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《函數的概念及其表示》易錯易混題
易錯點對函數的概念理解有誤
典例1、設集合,集合,給出下列四個圖象(如圖),其中能表示集合到的函數關系的個數是( )
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
解析:圖(1)定義域中的部分在值域中沒有和它對應的數,不符合函數的定義.圖(2)中的定義域、值域及對應關系都是符合的.圖(3)顯然不符合函數的定義.圖(4)中在定義域上任給一個元素,在值域上由兩個元素和它對應,因此不唯一.故圖(2)正確.
答案:B
易錯分析:解決本題容易只考慮幾對幾的問題,忽略了定義域中的元素在值域中是否有相應的值與之對應.
易錯點2換元時忽視新變量的取值范圍
典例2、函數的值域為_________.
解析:令,則,故.由二次函數的性質知,當時,取最小值.
答案:
易錯分析:解決本題容易在換元的過程中忽略了所設輔助參數的取值范圍.研究函數問題一定要樹立“定義域優先”的原則.
易錯點3求解分段函數的問題出錯
典例3、(2018湖南湘潭一中期中)已知實數,函數若,則的值為___________.
解析:當時,,由,得,不合題意,舍去;同理,當時,由,得,符合題意.
答案:
易錯分析:求分段函數的函數值,一定要注意所求自變量的范圍,從而代入對應的解析式,對含有字母的自變量,必須予以分類討論,當與解析式中所限定的范圍相同時才能代入.
易錯點4畫函數圖象時忽視等價變形
典例4、(2019河北武邑中學月考)畫出函數的圖象,并根據圖象指出函數的值域.
解析:由題意得圖象如圖所示,
根據圖象可知,其值域為且.
答案:函數圖象見解析,函數的值域為且
易錯分析:解決本題容易只考慮了去掉絕對值符號,忽略了函數的定義域.作含有絕對值的函數的圖象時,一定要注意等價性,即解析式變形后的定義域.
易錯點5求應用問題的函數解析式忽視定義域
典例5、(2019湖南郴州一中高一月考)如圖,有一塊邊長為的正方形鐵皮,將其四個角各截去一個邊長為的小正方形,然后折成一個無蓋的盒子,寫出體積以為自變量的函數解析式是____________________.
解析:由圖可知,長方體高為,底是邊長為的一個正方形,因此,長方體體積.由的實際意義,必有.所以,體積與的關系式為.
答案:
易錯分析:解決本題易忽視自變量的取值范圍,在解決實際問題中,自變量除滿足函數式本身有意義外,還要注意的實際意義所滿足的條件.
易錯點6忽視對參數的討論
典例6、(2019東北師大附中月考)若函數的定義域為一切實數,則的值為______.
解析:由的定義域為一切實數可知分母對恒成立.當時,對恒成立.當時,,解得.綜上可知,當時,函數的定義域為一切實數.
答案:
易錯分析:解決本題容易忽略關于的方程3中含有參數,由于項的系數為,所以當時,它不是一元二次方程,而此時分母恒成立.
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