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《全稱量詞與存在量詞》知識探究
探究點1全稱量詞與全稱量詞命題
1.全稱量詞
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞(universalquantifier),并用符號“”表示.
2.全稱量詞命題
含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題(universalproposition).
【要點辨析】
1.從集合的觀點看,全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質的命題.全稱量詞表示的數量可能是有限的,也可能是無限的.
2.常見的全稱量詞有“一切““每一個”“任給”等.
3.一個全稱量詞命題可以包含多個變量,如“”.
4.全稱量詞命題含有全稱量詞,有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的,理解時需要補充出來.
學科素養:用邏輯用語表述具體的實例，提升數學抽象核心素養.
典例1[觀察記憶能力](1)下列命題中,是全稱量詞命題的是_________.(填序號)
①所有的一次函數都是單調函數.
②.
③負數的平方都是正數.
④平行四邊形對角線互相平分.
(2)用量詞符號表述下列全稱量詞命題.
①任意一個實數乘都等于它的相反數.
②對任意實數,都有.
點撥：(1)理解全稱量詞的意義,掌握常見的全稱量詞是解決此問題的關鍵,有些隱含的量詞要挖掘出來.①含有全稱量詞“所有的”,所以是全稱量詞命題.②含有全稱量詞符號“”所以是全稱量詞命題.③省略了全稱量詞“任意一個”,所以是全稱量詞命題.④在敘述上沒有全稱量詞,但實際上是指“所有的”所以是全稱量詞命題.
答案：①②③④
(2)掌握全稱量詞的符號是解題關鍵.具體解題過程如下:
①.②.
探究點2存在量詞與存詞量詞命題
1.存在量詞
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞(existentialquantifier),并用符號“”表示.
2.存在量詞命題
含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題(existentialpropostition).
【要點辨析】
1.從集合的觀點看,存在量詞命題是陳述某集合中有(存在)一些元素具有某種性質的命題.
2.常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等.
3.含有存在量詞的命題,不管包括的程度多大,都是存在量詞命題.
4.一個存在量詞命題可以包含多個變量,如“,使”.
含有存在量詞“存在”“有一個”等的命題,或雖沒有寫出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題.
學科素養：用邏輯符號語言表述實例,提升數學抽象核心素養.
典例2[概括理解能力](1)下列命題中,是存在量詞命題的是________.(填序號)
①正方形的四條邊相等.
②有兩個角是的三角形是等腰直角三角形.
③正數的平方根不等于0.
④至少有一個正整數是偶數.
⑤所有正數都是實數嗎
(2)(2019-東北師范大學附中高一檢測)用符號“”表示下列存在量詞命題:
①存在一個,使.
②至少有一個是無理數是無理數.
③有些整數既能被2整除,又能被3整除.
點撥:(1)理解存在量詞的意義,掌握常見的存在量詞就能解決此問題.
解析:①②③是全稱量詞命題;④中含有存在量詞“至少有一個”是存在量詞命題;
⑤是問句,不是命題.
(2)①.
②是無理數,是無理數.
③有些數,既能被2整除,又能被3整除.
答案:(1)④ (2)見解析
探究點3含有一個量詞的命題的否定
1.全稱量詞命題的否定
一般地,對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結論:全稱量詞命題,它的否定.
2.存在量詞命題的否定
一般地,對于含有一個量詞的存在量詞命題的否定,有下面的結論:存在量詞命題,它的否定.
【要點辨析】
1.要否定全稱量詞命題“”,只需在中找到一個,使得不成立,也就是命題“”成立;
2.要否定存在量詞命題“”,需要驗證對中的每一個,均有不成立,也就是命題“”成立.即在書寫這兩種命題的否定時,要將相應的將存在量詞變為全稱量詞,全稱量詞變為存在量詞.
3.掌握存在量詞的符號是解題關鍵.
學科素養:對全稱量詞命題與存在量詞命題進行正確否定，提升數學抽象、邏輯推理核心素養.
典例3[推測解釋能力](1)(2019-首都師范大學附中月考)命題“對任意,都有”的否定為( )
A.對任意,都有
B.不存在,使得
C.存在,使得
D.存在,使得
(2)(2019-廣西南寧二中高一月考)命題“有些實數的絕對值是正數”的否定是( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019-山東威海一中月考)考命題,則為( )
A.
B.
C.
D.
點撥:本題為含有一個量詞的命題的否定,解決本題需明確方法“改量詞否結論”.
解析:(1)根據定義可知命題的否定為存在,使得.
(2)由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題,故其否定為全稱量詞命題,因為命題的否定只否定結論.
(3)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以命題的否定為.
答案：(1)D(2)C(3)B
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