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《函數(shù)的概念及其表示》知識(shí)探究
探究點(diǎn)1 函數(shù)的概念
1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義
一般地,在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量與,并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值,都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就稱是自變量,是的函數(shù).
2.函數(shù)的近代定義
一般地,設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù),按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)(function),記作.
其中,叫做自變量,的取值范圍叫做函數(shù)的定義域(domain);與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).顯然,值域是集合的子集.
【要點(diǎn)辨析】
1.對(duì)應(yīng)關(guān)系的含義
對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的本質(zhì)特征,好比是計(jì)算機(jī)中的某個(gè)“程序”,當(dāng))的括號(hào)內(nèi)輸入一個(gè)值時(shí),在此“程序”作用下便可輸出某個(gè)數(shù)據(jù),即函數(shù)值,如表示“自變量的3倍加上”,如.需要注意的是:這里的“”既可以是一個(gè)數(shù),也可以是一個(gè)代數(shù)式,還可以是某個(gè)函數(shù)符號(hào),如,則等.
2.判斷給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系的方法
(1)是否給出定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.
(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系,自變量在定義域中的每一個(gè)值是否都有唯一的函數(shù)值與它對(duì)應(yīng).
學(xué)科素養(yǎng):運(yùn)用集合思想與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念,提升邏輯推理核心素養(yǎng).
典例1 [推測(cè)解釋能力]在下列從集合到集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系中,不能確定是的函數(shù)的是_____________.
①,對(duì)應(yīng)法則.
②,對(duì)應(yīng)法則.
③,對(duì)應(yīng)法則.
④,對(duì)應(yīng)法則.
⑤,對(duì)應(yīng)法則.
⑥,對(duì)應(yīng)法則:.
解析:根據(jù)函數(shù)的概念及三要素進(jìn)行推測(cè)判斷是解決問題的關(guān)鍵.要判斷給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系,應(yīng)該先檢驗(yàn)題目是否存在定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系,再根據(jù)此對(duì)應(yīng)關(guān)系,計(jì)算自變量在其定義域中的每一個(gè)值是否都能確定唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).具體解題過程如下:
①在對(duì)應(yīng)法則下,中不能被6整除的數(shù)在中沒有對(duì)應(yīng)的元素,所以不能確定是的函數(shù).②在對(duì)應(yīng)法則下,中的數(shù)在中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng),所以不能確定是的函數(shù).③在對(duì)應(yīng)法則下,中的數(shù)(除去4與-4外)在中有兩個(gè)數(shù)或沒有數(shù)與之對(duì)應(yīng),所以不能確定是的函數(shù).⑤不是數(shù)集,所以不能確定是的函數(shù).④⑥顯然滿足函數(shù)的特征,故能確定是的函數(shù).
答案:①②③⑤
探究點(diǎn)2 區(qū)間的概念與應(yīng)用
設(shè),且.
定義 名稱 符號(hào) 數(shù)軸表示
閉區(qū)間
開區(qū)間
半開半閉區(qū)間
半開半閉區(qū)間
無窮區(qū)間
無窮區(qū)間
無窮區(qū)間
無窮區(qū)間
【要點(diǎn)辨析】
理解區(qū)間概念時(shí),需注意下列四點(diǎn):(1)區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“,”隔開.(2)區(qū)間實(shí)質(zhì)上是一類特殊數(shù)集(部分實(shí)數(shù)組成的集合)的符號(hào)表示.(3)區(qū)間表示實(shí)數(shù)集的三個(gè)原則:①是連續(xù)的數(shù)集.②左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn).③開或閉不能混淆.(4)“∞”是一個(gè)趨向符號(hào),表示無限接近,卻永遠(yuǎn)不能到達(dá),不是一個(gè)數(shù).因此以“-∞”和“+∞”為區(qū)間的一端時(shí),這一端必須用小括號(hào).
學(xué)科素養(yǎng):通過用區(qū)間表示函數(shù)的定義域、值域和數(shù)集,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
典例2-1 [概括理解能力]用區(qū)間表示下列數(shù)集:
(1)_________.
(2)_________.
(3)且_________.
(4)_________.
(5)_________.
(6)_________.
解析:理解區(qū)間的概念,進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵.用區(qū)間表示數(shù)集時(shí),要注意:(1)區(qū)間的左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn).(2)開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間的表示不能混淆.(3)趨向符號(hào)“”的應(yīng)用.
答案:(1).(2).(3).(4).(5).(6).
典例2-2 [分析計(jì)算能力](1)(2018山東菏澤高一期末調(diào)考)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?則( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018江蘇啟東中學(xué)期中)將函數(shù)的定義域用區(qū)間表示為____.
解析:理解函數(shù)的概念,通過計(jì)算求出函數(shù)的定義域,再用區(qū)間表示即可,注意要使函數(shù)有意義.具體解題過程如下:(1)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?從而,所以,即.
(2)由,解得且,用區(qū)間表示為.
答案:(1) (2)
探究點(diǎn)3 函數(shù)的表示方法
1.解析法
圓的面積是半徑的函數(shù),用式子來表示.這種把常量和表示自變量的字母用一系列運(yùn)算符號(hào)連接起來得到的式子,叫做解析式(常叫做解析表達(dá)式或函數(shù)關(guān)系式).
如果在函數(shù)中,是用代數(shù)式(或解析式)表達(dá)的,則這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法.
2.圖象法
函數(shù)圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長(zhǎng)的平滑曲線,也可以是一些點(diǎn)、一些線段、一段曲線等,但不是任何一個(gè)圖形都是函數(shù)圖象.
如圖(1)(2)就不是函數(shù)的圖象,因?yàn)樗鼈儾环虾瘮?shù)的定義.對(duì)于的不同取值,可能有兩個(gè)或多個(gè)數(shù)值和它對(duì)應(yīng),這不符合函數(shù)的定義.
直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)至多有一個(gè),這點(diǎn)可從映射的觀點(diǎn)去理解.
函數(shù)圖象的形狀與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān),定義域確定變量的分布范圍,對(duì)應(yīng)法則確定形狀.
3.列表法
列表法就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
學(xué)科素養(yǎng):借助實(shí)際問題,展示函數(shù)的三種表示方法,提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
典例3 [簡(jiǎn)單問題解決能力］(2018北京西城高一聯(lián)考)某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電,每臺(tái)售價(jià)3000元,試求售出臺(tái)數(shù)(為正整數(shù))與收款數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.
解析:掌握函數(shù)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵.本題中函數(shù)的定義域不是連續(xù)的,作圖時(shí)應(yīng)注意函數(shù)圖象是一些點(diǎn),而不是直線.具體解題過程如下:(1)列表法:
臺(tái) 元 臺(tái) 元
1 3000 6 18000
2 6000 7 21000
3 9000 8 24000
4 12000 9 27000
5 15000 10 30000
(2)圖象法:如圖所示.
(3)解析法:.
探究點(diǎn)4 分段函數(shù)
1.分段函數(shù)的定義
函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù),但在表達(dá)方式上有所區(qū)別,前者在定義域內(nèi)有一個(gè)解析式,而后者的定義域被分為兩部分,而在不同的部分有不同的解析式.
在函數(shù)的定義域內(nèi),對(duì)于自變量在不同取值范圍內(nèi),函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).
2.分段函數(shù)常見的幾種類型
(1)取整的數(shù):表示不大于的最大整數(shù)).
(2)
(3)含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù).
如
(4)自定義函數(shù).
如
3.分段函數(shù)的圖象
分段函數(shù)有幾段,它的圖象就由幾條曲線組成.在同一直角坐標(biāo)系中,根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖象.要注意每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn),組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)圖象.
【要點(diǎn)辨析】
1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),只有一個(gè)圖象,作圖時(shí)要將各段函數(shù)圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中,而不能將它們分別畫在不同的直角坐標(biāo)系中.
2.根據(jù)函數(shù)的概念,可知在函數(shù)圖象中,橫坐標(biāo)相同的地方不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn).即一定要考慮區(qū)間端點(diǎn)是否包含在內(nèi),若包含端點(diǎn),則用實(shí)心點(diǎn)表示；若不包含端點(diǎn),則用空心點(diǎn)表示.
3.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù),處理分段函數(shù)問題時(shí),首先要確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍,從而選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
4.分段函數(shù)的定義域是幾段自變量取值范圍的并集,各段定義域的交集是空集.
5.分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上函數(shù)取值集合的并集.
6.分段函數(shù)在書寫時(shí)用大括號(hào)的左半邊把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式,并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍.
學(xué)科素養(yǎng):通過分段函數(shù)求定義域、值域,畫函數(shù)圖象,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
典例4-1 [分析計(jì)算能力](1)(2018山東煙臺(tái)三中月考)設(shè)則的值為( )
A.1
B.0
C.
D.
(2)函數(shù)則( )
A.
B.0
C.1
D.2
解析:本題是分段函數(shù)相關(guān)的求值問題,通過分析自變量的取值屬于哪一段,就用那一段的解析式就可以解決此問題.具體解題過程如下:
(1)由題設(shè)知,,所以.
(2)當(dāng)時(shí),.而當(dāng)時(shí),,
∴.
答案:(1) (2)
典例4-2 [綜合問題解決能力](2018河南信陽二中周測(cè))已知函數(shù).
(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).
(2)畫出函數(shù)的圖象.
(3)寫出該函數(shù)的值域.
解析:根據(jù)分段函數(shù)的定義及作分段函數(shù)的圖象的要點(diǎn),綜合分析即可解決此題.畫圖時(shí)根據(jù)各段的解析式分別作出其圖象,然后擦去不在定義域內(nèi)的部分,僅保留定義域內(nèi)的一段圖象即可.但要注意端點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).求值域時(shí)本題可根據(jù)觀察圖象求得,具體解題過程如下:
(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
(2)函數(shù)的圖象如圖所示:
(3)由(2)知,在上的值域?yàn)?
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