資源簡介

《一元二次函數、方程和不等式》本章教材分析
一、本章知能對標
必備知識 學科能力 學科素養 高考內容
1.等式性質與不等式性質 學習理解能力 觀察記憶、概括理解、 說明論證 應用實踐能力 分析計算、推測解釋、 簡單問題解決 遷移創新能力 綜合問題解決、 猜想探究、 發現創新 數學抽象 數學運算 邏輯推理 不等式性質的應用,尤其是比較兩式的大小和利用性質進行不等關系的變形
2.基本不等式 數學運算 邏輯推理 數學建模 利用基本不等式求最值或證明不等式(比較大小),并與應用問題結合起來
3.二次函數與一元二次方程、不等式 直觀想象 數學運算 邏輯推理 數學抽象 解一元二次不等式是考試的基礎內容,并能應用于恒成立等問題上
二、本章教學規劃
本章主要內容包括“相等關系與不等關系”和“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”.相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系,是構建方程、不等式的基礎;方程和不等式都是重要的數學工具,在解決問題中有廣泛的應用,用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法.
在本章的學習中,學生將通過類比初中學過的等式和方程,學習不等式的性質,理解等式與不等式的共性與差異,掌握基本不等式;并將在初中學習一元一次函數與方程、不等式的聯系的基礎上,用二次函數的觀點看一元二次方程和一元二次不等式,理解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系,借助二次函數求解一元二次不等式.通過本章的學習,學生的邏輯推理和數學運算學科核心素養將得到進一步提升.
三、本章教學目標
1.等式性質與不等式性質
梳理等式的性質,理解不等式的概念,掌握不等式的性質.
2.基本不等式
掌握基本不等式.結合具體實例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
3.從函數觀點看一元二次方程
會結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數,了解函數的零點與方程根的關系.
4.從函數觀點看一元二次不等式
(1)經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現實意義;能借助二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
(2)借助二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.
四、本章教學重點難點
重點:
1.不等式的基本性質,等式與不等式的共性與差異.
2.基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋,用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的聯系,借助二次函數求解一元二次不等式.
難點:
1.類比等式的基本性質及其蘊含的思想方法,研究不等式的基本性質,等式與不等式的共性與差異.
2.基本不等式的幾何解釋,用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的聯系,借助二次函數求解一元二次不等式.
五、課時安排建議
本章教學約需5課時,具體安排如下:
名稱 課時
第1節 等式性質與不等式性質 約1課時
第2節 基本不等式 約1課時
第3節 二次函數與一元二次方程、不等式 約1課時
小結 約2課時
六、本章教學建議
本章要在回顧、梳理初中的一些重要知識、提煉其中的思想方法的基礎上,以不等式的相關內容為載體,提升學生對數學學習的認識水平,為高中的數學學習做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備,所以本章的教學,要重點關注與初中內容的銜接,以及在銜接基礎上的提升.具體說來,有以下四個方面的建議.
1.類比方程研究不等式,滲透研究一個數學對象的基本路徑.
本章教學要注意引導學生借助已有經驗構建研究不等式的基本路徑,包括研究對象的抽象、研究內容的確定、研究過程的安排、研究方法的獲得等.
不等式的類比對象是等式,等式的研究路徑大致是“現實背景相等關系與等式性質方程及其解法應用”,這個過程實際是“獲取代數對象、性質、運算、應用”.據此,可以在學習本章內容之前,先讓學生在回顧和總結初中等式學習過程的基礎上,提出研究不等式的研究路徑.
2.抓住關鍵點,讓學生充分經歷研究過程
如前所述,本章的重點內容是不等式基本性質的發現過程及性質本身,以及二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的聯系,對這兩個內容的教學都要注意在初高中內容之間建立連接,并提升對已學內容的認識,在此基礎上進行拓展,也就是“回顧——梳理——提煉——遷移”的過程,其中“提煉”是關鍵.該過程可以借助特例驗證、修正猜想的性質,再證.
對于二次函數與一元二次方程、不等式的聯系的教學,可以先讓學生回顧從一次函數的觀點看一元一次方程和一元一次不等式的含義,體會三者的聯系中蘊含的一般規律.函數圖象與x軸的交點的橫坐標即是相關方程的根,在x軸上方或下方的點的橫坐標的取值范圍就是相應不等式的解集.再引導學生借助這個規律,探究二次函數與一元二次方程、不等式的關系,學生將不難從二次函數圖象的關鍵點上去尋找解決問題的“突破口”.
3.處理好不等式證明的教學,為后續學習打下基礎
用不等式的性質證明？簡單命題不是本章的重點內容,但是學生在今后的學習中難免遇到代數證明的問題,而他們在初中又缺少代數證明的經驗,因此本章有必要借助不等式的證明為學生打下這方面的基礎.對于不等式證明的教學,一方面,要注意控制難度.教科書只介紹了三種不等式的證明方法——作差法、兩頭夾逼法和分析法,而且每種方法都是蘊含在具體例子里的,教科書對方法本身都沒有特別說明.這樣編排主要是為了不沖淡本章的主題.因此教學中也沒有必要補充過多的方法和過難的問題;另一方面,教學中可以結合更多的典型例子,對這三種證明方法或思路多做些介紹.例如,“作差法”依據的是實數大小比較的基本事實,是最基本、最重要的不等式證明方法,用這種方法進行證明時需要對代數式進行正確的恒等變形,把兩個式比大小的問題轉化為判斷代數式的符號問題;而“兩頭夾逼法”的證明思路適用于不容易從要求證的不等式看出應該對給定的不等式做什么樣的變形的情況,通過結合已知條件,尋求使結論成立的充分條件,再利用不等式的性質,由已知條件推出這個充分條件,這實際上是分析法與綜合法的綜合應用;“分析法”的證明過程是“執果索因”,即尋求使當前命題成立的充分條件,直至明顯成立的條件為止.
4.重視不等式實際應用的教學,充分發揮不等式的工具價值
本章對不等式實際應用的編排主要體現在用兩種具體的不等式——基本不等式和一元二次不等式解決實際問題.應用基本不等式解決實際問題是本章的一個難點,教學中可以結合基本題和變式題,引導學生對實際問題進行簡化,用基本不等式的數學模型去理解和識別實際問題中的數量關系,看它們是否符合模型中的條件,再示范如何用基本不等式解決問題;還可以比較基本不等式模型與方程模型在解決實際問題中的異同,使學生加深對前者的理解,從而利用一元二次不等式解決實際問題.
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