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《等式性質與不等式性質》能力探究
分析計算能力利用基本不等式求最值
利用基本不等式,通過恒等變形及配湊,使“和”“積”為定值.常見的變形方法有拆、并、配.
（1）拆—裂項拆項
應用范圍:分子的次數不低于分母次數的分式.
變形目的:分離成整式與“真分式”的和,再根據分式中分母的情況對整式進行拆項,為應用基本不等式湊定積創造條件.
（2）并—分組并項
應用范圍:復雜的分式
變形目的:分組后各組可以單獨應用基本不等式；或者分組后先對一組應用基本不等式,再在組與組之間應用基本不等式得出最值.
（3）配—配式配系數
應用范圍:能夠挖掘出“積”或“和”為定值的代數式。
變形目的:使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值,或配以恰當的系數后,使積式中的各項之和為定值
典例1-1[數學運算](2019-衡水二中月考)已知,則取得最大值時的值為( )
A.
B.
C.
D.
點撥:分析題意,因為與和不為定值,變形為與之和再求.
解析:
∵.
∴.
當且僅當,即時取等號.
答案:
典例1-2:[數學運算](2018-湖北麻城一中期中)已知,則的最小值是( )
A.
B.4
C.
D.5
點撥:分析題意可知,此題已知是和式,所求也是和式,需要利用常數變換來求最值.本題中利用條件,進行變換,再進行計算.
解析:
由已知可得,當且僅當時取等號,即的最小值是.
答案:
說明論證能力利用基本不等式證明不等式的基本方法
1.證明不等式的基本方法
(1)觀察題中要證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,則考慮利用拆項、配湊等方法對不等式進行變形,使之達到能使用基本不等式的目的.
(2)若題目中還有已知條件,則首先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系,當已知條件中含有1時,要注意1的代換.另外,解題中要時刻注意等號能否取到.
2.基本不等式的逆用和變形
逆用:.逆用:.
(2)變形有:等,同時還要注意“添”“拆”項技巧和公式中等號成立的條件等.
典例2[數學運算、邏輯推理](2019-重慶巴蜀中學高二檢測)
(1)已知,求證:.
(2)已知,且,求證:.
點撥:利用基本不等式證明不等式,要從已知條件出發,直接或經過配湊或常值代換后,使用基本不等式說明論證并注意基本不等式成立的條件.
解析:
(1)∵,當且僅當時等號成立.
(2)∵,且,
∴
,當且僅當時取等號.
簡單問題解決能力利用基本不等式解決實際應用題
利用基本不等式解決實際應用題,其實質就是求實際生活生產中的最優問題（求最值問題）,其關鍵是正確建立數學模型.
1.利用基本不等式解決實際問題的思路
2.利用基本不等式解決實際問題的解題步驟
(1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇數學模型.
(2)建模:將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識,建立相應的數學模型.通過相關的關系建立關系式.盡量向模型上靠攏.
(3)解模:求解數學模型,得出數學結論.
(4)還原:將數學問題還原為實際問題.
典例3[數學建模](1)某工廠要圍建一個面積為的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁(墻壁足夠長),其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌墻所用的材料最省,堆料場的長和寬應分別為( )(單位:)
A.32,16
B.30,15
C.40,20
D.36,18
(2)某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋箱子,其容積為,高為,如果箱底每的造價為15元,箱璧每的造價為12元,那么箱子的最低總造價為( )
A.900元
B.840元
C.818元
D.816元
點撥:解決此類實際應用題,需分析并正確理解題意,由題設條件建立函數關系,向模型,上靠攏,利用基本不等式求解最值.
解析:
(1)要使材料最省,則要求新砌的墻璧的總長最短,設堆料場寬為,則長為,因此新墻總長),(當且僅當,即寬為,長為時等號成立).
(2)設箱底一邊的長為,箱子的總造價為元.根據題意得箱底面積為,箱底另一邊的長為,則(當且僅當時,等號成立).
答案:(1)(2)
綜合問題解決能力基本不等式常見的最值模型
若,其中為常數,則,當且僅當時等號成立.而求函數在區間上的最值時,(1)若,則時,取得最小值;(2)若,則當時,取得最小值.這可由函數的圖象得到.另外:形如的最值求解都可以轉化為的最值模型.
典例4[邏輯推理](2019-山西長治二中月考)(1)若正實數滿足,則的最小值是_______.
(2)若實數滿足,則的最大值是___________.
點撥:利用基本不等式求最小值,根據題意,利用好常見的最值模型可令問題解決起來事半功倍.
解析:
(1)∵,設,即,則,當且僅當且,即時等號成立,故的最小值為18.
(2)注意到消元有難度,而目標式為,且由條件式可以構造的平方,于是,所以,所以,當且僅當且,即時等號成立.
答案:(1)8(2)
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