資源簡介

《函數的概念及其表示》能力探究
分析計算能力 函數定義域的求法
1.求函數定義域問題的思路
(1)先列出使有意義的不等式或不等式組.
(2)解不等式或不等式組.
(3)將解集寫成集合或區間的形式.
2.求函數定義域的一般原則
(1)若為整式,則其定義域為實數集.
(2)若是分式,則其定義域是使分母不等于0的實數的集合.
(3)若是偶次根式,則其定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數的集合.
(4)若是由幾個部分的數學式子構成的,則函數的定義域是使各部分都有意義的實數的集合,即交集.
(5)的定義域是.
3.抽象函數定義域的求法
(1)若的定義域為,則中,從中解得的取值范圍即為的定義域.
(2)若的定義域為,則由可確定的范圍,設,則,又與是同一函數,所以的范圍即的定義域.
(3)求運算型抽象函數(由有限個抽象函數經四則運算得到的函數)的定義域,應先求出各個函數的定義域,再求交集.
典例1 [數學運算](2018湖北襄陽四校高一聯考)
(1)已知函數的定義域為,求函數的定義域.
(2)已知函數的定義域是,求函數的定義域.
(3)若函數的定義域為,求函數的定義域.
解析:本題為求函數定義域的問題,分析題意,列出使或的抽象函數成立的不等式或不等式組,經過分析計算解出不等式,寫出解集,必要時要進行分類討論是解題關鍵.具體解題過程如下:
(1)由,得,所以函數的定義域是.
(2)由,得,所以函數的定義域是.
(3)由題意得
∵,而與的大小不確定,
∴對與的大小進行討論.
①若,即,則.②若,即,則.③若,即,則,與題意不符,故不可能大于.綜上所述,當時,函數的定義域為.
分析計算能力 函數值域的求法
求函數的值域時要明確兩點,一是值域的概念,二是函數的定義域和對應關系.
常用的方法有:觀察法、換元法、配方法、判別式法、數形結合法、分離常數法、反表示法、中間變量值域法等.
(1)觀察法:有的函數的結構并不復雜,可以通過對解析式的簡單變形和觀察,利用熟知的函數的值域求出函數的值域.如函數的值域是.
(2)換元法:運用換元,將已知函數轉化為值域容易確定的另一函數,從而求得原函數的值域,一定要注意換元后新元的取值范圍.例如,形如,均為常數,的函數常用此法.
(3)配方法:若函數是二次函數形式,即可化為型的函數,則可通過配方后再結合二次函數的性質求值域,但要注意給定區間上二次函數最值的求法.
(4)判別式法:求形如不同時為0的值域,常利用去分母的形式,把函數轉化成關于的一元二次方程,通過方程有實根,判別式,求出的取值范圍,即得到函數的值域.
(5)數形結合法:有些函數的圖象比較容易畫出,可以通過函數的圖象得出函數的值域.
(6)分離常數法:分離常數的目的是減少“變量”,形如的函數,經常采用分離常數法,將變形為,再結合的取值范圍確定的取值范圍,從而確定函數的值域.
(7)反表示法:如求函數的值域,由解出,得.而,所以,即,所以,故所求函數的值域為.
(8)中間變量值域法:如求函數的值域,由得,而,所以.所以或.故所求函數的值域為.
典例2 [數學運算]求下列函數的值域:
(1).(2).(3).(4).
(5).(6).
解析:通過觀察分析函數的結構特征,選擇最適合的方法分析計算求值域.具體解題過程如下:
(1)(觀察法)利用我們熟知的的取值范圍求解.
∵的值域為.
(2)(分離常數法).
∵函數的值或為.
(3)(分離常數法),而.
∵,
∴函數的值域為且.
(4)(判別式法)該函數的分子,分母都是關于的二次式,因而可考慮將其轉化為關于的二次方程,然后利用判別式法求值域.
∵恒成立,∴原式可變形為,即,當時,等式不成立;當時,上式為關于的一元二次方程,∵,即,解得,∴函數的值域為.
(5)(換元法)設,則.
由知函數的值域為.
(6)(配方法)將原式配方,得,函數圖象如圖所示,∴函數的值域為.
簡單問題解決能力 定義域、值域的逆向問題求解
1.代入法
已知的解析式,求的解析式常用此法.如已知,求時,有.
2.配湊法
已知的解析式,要求的解析式時,可從的解析式中配湊出,即用來表示,再將解析式兩邊的用代替即可.如已知,可以將右邊湊成的形式再求解.
3.換元法
已知的解析式,要求的解析式時,可令,再求出的解析式,然后用代替即可.如已知,我們可以設,解出代入求解.
4.待定系數法
如果已知函數類型,可設出函數解析式,再代入條件解方程(組),求出參數,即可確定函數解析式.
5.方程組法
已知與滿足的關系式,要求時,可用代替兩邊所有的,得到關于與的方程組,消去解出即可.常見的有:已知與與滿足的關系式時,可將原式中的用或代替,從而得到另一個同時含與,與的關系式,將這兩個關系式聯立,列方程組解出.
當所給函數關系式含有兩個變量時,可對這兩個變量交替用特殊值代入,或使這兩個變量相等再代入,然后利用已知條件,可求出未知的函數.至于取什么特殊值,應根據題目特征而定.
典例3-1 [數學運算](1)已知函數,則的解析式為______.
(2)已知,則的解析式為__________.
解析:本題為求函數的解析式.(1)題中的函數類型可用換元法或配湊法.(2)題中的函數類型可考慮用換元法.具體解題過程如下:
(1)方法一(換元法):令,則,所以,即
方法二(配湊法):因為,所以,即.
(2)設,則,代入函數式中得.
答案:(1) (2)
典例3-2 [數學抽象、數學運算](1)(2019湖北部分重點中學高一聯考)已知一次函數滿足,則的解析式為_____.
(2)已知函數滿足,則函數的解析式為________.
解析:本題為求函數的解析式.根據函數解析式的特點,選擇恰當的方法計算是快速解決本題的關鍵.
(1)設,則,于是有解得或所以或.
(2)在已知等式中,將換成.得.與已知方程聯立,得消去,得.
答案:(1)或 (2)
分析計算能力 函數解析式的求法
1.函數定義域的逆向問題
已知函數的定義域,求函數中字母取值范圍的問題,解法與求函數的定義域類似.
2.函數值域的逆向問題
有些問題雖然不是直接求函數的值域,而是已知函數的值域,求函數中某個參數的取值范圍,但仍離不開求函數值域的常用方法.
3.已知函數定義域或值域求參數問題的解題思路
(1)注意調整思維方向,根據定義域或值域的含義,將給出的定義域或值域轉化為方程的解或不等式的解集的問題.
(2)根據方程的解或不等式的解集情況來確定參數的取值或取值范圍.
典例4 [數學運算、邏輯推理](1)(2019山東曲阜一中月考)若函數的定義域為實數集,則實數的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山東青島二中月考)若一系列函數的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數為“孿生函數”,那么函數解析式為,值域為的“孿生函數”共有( )
A.10個
B.8個
C.9個
D.4個
解析:已知函數的定義域、值域,逆向求解函數中參數的取值或取值范圍,需運用分類討論、數形結合以及轉化與化歸的方法.具體解題過程如下:
(1)函數的定義域是實數集,則恒成立,即.解得,即實數的取值范圍是.
(2)由,得.由,得,因為定義域為2個元素的集合有4個,定義域為3個元素的集合有4個,定義域為4個元素的集合有1個,所以共有9個“孿生函數”.
答案:(1)D (2)C
簡單問題解決能力 作函數圖象的步驟
作圖通常有列表、描點,連線三個步驟:
(1)列表.先找出一些有代表性的自變量的值,并計算出與這些自變量相對應的函數值,用表格的形式表示出來.
(2)描點.從表中得到一系列的點,在坐標平面上描出這些點.
(3)連線.用光滑曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來.要作出更精確的圖象,常常需要描出更多的點.
【要點辨析】
作函數圖象的注意事項:
(1)先確定函數的定義域,要在定義域內作圖.
(2)圖象是實線或實點,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象.
(3)要標出某些關鍵點,例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點.
(4)作分段函數的圖象時,應根據不同定義域上的解析式分別作圖.
(5)函數圖象可以是連續的曲線,也可以是直線、折線離散的點等.
典例5 [直觀想象]下列圖象是函數的圖象的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:通過分析分段函數的解析式,根據其不同定義域上的解析式分別作圖,要注意定義域上的兩端點是空心點還是實心點.由于,所以函數圖象過點;當時,,則函數圖象是開口向上的拋物線在軸左側的部分.因此只有圖象符合.
答案:
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