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解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法
——形成精準思維模式，快速解題
類型一　利用“三線合一”作輔助線　　　　　　　　　　　　　　　
一、已知等腰作垂線(或中線、角平分線)
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于點E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，則∠BAC＝ .【方法16】
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F.【方法16】
(1)求證：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，圖中與DE相等的有哪些線段(不說明理由)
3．如圖，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點，且EA＝EC，求證：EB⊥AB.
二、構造等腰三角形
4．如圖，△ABC的面積為1cm2，AP垂直∠ABC的平分線BP于P，則△PBC的面積為【方法16】（ ）
A．0.4cm2
B．0.5cm2
C．0.6cm2
D．0.7cm2
類型二　利用等腰直角三角形構造全等
5．★如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB延長線上一點，AE＝AD，且AE⊥AD，BE與AC的延長線交于點P.求證：BP＝PE.
類型三　等腰(邊)三角形中截長補短或作平行線構造全等
6．★如圖，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB＋CD.
參考答案與解析
1．40°
2．(1)證明：連接AD.∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD(AAS)．∴DE＝DF；
(2)解：若∠BAC＝90°，圖中與DE相等的有線段AE，AF，BE，CF，DF.
3．證明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.
4．B
5．證明：作EM⊥AP于M.∵∠ACB＝90°，∴∠M＝∠ACD.∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∠EAM＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠AEM.在△ADC和△EAM中，∴△ADC≌△EAM(AAS)．∴AC＝EM.∵AC＝BC，∴BC＝EM.∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠M.在△BCP和△EMP中，∴△BCP≌△EMP(AAS)．∴BP＝PE.
6．證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.類比歸納專題：證明線段相等的基本思路
——理條件、定思路，幾何證明也容易
類型一　已知“邊的關系”或“邊角關系”用全等
1．如圖，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F為垂足，求證：
(1)AC＝AD；
(2)CF＝DF.
2．如圖，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分別在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中點．求證：△MDE是等腰三角形．
類型二　已知角度關系或線與線之間的位置關系用“等角對等邊”
3．如圖，在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于點D，求證：DE＝DF.
4．(2015－2016·孝南區期末)如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分線AD交BC于D，過C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.
(1)求證：AN＝AC；
(2)試判斷BN與CD的數量關系，并說明理由．
類型三　已知角平分線、垂直或垂直平分用相應的性質
5．如圖，△ABC中，∠CAB的平分線與BC的垂直平分線DG相交于D，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，求證：BE＝CF.
6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求證：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
參考答案與解析
1．證明：(1)在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD；
(2)在Rt△ACF和Rt△ADF中，AC＝AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF，∴CF＝DF.
證明：連接CM，則BM＝CM，且CM⊥MB，∴∠B＝∠MCE＝45°，∴BM＝AM＝CM.在△MBD和△MCE中，BM＝CM，∠B＝∠MCE，BD＝CE，∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE是等腰三角形．
3．證明：∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE＝∠BCE.∵CF為△ABC外角∠ACG的平分線，∴∠ACF＝∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF.∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.
4．(1)證明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH＝∠CAH.又∵在△ANH和△ACH中，∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，∴AN＝AC；
(2)解：BN＝CD.理由如下：連接ND.在△AND和△ACD中，∴△AND≌△ACD(SAS)，∴DN＝DC，∠AND＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠AND＝2∠B.又∵△BND中，∠AND＝∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，∴BN＝CD.
5．證明：連接BD、CD.∵AD是∠FAE的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵DG是BC的垂直平分線，∴BD＝CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴BE＝CF.
6．證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝DF，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；
(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.模型構建專題：共頂點的等腰三角形
——明模型，悉結論
類型一　共直角頂點的等腰直角三角形
1．如圖，已知△ABC和△DBE均為等腰直角三角形．
(1)求證：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，請說明理由；若不垂直，則只要寫出結論，不用寫理由．
類型二　共頂點的等邊三角形
2．如圖①，等邊△ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE.
(1)△DBC和△EAC會全等嗎？請說明理由；
(2)試說明AE∥BC的理由；
(3)如圖②，將(1)中動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．
參考答案與解析
1．(1)證明：∵△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.
解：垂直．理由如下：如圖，延長AD分別交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.
2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC為等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.證明如下：∵△ABC，△EDC為等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.難點探究專題：動態變化中的三角形全等
——以“靜”制“動”，不離其宗
類型一　動點變化
1．如圖甲，已知AB＝AC，M是BC的中點，點D是線段AM上的動點．
(1)求證：BD＝CD；
(2)如圖乙，若點D在線段MA的延長線上，BD與CD還相等嗎？為什么？
(3)如圖丙，若M不是BC的中點，且BM＝CM，則(1)中的結論還成立嗎？請你直接寫出結論．
類型二　圖形變換
一、平移
2．如圖甲，已知A，E，F，C在一條直線上，AE＝CF，過E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.
(1)試問OE＝OF嗎？請說明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如圖乙的位置，其余條件不變，上述結論是否仍成立？請直接寫出結論．
二、旋轉
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、F分別在AB，AC上，CF＝CB，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，連接EF.求證：△BCD≌△FCE.
三、翻折
4．★(啟東月考)如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF＝∠DAB.試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．【方法14】
參考答案與解析
1．(1)證明：∵M是BC的中點，∴BM＝CM.在△ABM和△ACM中，∵AB＝AC，AM＝AM，BM＝CM, ∴△ABM≌△ACM(SSS)，∴∠BAM＝∠CAM. 在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；
(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM＝∠CAM，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；
(3)解：結論依然成立．
2．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在△BFO和△DEO中，∵∠BFO＝∠DEO，∠BOF＝∠DOE，BF＝DE，∴△BFO≌△DOE(AAS)，∴OE＝OF；
(2)結論依然成立．
3．證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，∵CB＝CF，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)．
4．解：DE＋BF＝EF.證明如下：延長CB至G，作∠5＝∠1，如圖．∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，∠EAF＝∠DAB，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠EAF.在△AGB和△AED中，∵∠5＝∠1，AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∴△AGB≌△AED(ASA)．∴AG＝AE，BG＝DE.在△AGF和△AEF中，∵AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴GF＝EF.∴BG＋BF＝EF，∴DE＋BF＝EF.易錯專題：等腰三角形中易漏解或多解的問題
——易錯歸納，各個擊破　　　　　　　　　　　　　　　
類型一　求長度時忽略三邊關系
1．等腰三角形的兩邊長分別為5和12，則其周長為（ ）
A．22 B．29
C．22或29 D．17
2．學習了三角形的有關內容后，張老師請同學們交流這樣一個問題：“已知一個等腰三角形的周長是12，其中一條邊長為3，求另兩條邊的長”．同學們經過片刻思考和交流后，小明同學舉手說：“另兩條邊長為3、6或4.5、4.5.”你認為小明的回答是否正確： ，理由是 ．
3．已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中線BD將三角形的周長分成9cm和15cm兩部分，求這個三角形的腰長和底邊的長．
類型二　當腰或底不明求角度時沒有分類討論
4．(雙柏縣模擬)已知等腰三角形的一個內角為40°，則這個等腰三角形的頂角為【易錯7】（ ）
A．100° B．40°
C．40°或100° D．60°
5．(淮北期末)等腰三角形的一個外角等于100°，則與這個外角不相鄰的兩個內角的度數分別為（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．80°，80° D．50°，50°或80°，20°
6．已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數為 .【易錯7】
7．★一個大等腰三角形能被分割成兩個小等腰三角形，試求這個大等腰三角形頂角的度數．
類型三　三角形的形狀不明與高結合時沒有分類討論
8．等腰三角形的一個角是50°，則它一腰上的高與底邊的夾角是【易錯5】（ ）
A．25° B．40°
C．25°或40° D．不能確定
9．★已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°，求頂角的度數．
參考答案與解析
1．B
2．不正確　沒考慮三角形三邊關系
3．解：設腰長為xcm，①腰長與腰長的一半是9cm時，x＋x＝9，解得x＝6，∴底邊＝15－×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能組成三角形；②腰長與腰長的一半是15cm時，x＋x＝15，解得x＝10，∴底邊＝9－×10＝4(cm)，∴三角形的三邊為10cm，10cm，4cm，能組成三角形．綜上所述，三角形的腰長為10cm，底邊長為4cm.
4．C　5.D　6.120°或20°
7．解：(1)如圖①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD.∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝DC，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD.∵∠CDA＝2∠B，∴∠CAB＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；
(2)如圖②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD.∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；
(3)如圖③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC.∵AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∵∠BDC＝2∠A，∴∠C＝2∠A＝∠ABC.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；
(4)如圖④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.假設∠A＝x，AD＝BD，∴∠DBA＝x.∵AB＝AC，∴∠DBC＝，CD＝BC，∴∠BDC＝2x＝∠DBC＝－x，∴x＝.
綜上所述，這個大等腰三角形頂角的度數為108°或90°或36°或.
8．C
9．解：此題要分情況討論：當等腰三角形的頂角是鈍角時，如圖①所示，腰上的高在外部．根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，得頂角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；當等腰三角形的頂角是銳角時，腰上的高在其內部，如圖②所示，故頂角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.綜上所述，頂角的度數為110°或70°.

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