資源簡介

2023屆高考數學復習專題 ★★
解析幾何的20個微專題
專題1：直線與方程
知識梳理：
（1）直線的傾斜角
定義：當直線與軸相交時，我們取軸作為基準，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
當直線與軸平行或重合時，規定它的傾斜角為.傾斜角的范圍為.
（2）直線的斜率：
定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即.
傾斜角是的直線，斜率不存在.
（3） 過兩點的直線的斜率公式：
經過兩點的直線的斜率公式：當時，；
當時，斜率不存在.
注：①任何直線都有傾斜角，但不是任何直線都有斜率，傾斜角是的直線的斜率不存在.
②斜率隨傾斜角的變化規律：
傾斜角
斜率 ，增大，增大 不存在 ，增大，增大
③可以用斜率來證明三點共線，即若，則三點共線.
直線方程的五種形式
名稱 方程的形式 常數的幾何意義 適用范圍
點斜式 是直線上一定點，是斜率 不垂直于軸
斜截式 是斜率，是直線在軸上的截距 不垂直于軸
兩點式 ，是直線上兩定點 不垂直于軸和軸
截距式 分別是直線在軸上和軸上的非零截距 不垂直于軸和軸，且不過原點
一般式 時，斜率為，在軸上的截距，在軸上的截距為 任何直線
注意：①求直線方程的方法主要有兩種：一是直接法，根據已知條件，選擇適當的直線方程的形式，直接寫出直線方程；二是待定系數法，先設出直線方程，再根據條件求出待定系數，最后代入求出直線方程.
但使用直線方程時，一定要注意限制條件，以免解題過程中丟解.
②截距與距離的區別：截距可為一切實數，縱截距是直線與軸交點的縱坐標，橫截距是直線與軸交點的橫坐標，而距離是一個非負數.
直線與直線位置關系
1．兩條直線的交點
若直線：和：相交，則交點坐標是方程組的解.
2．兩條直線位置關系的判定
（1）利用斜率判定
若直線和分別有斜截式方程：和：，則
①直線∥的等價條件為.
②直線與重合的等價條件為.
③直線與相交的等價條件為；特別地，的等價條件為.
若與斜率都不存在，則與平行或重合.
若與中的一條斜率不存在而另一條斜率為，則與垂直.
（2）用直線一般式方程的系數判定
設直線：，：，則
①直線∥的等價條件為.
②直線與重合的等價條件為.
③直線與相交的等價條件為；特別地， 的等價條件為
.
注：與平行的直線方程一般可設為的形式，與垂直的直線方程一般可設為的形式.
（3）用兩直線聯立的方程組的解的個數判定
設直線：，：，將這兩條直線的方程聯立，得方程組，若方程組有惟一解，則與相交，此解就是，交點的坐標；若方程組無解，此時與無公共點，則∥；若方程組有無數個解，則與重合.
3. 直線系問題
（1）設直線：和：
若與相交，則表示過與的交點的直線系（不包括）；若∥，則上述形式的方程表示與與平行的直線系.
（2）過定點的旋轉直線系方程為（不包括）；斜率為的平行直線系方程為.
注：直線系是具有某一共同性質的直線的全體，巧妙地使用直線系，可以減少運算量，簡化運算過程.
距離公式與對稱問題
1.距離公式
（1）兩點間的距離公式
平面上的兩點間的距離.
特別地，原點與任一點的距離.
若軸時，；若軸時，.
（2）點到直線的距離公式
已知點，直線：，則點到直線的距離.
已知點，直線：，則點到直線的距離.
已知點，直線：，則點到直線的距離.
注：用此公式求解點到直線距離問題時，直線方程要化成一般式.
（3）兩條平行直線間的距離公式
已知兩平行直線：和：，若點在上，則兩平行直線和的距離可轉化為到直線的距離.
已知兩平行直線：和：，則兩直線和的距離.
注：用此公式求解兩平行直線間的距離時，直線方程要化成一般式，并且項的系數必須對應相等.
2.對稱問題
（1）中心對稱
①點關于點的對稱
點關于的對稱點為.
②直線關于點的對稱
在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出直線的方程，或者求出一個對稱點，再利用∥，由點斜式求出直線的方程，或者在所求直線上任取一點，求出它關于已知點的對稱點的坐標，代入已知直線，即可得到所求直線的方程.
(2）軸對稱
①點關于直線的對稱
點關于的對稱點為,則有,由此可求出.
特別地, 點關于的對稱點為，點關于的對稱點為.
②直線關于直線的對稱
此類問題一般轉化為點關于直線的對稱問題來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱直線相交，一是已知直線與對稱直線平行.
本章知識結構
專題2：圓的標準方程與一般方程
知識梳理:⑴.圓的一般方程的概念：
當 時，二元二次方程叫做圓的一般方程。
⑵.圓的一般方程對應的圓心和坐標：
圓的一般方程表示的圓的圓心為 ，
半徑長為 .
專題3：直線與圓的位置關系及判定
知識梳理.
直線：；圓判定方法:
方法1：幾何法．利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判斷：
d＞r ； d＝r ； d＜r .
方法2：代數法.利用直線與圓的公共點的個數進行判斷：
設方程組的解的個數為n，則有
△ 0 n= 相交； △ 0 n＝ 相切； △ 0 n＝ 相離．
圓的弦長計算
知識梳理
1. 如下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長的題，都在中，利用勾股定理，得半徑弦長及弦心距之間的關系式.
弦長的計算：設圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長.
專題4：圓與圓的位置關系
知識梳理
圓與圓位置關系的判定
圓與圓的位置關系有幾種，各有幾條公切線，分別畫出來？
（1）幾何法：設圓兩圓的圓心距設為d，半徑分別為r，R，（R>r）則當時，兩圓
當時，兩圓 當 時，兩圓
當時，兩圓 當時，兩圓
（2）設兩圓的方程分別為，，兩圓作差得公共弦所在直線，將直線方程代入其中任一圓的方程，消去得到關于的一元二次方程式，則當時，圓與圓 ；當時，圓與圓 ；當時，圓與圓 。
專題5：橢圓的標準方程
概念梳理.
1.平面內 ，叫做橢圓. 叫做橢圓的焦點， 叫做橢圓的焦距.
2.根據橢圓的定義可知：集合，，且 為常數.當時，集合P為_______；當時，集合P為 當時，集合P為 .
3.焦點在軸上的橢圓的標準方程為　　　　　　　.焦點在軸上的橢圓的標準方程為　　　　　　　　　　.其中滿足關系為　　　　　　.
橢圓的焦點三角形初探
概念梳理:
焦點三角形主要結論：橢圓定義可知：中，
(1). .
(2). 焦點三角形的周長為
(3)..
(4). 焦點三角形的面積為：.
①．當，即點P為短軸端點時，θ最大；
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；
(5). 假設焦點的內切圓半徑為，則.
專題6：橢圓的簡單幾何性質
知識梳理
標準方程 +=1（a＞b＞0） +=1（a＞b＞0）
圖形
性 質 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 對稱軸： 坐標軸 ；對稱中心： 原點
頂點 ，， ，，
軸 長軸的長為，短軸的長為
離心率 ，其中
橢圓幾何性質再探
焦半徑公式.
1.焦半徑公式:設是橢圓上一點，那么，，進一步，有
2.設是橢圓上一點，那么，由于,故我們有
專題7：直線與橢圓的位置關系及弦長計算
知識梳理.
1．直線和橢圓的位置關系有三種：相交、相切、相離.
判定方法——代數法。將直線方程與橢圓方程聯立消去一個未知數，得到一個一元二次方程，判斷方程解的情況：
△＞0，方程有兩個不同的解，則直線與橢圓相交；
△＝0，方程有兩個相等的解，則直線與橢圓相切；
△＜0，方程無解，則直線與橢圓相離．
2.弦長的一般形式
設A(),B()
弦長=
=
3.橢圓弦長:
相切條件：,
橢圓的焦點弦
知識剖析
(1).橢圓其中兩焦點為（過左焦點）（過右焦點）其中e是橢圓的離心率.
(2).橢圓（過左焦點）（過右焦點）
(3).若，則.
(4).若,找出或者（可正可負），利用構建，聯立利用韋達定理求解）或者利用韋達定理分別解出
專題8：中點弦問題——橢圓垂徑定理
知識梳理:
1.中點弦公式：（所謂中點弦公式是直線與圓錐曲線相交時，兩交點中點與弦所在直線的關系，一般不聯立方程，而用點差法求解）
橢圓：交點在x軸上時
直線與橢圓相交于點A、B
設點A(),B() ∵A、B在橢圓上
∴……① 則
……② 即
①-②得： 即
則 （其中M為A、B中點，O為原點）
同理可以得到當焦點在y軸上，即橢圓方程為
當直線交橢圓于A、B兩點，M為A、B中點
則
橢圓垂徑定理：直線AB的斜率與中點M和原點O所成直線斜率的乘積等于下的系數比上下的系數的相反數.
面積計算
知識梳理:
1.三角形面積
直線與圓錐曲線相交，弦和某個定點所構成的三角形的面積
處理方法：
①一般方法：（其中為弦長，d為頂點到直線AB的距離）
=（直線為斜截式y=kx+m）
=
②特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時候給定的頂點一般在x軸或者y軸上，此 時，便于找到兩個三角形的底邊長。
2.四邊形面積
在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對角線長度乘積的一半；當然也有一些其他的情況，此時可以拆分成兩個三角形，借助三角形面積公式求解.
專題9：橢圓離心率的計算
小結：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則
專題10：雙曲線的標準方程
知識梳理
1.定義：平面內與兩定點、的距離的差的絕對值是常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點、叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．
注：若定義中“差的絕對值”中的“絕對值”去掉的話,點的軌跡成為雙面線的一支。
設為雙曲線上的任意一點,
若點在雙曲線右支上,則；
若在雙曲線的左支上,則；
因此得.
2.標準方程：焦點在軸上:
焦點在軸上:,
可以看出,如果項的系數是正的,那么焦點就在軸上；如果項的系數是正的,那么焦點就在軸上.
3.標準方程中的三個量滿足
4.方程表示的曲線為雙曲線,它包含焦點在軸
上或在軸上兩種情形。若將方程變形為,則當，時,方程為，它表示焦點在軸上的雙曲線,此時；當時,方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線,此時。
因此,在求雙曲線的標準方程時,若焦點的位置不確定,則?？紤]上述設法.
專題11：雙曲線的幾何性質
知識梳理
1.范圍、對稱性
2.頂點
頂點：，特殊點：.
實軸：長為，叫做半實軸長；虛軸：長為，叫做虛半軸長.
3.漸近線
如上圖所示，過雙曲線的兩頂點，作軸的平行線，經過作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線方程是，這兩條直線就是雙曲線的漸近線.
4.離心率:焦點在軸：.
焦點在軸:___________.
5.焦點到漸近線的距離:
到直線的距離為.
專題12：直線與雙曲線的位置關系
知識梳理:
1. 直線與橢圓的位置關系有哪些？是如何研究的？
當直線與橢圓相交時，如何求弦長？
涉及弦的中點問題，如何解決？
專題13：雙曲線的離心率計算
知識梳理：回顧橢圓離心率的計算方法，歸納總結雙曲線的離心率計算方法.
專題14：拋物線的標準方程
知識梳理
1.拋物線定義
平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點
為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線.
（1）.定義可歸結為”一動三定”：一個動點設為；一定點(即焦點)；一定直線(即
準線)；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為1）.
（2）.定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線。
（3）.拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離(也稱焦半徑)與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯系起來，通過這種轉化使問題簡單化。
2.拋物線標準方程：
（1），焦點：，準線；
（2），焦集點：，準線；
（3），焦點：，準線；
（4），焦點：，準線.
專題15：拋物線的幾何性質
知識梳理
1.幾何性質
標準方程
圖象
性質 焦點
準線
范圍
軸 軸
頂點
離心率
開口方向 向右 向左
類型
圖象
類型
性質 焦點
準線
范圍
對稱軸 軸
頂點
離心率
開口方向 向上 向下
直線與拋物線位置關系
專題16：拋物線的焦點弦
知識梳理:
(1).拋物線弦長計算的基本方法:設A(),B()
弦長=
=
若直線的斜率存在，假設直線方程為，代入，消去并化簡整理得到：
，，最后利用韋達定理，代入弦長公式即可解得弦長.
(2).由于，故，
所以有：.
3.典例分析
案例分析.斜率為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，求線段的長度.
方法1.(弦長公式).
方法2.(拋物線定義).注意到直線經過拋物線的焦點，即焦點弦.
拋物線的焦點弦具有豐富的性質，它是對拋物線定義的進一步考察，也是拋物線這節中最重要的考點之一，下面羅列出常見的拋物線焦點弦性質:
性質1.,.
性質2.已知傾斜角為直線的經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則.
性質3.拋物線的通徑
(1).通徑長為.
(2).焦點弦中，通徑最短.
(3).通徑越長，拋物線開口越大.
性質4.
性質5.已知直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，若弦中點的坐標為，則.
性質6.以焦點弦為直徑的圓與準線相切.
性質7.拋物線 的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，求證：.
例.（2018年全國2卷）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．
（1）求的方程；
（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．
解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．
設A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由題設知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程為y=x–1．
（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為
，即．
設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則
解得或
因此所求圓的方程為
或．
專題17：阿基米德三角形
1.知識要點：如圖，假設拋物線方程為， 過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為. 則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結論:
結論1.直線過拋物線的焦點.
證明：參見下面的例1.
結論2.直線的方程為.
證明：參見下面的例1.也可由極點與極線得到.
進一步，設：，則.
則，顯然由于過焦點，代入可得.我們得到了拋物線焦點弦兩端點坐標之間的基本關系.
上述結論的逆向也成立，即：
結論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.
證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結論.
結論4..
證明：由結論3，，.那么.
結論5..
證明：,則.由拋物線焦點弦的性質可知，代入上式即可得，故.
結論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.
證明：由結論3的證明可知，過點的切線的交點在拋物線準線上.且的坐標為，顯然平行于拋物線的對稱軸.
（2019年全國三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.
(1)證明：設,,則．又因為，所以.
故，整理得.
設，同理得.
,都滿足直線方程.
于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，
當時等式恒成立．所以直線恒過定點.
（2）由（1）得直線的方程為.
由，可得，
于是
.
設分別為點到直線的距離，則.
因此，四邊形ADBE的面積.
設M為線段AB的中點，則，
由于，而，與向量平行，所以，解得或.當時，；當時
因此，四邊形的面積為或.
專題18：極點極線結構及非對稱韋達定理
1.基礎知識:極點極線
橢圓極點和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線.極點和極線是成對出現的.
從定義我們共同思考和討論幾個問題并寫下你的思考:
（1）若點在橢圓上，則其對應的極線是什么
（2）橢圓的兩個焦點對應的極線分別是什么
（3）過橢圓外（上、內）任意一點，如何作出相應的極線？
如圖，若點在曲線外，過點作兩條割線依次交曲線于且與交于，延長交于點,則直線即為點所對應的極線.
假設橢圓方程為
（1）焦點與準線：點與直線；（2）點與直線
2.非對稱韋達定理
在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數關系：，，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理、、之類的“對稱結構”，但有時，我們會遇到涉及的不同系數的代數式的應算，比如求、之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立直線和圓錐曲線方程，消去 x 或 y ，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，可采用反過來應用韋達定理，會有較好的作用.
3.典例
（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
解析：由橢圓方程可得：， ，
，
，
橢圓方程為：
（2）證明：設，
則直線的方程為：，即：
聯立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：
，解得：或
將代入直線可得：
所以點的坐標為.
同理可得：點的坐標為
當時，
直線的方程為：，
整理可得：
整理得：
所以直線過定點．
當時，直線：，直線過點．
故直線CD過定點．
4.練習：（2010江蘇）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F. 設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,.
（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；
（2）設，求點T的坐標；
（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）
解：（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化簡得。
故所求點P的軌跡為直線
（2）將分別代入橢圓方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即
聯立方程組，解得：，所以點T的坐標為
（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，
直線NTB 方程為：，即
分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，
解得：、
（方法1）當時，直線MN方程為：
令，解得：。此時必過點D（1，0）；
當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。
所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。
（方法2）若，則由及，得，
此時直線MN的方程為，過點D（1，0）
若，則，直線MD的斜率，
直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。
因此，直線MN必過軸上的點（1，0）.
專題19：與斜率和、斜率積有關的定點定值
1.基本結論：設為橢圓上的定點，是橢圓上一條動弦，直線的斜率分別為；
若，則有，
若，則直線過定點，
若，則有，
若，則直線過定點.
典例分析（2017一卷）
已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線不經過點且與相交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：直線過定點.
解析：（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過，兩點.
又由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.
因此，解得. 故C的方程為.
（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，
如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.
則，得，不符合題設.
從而可設l：（）.將代入得
，由題設可知.
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.
而.
由題設，故.
即.解得.
當且僅當時，，欲使l：，即，
所以l過定點（2，）
專題20：解析幾何中的幾何方法
1.基本知識:“一線三垂直”的證明
1.如圖，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE
求證：Rt△ABC≌Rt△CDE．
證明：在Rt△ABC中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠BCD是平角 ∴ ∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°
∵∠ABC= ∠ACE= 90° ∴∠A=∠DCE，∵AC=CE
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）．
典例（2020三卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．
（1）求的方程；
（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．
【詳解】
（1），，
根據離心率，解得或(舍)，
的方程為：，即；
（2）不妨設,在x軸上方
點在上，點在直線上，且，，
過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為
根據題意畫出圖形，如圖
，，，
又，，，
根據三角形全等條件“”，可得：，，
，，設點為，
可得點縱坐標為，將其代入，可得：，
解得：或，點為或，
①當點為時，故，，，
可得：點為，畫出圖象，如圖
,，可求得直線的直線方程為：，
根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，
根據兩點間距離公式可得：，
面積為：；
②當點為時，故，，，
可得：點為，畫出圖象，如圖
,，
可求得直線的直線方程為：，
根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，
根據兩點間距離公式可得：，
面積為：，綜上所述，面積為：.
江蘇高考數學真題講析[2]
文/劉蔣巍
分析高考數學難點，把握高考數學熱點，了解試題來源，理解命題背景，對高三數學復習大有裨益！
1、培養學生代數式的變形與轉化能力
《2018年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明》（以下簡稱：江蘇高考考試說明）樣卷中第14題選取的2012年江蘇卷第14題。該題考查不等式、函數的導數等基本知識，考查代數式的變形和轉化能力，考查靈活運用有關知識解決問題的能力。問題如下：
2012江蘇.14．已知正數滿足：則的取值范圍是 ▲ ．
命制思路簡析：
已知正數滿足：，，求的范圍。
（令，，則問題衍變為：已知正數滿足：，，求的范圍。）
類似的，考查代數式的變形和轉化能力的試題還有2016年江蘇卷第14題。問題如下：
2016江蘇14.在銳角三角形中，，則的最小值是 ．
【試題命制】
（蘇教版必修4第117頁感受理解第4題）
在銳角三角形ABC中，，垂足為，，求的度數.
（改編1）在銳角三角形中，，垂足為，，則的最小值是_______
由于，，所以“，垂足為，”還可表述為“”，由正弦定理得：，形成2稿
（2稿）在銳角三角形中，，則的最小值是______
【解法探究】
解法1 以形助數
過點作于點，令，
，；則；由，得：
而，則；；又，
，
；所以；
不妨令；則
解法2 運用基本不等式
因為，，
所以，；
兩邊同除以得：
而
所以，
不妨設，則
，當且僅當時，即時取等號
思考：還有其他解法么？
2、引導學生關注教材中的基本模型
江蘇高考考試說明樣卷中第18題選用的2014年江蘇高考的應用題。本題考查直線、圓、解三角形等基礎知識，考查抽象概括能力和運算求解能力，以及學生的數學應用意識。
源于教材：“多題合一”+“改造”
2014江蘇18.(本小題滿分16分)
如圖,為了保護河上古橋,規劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區.規劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m. 經測量，點A位于點O正北方向60m處, 點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),.
(1)求新橋BC的長；
(2)當OM多長時,圓形保護區的面積最大？
命題背景解析
背景1 蘇教版教材必修2第92頁例5
在路邊安裝路燈，路寬23m ，燈桿長2.5m ，且與燈柱成120。角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直．當燈柱高h 為多少米時，燈罩軸線正好通過道路路面的中線？（精確到0.01m）
背景2 蘇教版教材必修2第113頁例2
自點A作圓的切線，求切線的方程.
本題源于教材，高考題的第一問取自課本的燈罩軸線與燈桿垂直的模型。高考題與教材的例題，在給出的背景上非常相似，都是過定點的直線與圓相切；同時又是直線的方程與圓的方程兩者知一求一。
思考：2014江蘇卷第18題，如何求解呢？有幾種解法呢？
3、注重學生運算能力的培養，引導學生思考簡捷的算法
高三復習中，圓錐曲線常出現的問題是：學生通性通法的思路都懂，就是算不出來？如何運算、選擇怎樣的算法打開運算死結呢？請看以下江蘇高考題：
（2011江蘇18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k
（1）當直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；
（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB
命制思路簡析：
（有心圓錐曲線中點弦的統一性質）設橢圓（雙曲線）且m、n不同時為負數）過中心的弦為AP，曲線上異于A，P的任意一點為B，則
因為，所以，又因為；則
（令橢圓方程為：，則，）
思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？
2012江蘇19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線
與直線平行，與交于點P．
（i）若，求直線的斜率；
（ii）求證：是定值．
思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數方程、極坐標等方法求解？
2015江蘇18.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.
思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數方程、極坐標等方法求解？
4、掌握通性通法的同時，了解試題的高等數學背景
江蘇高考考試說明樣卷中第19題選用的2013年江蘇高考第20題。該題考查函數的單調性、最值、零點等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論等數學思想方法。
2013江蘇20.（本小題滿分16分）設函數，其中為實數。
（1）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論。
命制思路簡析：
函數的圖像在單調遞增，在單調遞減，最大值為，，（此處極限值用洛必達法則求得）
（若，則當或時，方程的根個數為1，當時，方程的根個數為2）
思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？用通性通法如何求解？
2012江蘇20．（本小題滿分16分）
已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．
（1）設，求證：數列是等差數列；
（2）設，且是等比數列，求和的值．
命制思路簡析：
①正項數列為大于1的有界數列，且為等比數列，求證：為常數列.
②，求證：
思考：如何證明為常數列？正難則反？
還有哪一年高考題考查反證法？2015年？2016年？如何書寫證明過程？
2016江蘇卷19題命制思路簡析：
2016年江蘇高考第19題是以蘇教版必修5教材第98頁練習2（3）為原型生長而成的。
試題原型 設是實數，求證：
分析可知當且僅當時取等號，即函數有且只有1個零點。從“語言互譯”[1]的角度命制“鄰近問題”，形成1稿。
1稿 設，求證：函數有且只有1個零點.分析可知：若記，則有且只有1個零點，此時.將“”推廣到“”，若有且只有1個零點，則值依然為1。從“命題推廣”與“條件與結論互換”[2]的角度命制“一般性問題”，形成2稿。
2稿 已知，其中，函數有且只有1個零點，求的值
思考：2015年第幾題考查反證法？如何書寫證明過程？
（2010江蘇18）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,．
（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；
（2）設，求點T的坐標；
（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．
命制思路簡析：
前兩問比較簡單，這里從略。對于第（3）問，由高等幾何知識知：點T（）關于橢圓的極線方程為：，此直線恒過軸上一定點，從而直線MN必過定點。（令橢圓方程為：，，則直線MN必過定點）
第（3）問標準解答：
（3）點T的坐標為
直線MTA方程為：，即，
直線NTB 方程為：，即。
分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，
解得：、。
（方法一）當時，直線MN方程為：
令，解得：。此時必過點D（1，0）；
當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。
所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。
（方法二）若，則由及，得，
此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。
若，則，直線MD的斜率，
直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。
因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。
運用向量法打開運算“死結”：
解第（3）問：設，，MN與x軸交于D（x，0），
（﹡），由在橢圓上，∴
消去，得，代入（﹡），∴．
運用合分比性質打開運算“死結”：
解第（3）問：分析：從“標解”可以看出，命題意圖著力考查因式分解及整體消元的基本技能．這里本人給出運用合分比性質打開運算“死結”，盤活思路的解題方案．（為了更能說明問題，考慮一般情形）
解：設橢圓（﹡），直線MN:代入（﹡），
得，設，
，消去m，，
由合分比性質，
（對于本題，．
定點為D（1，0））
注：作為仿射變換的典型示例：上述結論“”也適用于雙曲線．
5、抓住基本概念，破解新定義題
2017江蘇19.（本小題滿分16分）
對于給定的正整數,若數列滿足
對任意正整數n(n> k) 總成立，則稱數列是“P(k)數列”.
（1）證明：等差數列是“P(3)數列”；
（2）若數列既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：是等差數列.
解析：（1）因為是等差數列，
所以，時，（*），（**），（***）；
（*）、（**）、（***）三式相加，得：
故，等差數列是“P(3)數列”
（2）當時，因為數列是“P(3)數列”，
所以滿足：
又因為數列是“P(2)數列”，所以，（****）
還可寫成：；
由+-式，得：，即：（）
故，從第三項起為等差數列。
又因為數列是“P(2)數列”，（****）式中，令，得：
所以，
（****）式中，令，得：，
故，
綜上，是等差數列.
題源分析：本題解法與2011年江蘇高考數學第20題第（2）問方法一致?？梢姡耙皇铝暤萌槭臁保煜ね暝囶}很重要。
2014江蘇20.(本小題滿分16分)
設數列的前項和為.若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”.
(1)若數列的前n項和(N),證明: 是“H數列”;
(2)設 是等差數列,其首項,公差.若 是“H數列”,求的值；
(3)證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得
(N)成立.
思考：數列的分拆？如何分拆？
2010江蘇20.（本小題滿分16分）
設是定義在區間上的函數，其導函數為。如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數具有性質。
(1)設函數，其中為實數。
(i)求證：函數具有性質； (ii)求函數的單調區間。
(2)已知函數具有性質,給定設為實數，
，，且，
若||<||，求的取值范圍。
解：（2）
，在上是增函數.
注意到
(顯然否則||=||,矛盾?。?br/>對于，
，滿足題意.
對于，同理有與題設矛盾，舍去
從而
6、復習建議
教師要引導學生做透教材中的例題和習題，并善于尋找高考試題在教材中的原型，探索出高考題與教材題目的結合點，利用這些指導我們的高考復習。
強化運算能力（包括速度和技巧）的訓練.要強化到每一天, 每一練,每一題.
在審題方面, 要提升解讀層次, 加大穿透題意的力度.
要在乎來自各個方面的信息.除關注考查內容的變動，考綱要求的微調等高考信息外，還應該關注——教材、往年高考題、競賽題
參考文獻：
[1]江蘇省新高考數學交流群.解析幾何20講
[2]劉蔣巍.江蘇高考數學熱點難點淺析——2018年3月高三數學教師培訓講稿[J].課程教育研究,2018(18):116.
直線的傾斜角和斜率
兩條直線平行和垂直的判定
直線與方程
兩條直線的位置關系
兩條平行線間的距離
點到直線的距離
兩點間的距離
相交求交點
平行求距離
直線的斜截式方程方程
直角坐標系中畫圖
直線的截距式方程
方程之間互化
直線的方程
直線的兩點式方程
應用
直線的點斜式方程方程
直線的一般式方程方程
170 m
60 m
東
北
O
A
B
M
C
（第18題）
N
M
P
A
x
y
B
C
A
B
P
O
x
y
（第19題）
o
x
y
g(x)
x1
x2
α
β
1

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