資源簡介

(共21張PPT)
3.3.1垂徑定理
浙教版 九年級上冊
教學目標
教學目標：
1.通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；
2.掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題；
3.掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。
重點：垂徑定理及其應用
難點：垂徑定理的證明
新知導入
趙州橋
37m
7.23m
你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
觀察思考
趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.
合作探究
探究：把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．　
合作探究
如圖，AB是⊙O的一條弦, 直徑CD⊥AB, 垂足為E.你能發現圖中有哪些相
等的線段和劣弧 為什么
線段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由：
把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新知講解
題設：
①CD是⊙O直徑
②CD AB
①直徑
②垂直于弦
E
C
O
A
B
D
垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.
結論：
①平分弦
②平分弦所對的兩條弧
①AE BE
② ，
新知講解
已知：如圖，⊙O的直徑交弦AB(不是直徑)于點P，AP=BP.
求證：CD⊥AB，AC=BC
⌒
⌒
證明：連結OA，OB，則AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AP=BP
∴CD⊥AB
∴AC=BC (垂直于弦的直徑平分弦所對的弧)
⌒
⌒
針對訓練
想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？
是
不是，因為沒有垂直
是
不是，因為CD沒有過圓心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
C
A
B
D
C
O
E
新知講解
例1、已知AB如圖，用直尺和圓規作這條弧的中點.
⌒
E
1. 連結AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分線CD,交AB與點E;
作法:
∴點E就是所求AB的中點.
⌒
分析:要平分AB,只要畫垂直于弦AB的直徑.而這條直徑應在弦AB的垂直平分線上.
⌒
新知講解
例2、一條排水管的截面如圖所示. 已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16. 求截面圓心O到水面的距離.
C
8
8
解: 作OC⊥AB于C,
由垂徑定理得:AC=BC==0.5×16=8
由勾股定理得:
答: 截面圓心O到水面的距離為6.
D
圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距.
例如, 上圖中, OC的長就是弦AB的弦心距.
歸納總結
解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的弦心距（垂線段），或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件.
O
O
O
A
A
A
B
B
B
C
C
D
E
M
N
方法總結
在圓中有關弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離）的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.
涉及垂徑定理時輔助線的添加方法
O
A
B
C
·
課堂練習
1.下列說法中，正確的是(　　)
A．直徑是圓的對稱軸
B．經過圓心的直線是圓的對稱軸
C．與圓相交的直線是圓的對稱軸
D．與半徑垂直的直線是圓的對稱軸
B
2. 在⊙O中，若CD AB于M，AB為直徑，則下列結論不正確的是( )
A. B.
C. AM OM D. CM DM
M
A
O
C
D
B
C
課堂練習
DE
AD
⌒
⌒
BD
△ODE
16
·
O
A
B
E
課堂練習
5.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為 .
5cm
6. ⊙O的直徑AB=20cm, ∠BAC=30°則弦AC= .
10
課堂練習
7. 已知⊙O的直徑AB 10，弦CD AB于M，OM 3，則CD .
M
A
O
C
D
B
8
5
3
4
8. 在⊙O中，弦CD AB于M，AB為直徑，若CD 10， AM 1，則⊙O的半徑為 .
M
B
O
C
D
A
r
1
5
r 1
(r 1)2 52 r2
13
解決有關弦的問題時，半徑是常用的一種輔助線的添法．往往結合勾股定理計算.
課堂練習
9.如圖a、b,一弓形弦長為 　 cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為 .
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
圖a
圖b
5cm或12cm
課堂練習
10.如圖， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.
·
O
A
B
E
C
D
解：連接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ .
設OC=x cm，則OD= x-2,根據勾股定理，得
解得 x=5，
即半徑OC的長為5cm.
x2=42+(x-2)2，
課堂小結
垂徑定理
內容
輔助線
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧
兩條輔助線：連半徑，作弦心距
構造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.
基本圖形及變式圖形
謝謝
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