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《二次函數與一元二次方程、不等式的關系》能力探究
分析計算能力解一元二次不等式的方法
方法1:若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解,即能夠轉化為幾個代數式的乘積形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.
方法2:若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值,完全平方式始終大于或等于零,易得不等式的解集.
方法3:若上述兩種方法均不能解決,則應采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法,并可用程序框圖表示其求解過程.
典例1[數學運算](1)不等式的解集為( )
A.
B.,或
C.
D.
(2)不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
(3)函數的定義域為( )
A.
B.
C.
D.
(4)若,則不等式的解集為__________.
點撥:通過分析不等式對應的方程,選擇合理的解決方法進行計算是解題關鍵.
解析:
(1)不等式變形為,即,得.
(2)因為,則方程有兩個相等的實數根,所以原不等式的解集為.
(3)解不等式組得或.
(4)方程的兩根為.又,∴不等式的解集為.
答案(1)D(2)D(3)C(4)
簡單問題解決能力一元二次不等式在上恒成立問題的方法
已知某個一元二次不等式恒成立,求式子中某些參數的范圍是常考的題型之一,主要有以下方法:
(1)利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在上的恒成立問題.
當未說明不等式為一元二次不等式時,有:
不等式對任意實數恒成立或
②不等式對任意實數恒成立
(2)分離自變量和參變量,利用等價轉化思想將其轉化為求函數的最值問題.
通過等價變換,將參變量從整體中分離出來,轉化為
①若在定義城內存在最大值,則(或恒成立(或).
若在定義域內存在最小值,則(或恒成立(或.
典例2.[數學運算](1)(2019-黃岡中學月考)在上定義運算,若不等式對任意實數恒成立,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知關于的不等式對一切實數恒成立,則實數的取值范圍為______________.
點撥:解決有關恒成立的一元二次不等式的問題時,對于,常利用一元二次函數圖象、一元二次方程根的判別式求解.
解析:
(1)根據題意,不等式可變形為a).要使恒成立,則,即.
(2)討論不等式二次項系數,結合判別式即可解答.具體解題過程如下:
①當,即或時,顯然符合條件,不符合條件.②當時,由二次函數對一切實數恒為正數,得
解得.結合①②得實數的取值范圍是.
答案(2)
綜合問題解決能力一元二次不等式在給定區間上恒成立問題
兩根與的大小比較
2.根在區間上的分布
典例3-1[數學運算](2019-湖北武漢外校月考)關于的一元二次方程在區間上有實數解,求實數的取值范圍.
點撥:本題為一元二次不等式的含參問題,求解此題,根據一元二次方程根的分布情況推出大致圖象,借助根與系數的關系即可解答.
解析:
設,若在區間上有一個實數解,∵或解得.若在區間上有兩個實數解,
綜上,可知的取值范圍是.
典例3-2[邏輯推理]已知方程有兩實根.
(1)如果兩實根都大于1,求實數的取值范圍;
(2)如果兩實根都在區間內,求實數的取值范圍;
(3)如果一個根大于2,另一個根小于2,求實數的取值范圍.
點撥:本題結合一元二次方程根的分布情況畫出圖象.利用數形結合思想解答問題.
解析:
(1)設函數,作其草圖,如右圖,若兩實根均大于1,
需即解得.
(2)若兩根,則所以.
(3)若一根大于2,另一根小于2,則,即0,解得.
分析計算能力三個“二次”之間的關系的應用
在解決具體的數學問題時,要注意一元二次不等式及相應的函數與方程三者之間的相互聯系,并在一定條件下相互轉化.
(1)若一元二次不等式的解集為區間的形式,則區間的端點值恰是相應一元二次方程的根,要注意解集與二次項數的聯系.
(2)若已知一元二次方程的根,可以寫出相應不等式的解集,反之,已知不等式的解集也可以寫出相應二次方程的根,進一步可求得方程中的系數或得到系數之間的關系.
(3)二次函數與一元二次方程、一元二次不等式三者之間有緊密的關聯.一元二次不等式的解集就是二次函數的圖象中在軸上方的點的橫坐標的集合,一元二次方程的根就是相應二次函數的圖象與軸交點的橫坐標.
典例4.[數學運算](2019-陜西西安一中月考)若不等式的解集是,求不等式的解集.
點撥:分析題意可發現要求不等式的解集,先計算與其相應的一元二次方程的根,注意確定根與系數之間的關系.
解析:
由的解集為,知.又,知.又為方程0的兩個根,∴.又,
∴不等式變為,即.
又∵,所求不等式的解集為.
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