資源簡介

2.2基本不等式
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.
難點：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節在前面研究不等式的性質的基礎上，展開了對一種具體的不等式——基本不等式的研究，研究基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應用.基本不等式與學生在初中學過的乘法公式有類似的作用，乘法公式能夠簡化某些特殊形式的代數式的恒等變形，而基本不等式使解決滿足一定條件的代數式的最值問題有路可循.
1.基本不等式
基本不等式可以通過許多有趣的方式建立起來，本節從不等式（上一節由第24屆國際數學家大會的會標中抽象得出）說起.取這個不等式的特殊形式，即令，，用，分別代替上式中的，，就得到了基本不等式.基本不等式中等號成立的條件與不等式相同，教學中可以借助上一節的會標圖形，幫助學生從直觀上理解與是否相等與不等式取什么符號之間的關系.
接下來，教科書闡述了基本不等式的代數解釋，這不僅有利于加深學生對基本不等式的理解，而且與學生已有的平均數概念建立了聯系，便于學生記憶這個不等式.事實上，基本不等式就是均值不等式“鏈”
中的一環，而它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因為“它可以作為不等式論的基本定理，成為支撐其他許多非常重要結果的基石”，同時它也是解決許多最值問題的有力工具.
2.基本不等式的證明
基本不等式有許多證明方法，學生可能最先想到“作差法”，教科書介紹了兩種：一種是上一節借助完全平方公式證明的基本不等式的變式；另一種是本節介紹的“分析法”，這也是一種利用不等式的性質進行證明的方法，這樣編排不僅把基本不等式與初中學過的完全平方公式建立了聯系，進一步研究了如何利用不等式性質進行證明，而且介紹了分析法，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.
分析法是一種“執果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，能夠用分析法證明的命題的證明過程必須具有推理的可逆性和推理結果的唯一性，基本不等式就具有這樣的特點.分析法常用于證明已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體的情況.這時可以嘗試從結論出發，結合已知條件，逐步反推，尋求使當前命題成立的充分條件.
教科書按照分析法的格式，從出發，逐步利用不等式的性質推出能使它成立的充分條件，直至這個顯然成立的事實，從這個不等式中也更容易發現不等式中等號成立的條件.學生可能對分析法證明的格式和為什么可以這樣證明難以理解，在證明過程中可能容易出現“充分條件不充分”的錯誤.教學中可以結合基本不等式的證明過程，對分析法的原理和過程進行充分的剖析，幫助學生通過典型案例理解分析法，掌握基本不等式的證明.
3，基本不等式的幾何解釋
在證明了基本不等式后，教科書再次研究了基本不等式的幾何背景.與從“趙爽弦圖”中的相等關系和不等關系中抽象出基本不等式的變形形式不同的是，這一次是已知基本不等式，尋求它的幾何解釋，但無論是哪種呈現順序，基本不等式的幾何背景都直觀地展示了基本不等式“從不等到相等”的變化過程.
教科書設置這個環節的目的，是想讓學生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個角度認識基本不等式，從而加深對基本不等式的理解.這個幾何解釋可以簡單地敘述為“圓的弦長的一半小于或等于圓的半徑長，當且僅當弦過圓心時，二者相等”.教學中可以讓學生將和與圖中的幾何元素建立起聯系，從而將基本不等式與幾何元素的大小關系之間聯系起來.教師還可以借助信息技術，展示點在線段上移動的過程，讓學生觀察線段的長度與圓的半徑長之間的動態關系，從而更好地理解與之間的關系隨著，大小關系的變化而發生的變化，同時體會基本不等式中蘊含的“等式”與“不等式”的內在聯系.
4.基本不等式在解決問題中的應用
本節共安排了4道基本不等式的應用問題，都是利用基本不等式求最值，例1和例2是在數學中的應用，例3和例4是在實際中的應用.在利用基本不等式解決問題之前，教師可以先讓學生明確使用基本不等式的條件（在中，，只能是非負數；在中，，可以是任意實數），以及“當且僅當時，等號成立”的兩層含義（一是當時，不等式取等號；二是不等式取等號時，必有）.
例1是用基本不等式求代數式最小值問題中的最簡情形.教科書在解決問題之前，先解釋了求代數式最小值的含義，在本例之后，還強調了代數式的最小值必須是代數式能取到的值.本例的解答則從所求代數式與基本不等式在形式上的聯系入手：是與的算術平均數的2倍，而后者的幾何平均數是一個定值，所以利用基本不等式可得當且僅當時，取得最小值2.教學中可以用“一正、二定、三相等”這種通俗易懂的語言幫助學生理解和記憶能應用基本不等式解決問題的特點.
例2讓學生用基本不等式證明兩類最值問題.教科書設置例2的目的，一是在例1的基礎上再給出一道直接利用基本不等式證明數學問題的例題；二是借此題的題干給出了利用基本不等式解決問題的兩個數學模型：已知，都是正數，如果積等于定值，那么當時，和有最小值；如果和等于定值，那么當時，積有最大值.根據這兩個數學模型可知，有兩類最值問題可以用基本不等式解決，即“兩個正數的積為定值，當這兩個數取什么值時，它們的和有最小值”和“兩個正數的和為定值，當這兩個數取什么值時，它們的積有最大值”，這就為解決例3，例4埋下了伏筆.
此外，教科書在本課時的練習和習題安排了利用基本不等式求函數的最大值或最小值的變式練習，如第46頁“練習”的第4題，習題2.2的第1題的第（1）小題，是通過變形構造兩個正數的和為定值或積為定值的問題，教學中可以根據給定代數式的形式，結合基本不等式的使用條件，引導學生對代數式進行變形.對于這類問題，教科書有意控制了這種變式問題的難度，設置的問題都是通過簡單變形就符合基本不等式應用條件的問題.教學中也要注意本部分內容的教學重點是“能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題”，不要刻意加大變形的難度.
5，基本不等式的實際應用
通過例2，教科書提出了用基本不等式解決問題的數學模型.接下來，教科書安排了兩道例題，研究了如何應用基本不等式解決實際問題.對這兩道例題的教學，要注意引導學生用基本不等式模型理解和識別實際問題中的數量關系，判斷它們是否屬于用基本不等式能夠解決的兩類最值問題，如果符合，就可以轉化為基本不等式的數學模型解決.
例如，例3的問題可以簡化為：當矩形的面積為定值時，長與寬取什么值時周長最短；當矩形的周長為定值時，長與寬取什么值時面積最大，由于矩形的面積是兩條鄰邊的積，周長是兩條鄰邊的和的2倍，所以第（1）小題實際上是已知兩個正數的積為定值，求當這兩個數取什么值時，它們的和有最小值，可以用數學模型“如果正數，的積等于定值，那么當時，和有最小值”解決；第（2）小題實際上是已知兩個正數的和為定值，求當這兩個數取什么值時，它們的積有最大值，可以轉化為數學模型“如果正數，的和等于定值，那么當時，積有最大值”解決.
在例3之后，教科書設置了另一道求最值的問題（例4），本題的背景更加復雜，不容易將其歸結為基本不等式模型.因此，對于像例4這樣的問題的教學，要引導學生先將問題進行簡化，再分析它符合什么數學模型.例4可以簡化為“池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低”，若設池底的相鄰兩條邊的邊長分別為m，m，水池的總造價為元，則，這樣求的最小值的問題，就轉化為了求兩個正數，的和的最小值的問題；而，的積為定值，于是本例實際上是已知兩個正數的積為定值，求當這兩個數取什么值時，它們的和有最小值，以及最小值是多少，可以轉化為數學模型“如果正數，的積等于定值，那么當時，和有最小值”解決.
教科書在練習和習題2.2中編排了利用基本不等式解決實際問題的題目，這些題目按照由簡單到復雜的順序排列，除了“拓廣探索”中的兩題，其他題目的難度與例3，4相當，教師在進行本部分內容的教學時也要注意把握實際問題的難度，把重點放在用基本不等式數學模型解決實際問題的基本應用上.

展開更多......

收起↑