節(jié)要考查的問題，首先陳述了一個(gè)基本事實(shí)：對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，可以得到一個(gè)新的命題，稱其為原來(lái)命題的否定，然后給出兩個(gè)學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)命題的否定，由此引出本小節(jié)將要考查的問題：如何正確地寫出全稱量詞命題的否定和存在量詞命題的否定.
2.通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考
全稱量詞命題和存在量詞命題的否定是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，教科書以形式化的語(yǔ)言表述為橋梁，通過啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生思考，以降低學(xué)生的認(rèn)知難度。
在引出本節(jié)要考查的問題后，教科書分別安排了兩個(gè)“探究”，通過學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題，它的一般形式為“”，而存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題，它的一般形式為“”.
教科書在分析“探究”中全稱量詞命題和存在量詞命題時(shí)，并沒有直接給出這些命題的否定的最終表述形式，而是根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義，直接對(duì)原先的命題進(jìn)行否定，得到這些命題的否定的一種表述形式，但需要強(qiáng)調(diào)的是這些表述過于形式化，不自然也不符合日常語(yǔ)言表達(dá)的習(xí)慣，所以最后進(jìn)一步將這些表述改寫成常用的表述形式.為此，教科書在“探究”后的分析中，先后用了五個(gè)“也就是說”，這樣處理一方面讓學(xué)生體會(huì)如何用間接、自然的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容；另一方面，通過這些命題的否定的最后表述，學(xué)生很容易觀察出原先的命題和它們的否定在形式上的變化，從而降低了學(xué)生的認(rèn)知難度.
例如，對(duì)第一個(gè)“探究”中的全稱量詞命題（1）“所有的矩形都是平行四邊形”，根據(jù)全稱量詞“所有的”的含義，它的否定為“并非所有的矩形是平行四邊形”.這種表述有些“繞”，我們換一種說法為“存在一個(gè)矩形不是平行四邊形”.如果直接從命題（1）到最后它的否定的表述，學(xué)生會(huì)覺得太突然，理解和接受起來(lái)有困難.但最后的表述是很有必要的，由此可以觀察出命題（1）的否定是一個(gè)存在量詞命題，再通過分析其他的全稱量詞命題的否定，便可歸納出全稱量詞命題“”的否定的一般形式為
，
它是一個(gè)存在量詞命題.
又如，對(duì)第二個(gè)“探究”中的存在量詞命題（1）“存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”，根據(jù)存在量詞“存在一個(gè)”的含義，它的否定為“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”.這種表述不太自然，我們可以換一種說法，改為“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”.同樣地，如果從命題（1）直接給出最后的否定的表述，跨度太大，學(xué)生會(huì)覺得難以理解，再通過分析其他的存在量詞命題的否定，便可歸納出存在量詞命題“”的否定的一般形式為
，
它是一個(gè)全稱量詞命題.
3.例題和練習(xí)的設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)分析
例3與例4是讓學(xué)生通過探究欄目得到的結(jié)論，正確地使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.
例5是對(duì)本節(jié)所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的一個(gè)鞏固，既要求學(xué)生寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，還要求判斷真假.由于命題與它的否定只能一真一假，故可以通過判斷原命題的真假，從而得到它們的否定的真假.例如，任意兩個(gè)等邊三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，故例5中命題（1）是一個(gè)真命題，那么它的否定是一個(gè)假命題.
本小節(jié)的練習(xí)1，2分別選取數(shù)學(xué)中的一些較簡(jiǎn)單的全稱量詞命題和存在量詞命題，讓學(xué)生寫出它們的否定，其目的是進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)的基本知識(shí)，教師可以讓學(xué)生在課堂上完成.
4.教學(xué)中需要注意的問題
在探究含有一個(gè)量詞的命題的否定時(shí)，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)一些邏輯錯(cuò)誤，如認(rèn)為第一個(gè)“探究”中的命題（1）的否定為“所有的矩形都不是平行四邊形”.其實(shí)，命題（1）陳述的事實(shí)是“所有的矩形都是平行四邊形”，否定這個(gè)事實(shí)，也就是說，“并非所有的矩形都是平行四邊形”，這包含了兩種情形，一是“所有的矩形都不是平行四邊形”，二是“有些矩形是平行四邊形，有些矩形不是平行四邊形”，把這兩種情形綜合起來(lái)就是說“存在一個(gè)矩形，它不是平行四邊形”.所以，“所有的矩形都不是平行四邊形”只是命題（1）的否定中的一種情形，而不能代表全部.
我們還可以從集合的角度理解這個(gè)問題.如果用表示所有矩形的集合，表示所有平行四邊形的集合，那么命題（1）可以表示為“”，命題“所有的矩形都不是平行四邊形”可以表示為“”，其中表示所有平面四邊形的集合.否定命題（1）就得到“”，即“”，亦即“”，而不是“”，后者只是前者的一種特殊情形.
學(xué)生在寫出第二個(gè)“探究”中命題的否定時(shí)，也會(huì)犯類似的錯(cuò)誤.如認(rèn)為第二個(gè)探究欄目中命題（2）的否定為“某些平行四邊形不是菱形”，這是不對(duì)的.我們知道，命題（2）為真命題，而它的否定應(yīng)為假命題，而命題“某些平行四邊形不是菱形”是真命題.
同樣地，我們也可以從集合的角度解釋這個(gè)問題.如果用表示所有平行四邊形的集合，表示所有菱形的集合，那么命題（2）可以表示為“”，命題“某些平行四邊形不是菱形”可以表示為“”，其中表示所有平面四邊形的集合.否定命題（2）得到的是“”，即“”，亦即“”，而不是“”.
總之，要正確地對(duì)全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定，我們一方面要充分理解全稱量詞與存在量詞的含義，另一方面應(yīng)充分利用原命題與它的否定在形式上的聯(lián)系.
另外，教學(xué)中要注意區(qū)分一個(gè)命題的否定與它的否命題之間的差別.注意到，全稱量詞命題“所有的矩形都是平行四邊形”也可以改寫為“若，則”形式的命題，即“若一個(gè)平面四邊形是矩形，則這個(gè)四邊形是平行四邊形”.那么，它的否命題為“若一個(gè)平面四邊形不是矩形，則這個(gè)四邊形不是平行四邊形”，采用前面集合的記號(hào)，它可以表示為“若，則”，即“”，它與“所有的矩形都是平行四邊形”的否定“”是兩個(gè)不同的命題.

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