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《基本不等式》知識探究
探究點1基本不等式
1.重要不等式
對于任意實數(shù),有,當且僅當時,等號成立.
,當且僅當時,等號成立.
【要點辨析】
重要不等式的實質(zhì)是實數(shù)平方的非負性,不等式中的取值既可以是某個具體的數(shù),也可以是一個代數(shù)式.
2.基本不等式
如果,那么,當且僅當時,等號成立.
其中,叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù),叫做正數(shù)的幾何平均數(shù).
因此,基本不等式也可以敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
拓展:從數(shù)列的角度來看,如果把看作正數(shù)的
等差中項,看作正數(shù)的等比中項,那么基本不等式可以敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.
【要點辨析】
(1)基本不等式成立的條件是.
①若,如,會出現(xiàn)的錯誤結(jié)論;
②若中有一個小于0,如,則無意義;
③若或等于0,雖然該不等式也成立,但在基本不等式中一般不研究這種情況.
(2)基本不等式的常見變形式:,.
(3)當時,我們分別用代替重要不等式中的,可得,變形可得.
學科素養(yǎng):解決與基本不等式相關(guān)的結(jié)論成立問題，提升邏輯推理核心素養(yǎng).
典例1.[推測解釋能力](1)(2019-陜西咸陽二中月考)已知,且,則下列結(jié)論恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-湖南邵陽二中月考)設,則下列不等式中正確的是( )
A.
B.
C.
D.
(3)“”是“”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
點拔:根據(jù)基本不等式和重要不等式的相關(guān)性質(zhì)進行推測判斷是解決本題的關(guān)鍵.
解析:
(1)對于,當時,,所以錯誤;對于,只能說明同號,當都小于0時,B,C錯誤;對于,因為,所以,所以,即成立.
(2),又因為,所以.
(3),充分性不成立,由,必要性成立.
答案：(1)(2)(3)
探究點2最值定理
設均為正數(shù).
(1)若為定值,則當時,積取最大值;
(2)若為定值,則當時,和取最小值.
【要點辨析】
1.最值定理的證明過程
(1)當時,有,當且僅當時等號成立.
(2)當時,有,故,當且僅當時等號成立.
2.最值定理簡記:和定積最大,積定和最小.
3.利用基本不等式求最值的條件
(1)一正:各項必須為正.
(2)二定:各項之和或各項之積為定值.
(3)三相等:必須驗證取等號時條件是否具備.
4.應用基本不等式求最值的關(guān)鍵
依定值去探求最值,探求的過程中常需依具體的問題進行合理的拆、湊、配等變換.
學科素養(yǎng):利用最值定理求最大(小)值，提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)
典例2.[分析計算能力](1)(2018-西安一中月考)下列各函數(shù)中,最小值為2的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-浙江寧波中學檢測)已知,且,則的最小值為( )
A.
B.
C.2
D.4
點撥:應用基本不等式求最值的關(guān)鍵是根據(jù)具體問題進行合理的拆、湊、配等變換.
解析:
(1)中沒有的條件;中,等號不能成立;C中同樣不能取等號;中時取最小值2.
(2)∵,且,
當且僅當,即時取等號.∴.
答案：(1)(2)
探究點3基本不等式的推廣與應用
若,則.當且僅當時等號成立.其中叫做的調(diào)和平均數(shù),叫做的平方平均數(shù),即調(diào)和平均值幾何平均值≤算術(shù)平均值平方平均值(注意“=”成立的條件).
的證明過程如下：
【要點辨析】
基本不等式的應用:
學科素養(yǎng):利用基本不等式的推廣式解決問題，提升數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng).
典例3.[簡單問題解決能力](1)對于,下列不等式中不正確的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-深圳高級中學檢測)若,則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是_____________.(寫出所有正確命題的序號).
①;②;③;④.
點撥:從已知條件出發(fā),根據(jù)基本不等式及推廣得出的結(jié)論是解決此類問題的關(guān)鍵.
解析:
(1)當時,因為,所以,當且僅當時等號成立,故不正確;顯然均正確.
(2)因為,所以,所以①恒成立;,所以②不恒成立;,所以③恒成立;當時,,所以④不恒成立.
答案:(1)A(2)①③
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