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《函數的奇偶性》知識解讀
(1)函數奇偶性的定義
偶函數 奇函數
定義 一般地,設函數的定義域為Ⅰ,如果,都有-x∈l,且,那么函數就叫作偶函數 一般地,設函數的定義域為Ⅰ,如果,都有-x∈l,且,那么函數就叫作奇函數
辨析比較 理解函數奇偶性的注意點
(1)從奇函數、偶函數的定義可知,當x是定義域中的一個數值時,則-x也必是定義域中的一個數值,因此函數是奇函數或偶函數的一個必不可少的條件是定義域關于原點對稱.換言之,若所給函數的定義域不關于原點對稱,則這個函數不具有奇偶性.例如,函數在區間
(-∞,+∞)上是偶函數,但在區間[-3,5]上卻不具有奇偶性.
(2)若奇函數在處有定義,則根據定義可得,,即,即奇函數的圖像過原點.
(3)若,且,則既是奇函數又是偶函數.這樣的函數有且只有一類,即=0,x∈D,D是關于原點對稱的非空數集.
(4)常見函數(一次函數、反比例函數、二次函數)的奇偶性:
函數 奇偶性
一次函數 當b=0時是奇函數;當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數
反比例函數 奇函數
二次函數 當b=0時是偶函數;當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數
(2)函數奇偶性的運算性質
設,的定義域分別是,在它們的公共定義域上,有下列結論:
偶函數 偶函數 奇函數 奇函數
偶函數 奇函數 偶函數 奇函數
偶函數 不能確定 不能確定 奇函數
偶函數 不能確定 不能確定 奇函數
偶函數 奇函數 奇函數 偶函數
偶函數 偶函數 偶函數 奇函數
注意☆
上述表格中不考慮和;中,需.
(3)奇偶函數的圖像特征
奇函數的圖像關于原點對稱;反過來,若一個函數的圖像關于原點對稱,那么這個函數是奇函數.
偶函數的圖像關于y軸對稱;反過來,若一個函數的圖像關于y軸對稱,那么這個函數是偶函數.
因而研究這類函數的性質時,只需研究函數在區間[0,+∞)或(-∞,0]上的情況,即可推斷出函數在整個定義域內的性質.
因此,如果知道一個函數是奇函數或偶函數,則只要把它的定義域分成關于原點對稱的兩部分,得出函數在一部分上的性質和圖像就可推出這個函數在另一部分上的性質和圖像.
辨析比較☆
(1)如果為奇函數,點在其圖像上,那么點,即點也在的圖像上.
(2)如果為偶函數,點在其圖像上,那么點,即點也在的圖像上.
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