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《二次函數與一元二次方程、不等式的關系》知識探究
探究點1基本不等式
1.一元二次不等式:一般地,我們把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是或,其中均為常數,.
【要點辨析】
(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數,并且這個未知數是唯一的,但這并不意味著不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,則把其他字母看成常數.
(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數的最高次數必須是2,且最高次項的系數不為.
2.三個“二次”之間的關系
學科素養:借助相應的二次函數求解一元二次不等式,提升直觀想象核心素養.
典例1[觀察記憶能力](2019-山東青島二中周練)分別畫出下列函數的圖象,并分別指出函數值,時,自變量的取值.
(1).
(2).
(3).
點撥:本題主要考查三個“二次”之間的聯系,通過觀察對應函數的圖象求解一元二次不等式.
解析:(1)作出函數圖象,如下圖所示,由圖可知:當時,或;當時,或;當時,.
(2)作出函數的圖象,如下圖所示,由圖可知:當時,;當時,;當時,符合題意的不存在.
(3)作出函數的圖象,如下圖所示,由圖可知:當時,;當時,符合題意的不存在；當時,符合題意的不存在.
探究點2一元二次不等式的解法
1.求解一元二次不等式可利用相應的一元二次函數和數形結合的思想求解
2.一元二次不等式包括分式不等式,解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉化為有理整式不等式(組)求解,即
(1).
(2)支.
(3)支.
(4)支.
(5)支.
對于的分式不等式,其中,先把不等式右邊化為0,再通過商的符號法則,把它轉化為整式不等式求解.
學科素養:借助一元二次方程求解一元二次不等式,提升數學運算核心素養
典例2.[分析計算能力]解下列不等式:
解析:
(1)因為,所以方程有兩個不等實根.又二次函數的圖象開口向上,所以原不等式的解集為或.
(2)因為,所以方程有兩個不等實根.又二次函數的圖象開口向下,所以原不等式的解集為.
(3)原不等式可化為即故原不等式的解集為.
探究點3一元二次不等式的應用
將實際問題轉化成不等式的數學模型是解決一元二次不等式應用問題的關鍵.
(1)將實際的不等關系寫成對應的不等式時,應注意實際問題中關鍵性的文字語言與對應的數學符號之間的正確轉換.
(2)掌握常見的文字語言與數學符號之間的對應關系.
【要點辨析】
求解不等式應用題的四個步驟:
(1)審題,把握題干中的關鍵量,找準不等關系.(2)引進數學符號,將文字信息轉化為符號語言,用不等式表示不等關系,建立相應的數學模型.
(3)解不等式,得出結論,注意數學模型中自變量的實際意義
(4)還原為實際問題的結果
學科素養:借助一元二次不等式解決實際生活問題,提升數學建模核心素養.
典例3.[簡單問題解決能力]汽車在行駛中,由于慣性的作用,剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止.我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析事故的一個重要因素.
在一個限速為的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發現情況不對,同時剎車,但還是相碰了.事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過,乙車的剎車距離略超過.已知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間分別有如下關系:.問:甲、乙兩車有無超速現象
點撥:找出問題中的不等關系建立數學模型是解決問題的關鍵.
解析:由題意知,對于甲車,有,即,解得或(不符合實際意義,舍去).這表明甲車的車速超過.
但根據題意知剎車距離略超過,由此估計甲車的車速不會超過限速.
對于乙車,有,即0.解得或(不符合實際意義,舍去),這表明乙車的車速超過,即超過規定限速.
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