資源簡介

《一元二次函數、方程和不等式》評價建議
一、本章學業要求
1.能夠理解不等式的概念，掌握不等式的性質.
2.能夠掌握基本不等式，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
3.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義.
4.能夠借助二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.
5.能夠借助二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
6.能夠從函數的觀點認識方程和不等式，感悟數學知識之間的關聯，認識函數的重要性，體會數學的整體性.
7.能夠在本章的學習中，重點提升邏輯推理、數學運算和數學建模素養.
二、本章評價建議
為落實本章的學業要求，以下從核心知識評價要求、思想方法評價要求和關鍵能力評價要求的三個維度，提出具體的評價建議.
1.核心知識評價要求
依據本章學習目標和學業要求，可列出本章的7個核心知識按照了解、理解、掌握的三個認知層次，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求.具體評價要求詳見表1.
表1
主題 知識單元 核心知識 評價要求 個數
了解 理解 掌握
預備 知識 一元二次函數、方程和不等式 等式與不等式的性質 不等式的概念 √ 2
不等式的性質 √
基本不等式 基本不等式及其應用 √ 1
二次函數與一元二次方程、不等式 一元二次不等式的概念 √ 4
二次函數的零點 √
一元二次不等式與相應函數、方程的聯系 √
一元二次不等式的解法 √
總計 3 2 2 7
對數學知識技能的評價，本章應關注學生能否把握知識之間的內在聯系.如學生能否真正理解從等式性質通過類比得到不等式性質的過程，能否體會到等式與不等式的共性與差異；學生能否由具體的二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系，進一步推廣，探索一般的二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系.
為此，我們對本章7個核心知識的評價要求，分別按照了解、理解和掌握三個層次的具體含義進行了細化解析，使其對教學具有有效的評價和指導作用.
（1）理解不等式的概念：能類比等式表示相等關系，舉例說明不等式可以表示不等關系；知道實數大小關系的基本事實；能根據實數大小關系的基本事實，比較兩個代數式的大小.
（2）掌握不等式的性質：能類比等式的基本性質，猜想并證明不等式的基本性質；能根據實數大小關系的基本事實和不等式的性質證明簡單不等式問題.
（3）掌握基本不等式及其應用：能描述基本不等式的內容；能利用不等式的性質證明基本不等式；能說明基本不等式的幾何解釋；能結合具體實例，用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
（4）了解一元二次不等式的概念：知道一元二次不等式的含義，初步認識一元二次不等式的現實意義.
（5）了解二次函數的零點：知道二次函數的零點定義，能發現二次函數的零點與方程根的關系；會結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數.
（6）了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系：能借助二次函數的圖象，初步認識一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.
（7）理解一元二次不等式的解法：能夠借助二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；會利用一元二次不等式解決簡單的實際問題.
2.思想方法評價要求
本章的數學思想方法主要包括函數與方程的思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想等4種，具體評價要求詳見表2.
表2
思想方法 評價要求
函數與方程 能分析實際問題中的數量關系，并通過設自變量建立函數模型或不等式模型解決實際問題；能運用函數、方程和不等式的關系，從函數觀點看一元二次方程，從函數觀點看一元二次不等式，體會函數的統領作用.
數形結合 能說明基本不等式的幾何解釋；能借助二次函數圖象，說明二次函數與一元二次方程、不等式的聯系；能根據二次函數二次項系數和一元二次方程的根畫出二次函數圖象，能夠借助函數圖象，求解一元二次不等式.
化歸與轉化 能將比較兩個代數式大小的問題轉化為兩個代數式的差與0比大小的問題；能將解方程的問題轉化為研究函數，當自變量為何值時，函數值的問題；能將解不等式的問題轉化為研究函數，當自變量在什么范圍時，函數值的問題.
特殊與一般 在基本不等式的應用中，能利用一般結論求特殊實例中的最大值或最小值問題；能將特殊的二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的聯系，推廣為一般的二次函數與一元二次方程、不等式的聯系；能將具體的一元二次不等式的求解過程推廣至一般的一元二次不等式的求解過程.
（1）要特別關注學生是否掌握應用基本不等式求最值問題.如學生是否清楚基本不等式的使用條件，基本不等式可以解決哪類最值問題，利用基本不等式求最值時為什么需要驗證相等條件，學生是否真正理解“一正、二定、三相等”的含義.
（2）要特別關注學生是否會用函數的思想統領方程和不等式.如學生在解一元二次不等式的過程中，是否能通過函數方法，借助二次函數圖象的直觀，正確得到一元二次不等式的解集.
3.關鍵能力評價要求
本章的關鍵能力主要包括抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、直觀想象能力和數學建模能力等5個，具體評價要求詳見表3.
表3
關鍵能力 評價要求
抽象概括 能在具體情境中抽象出基本不等式和一元二次不等式，并利用特殊與一般、具體與抽象的關系，會求簡單的最大值或最小值的問題；能借助二次函數圖象的直觀，得到求解一元二次不等式的通性通法.
推理論證 通過類比等式的基本性質研究不等式的基本性質，類比一次函數、方程和不等式的關系，研究二次函數、方程和不等式的關系；能通過觀察、比較、分析，判斷不等式是否成立和證明不等式成立；能利用基本不等式解決簡單的最值問題，并能清晰、準確地進行表述.
運算求解 能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題；能夠借助二次函數與一元二次方程、不等式之間的聯系求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
直觀想象 能借助幾何解釋理解基本不等式的含義；能借助二次函數圖象，求解一元二次不等式，形成數學直覺和數形結合的思想.
數學建模 能通過閱讀、理解問題情境，選擇合適的變量，建立基本不等式模型和一元二次不等式模型，解決簡單的最值問題和實際問題；能運用數學語言表述數學建模的過程以及解決問題的結果.
（1）要特別關注學生能否形成利用類比、特殊與一般的關系來研究新問題的意識.如學生能否類比等式的性質，猜想和證明不等式的性質；能否類比一次函數、一元一次方程和一元一次不等式的聯系，研究二次函數、一元二次方程和一元二次不等式的聯系；能否從具體的一元二次不等式的求解過程推廣至一般的一元二次不等式的求解過程.要讓學生充分經歷觀察、操作、類比、推理、歸納、交流的全過程，不應單純評價求解一元二次不等式的結果，而應注重對數學本質的理解和思想方法的把握，結合具體問題進行評價，避免片面強調機械模仿和復雜技巧.
（2）要特別關注學生能否提升數學建模的核心素養，如學生能否根據實際情境建立相應的函數模型或者不等式模型；能否理解基本不等式這個重要的數學模型，在具體問題中，能否識別這個模型；等等.注重學生學習過程中的閱讀與理解、表達與交流的能力是否有提高，是否經歷了讀模、識模、建模、解模全過程.特別要注意將數學建模滲透在全章的學習過程之中，可以通過典型例子規范學生的建模過程，通過測試檢驗學生掌握情況，為學生以后進一步提升數學建模素養打好基礎.
三、本章命題建議
1.本章學業水平測試的命題意圖
（1）以二次函數、方程和不等式的核心知識為素材，突出評價學生對等式性質與不等式性質、基本不等式以及利用基本不等式解決簡單的最值問題等的了解、理解和掌握程度；評價學生對一元二次不等式的解法和應用的了解、理解和掌握程度.
（2）以二次函數、方程和不等式的基本問題為載體，突出函數對方程和不等式的統領作用，注重結合具體問題情境融入函數與方程、數形結合、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想方法，強調通性通法，淡化特殊技巧.
（3）以一元二次函數、方程和不等式的簡單應用為特征，突出問題情境中要蘊含數學關鍵能力的評價，要將一元二次函數、方程和不等式的核心知識、思想方法和實際應用有機地結合，重在評價學生綜合運用本章知識解決實際問題的能力.
2.本章學業水平測試題的雙向多維細目表
依據上述要求，我們設計了本章學業水平測試題的雙向多維細目表（詳見表4），編制了一套示范性學業水平測試題，并給出了參考答案，以供教學時選用.
表4
題型 題號 問題情境 核心知識 評價要求 思想方法 關鍵能力
選 擇 題 1 現實（A） 不等式的概念 理解 化歸與轉化 抽象概括
2 數學（A） 不等式的概念 理解 化歸與轉化 推理論證
3 數學（B） 不等式的基本性質 掌握 化歸與轉化 推理論證
4 數學（B） 不等式的基本性質 掌握 化歸與轉化 推理論證
5 數學（A） 基本不等式 掌握 化歸與轉化 邏輯思維
6 數學（A） 一元二次不等式的解法 理解 數形結合 運算求解
填 空 題 7 數學（A） 二次函數、方程和不等式的聯系 了解 函數與方程 直觀想象
8 數學（B） 用基本不等式求簡單最值問題 掌握 特殊與一般 運算求解
9 數學（B） 用基本不等式求簡單最值問題 掌握 特殊與一般 運算求解
10 數學（B） 一元二次不等式的解法 理解 數形結合 運算求解
解 答 題 11 現實（C） 用基本不等式求簡單最值問題 掌握 函數與方程 數學建模
12 現實（C） 二次函數、方程和不等式的聯系 了解 函數與方程 數學建模

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