資源簡介

3.4函數的應用（一）
一、重點、難點
將實際問題中的量抽象成數學中的變量，并找到變量之間的關系.
二、教科書編寫意圖及教學建議
本節的兩個例題都是給定數學模型的實際應用，教科書將在后續內容中安排更加復雜的、需要根據實際背景建立數學模型的應用問題.教學中應引導學生體會應用函數知識解決實際問題的過程和方法.
1.例1是3.1.2例8的延續.前面已經探討了應繳納個稅與應納稅所得額之間的函數關系，并通過一個具體例子，得到了已知個人綜合所得收入，專項扣除比例、專項附加扣除金額、其他扣除金額，計算應繳納個稅的方法.本例是要將應繳納個稅寫成綜合所得的函數.
在教學中，首先要引導學生分析這一問題中存在幾個變量，它們之間是什么關系，如何通過這些關系確定應繳納個稅與綜合所得的關系，等等.
實際上，由“個稅稅額=應納稅所得額×稅率-速算扣除數”這一公式可以將個稅表示成應納稅所得額的分段函數.而應納稅所得額與綜合所得收入的函數關系為
因此，對于任一個綜合所得收入額都有唯一確定的應納稅所得額與之相對應，而每個應納稅所得額都有唯一的稅率和速算扣除數與之相對應.這樣，對于任一個綜合收入所得額都有唯一確定的個稅稅額與之相對應，個稅稅額是綜合收入所得額的函數.
顯然，將個稅稅額寫成綜合收入所得額的函數需要分段表述，難點在于如何將自變量的取值進行分段.這里可以提出問題“當在什么范圍內時可以使落到相應的區間，從而確定稅率和速算扣除數”引導學生通過解相應的不等式求得工資的不同范圍，從而得到個稅稅額關于綜合收入所得額的分段函數.
在教學中，應注意讓學生充分體驗上述數學抽象的過程.
3.1.2節例8中，要由綜合收入所得額求出應納稅所得額，進而利用稅率和速算扣除數才能計算求得個稅稅額，本例直接將個稅表示成了綜合收入所得的函數，由此可直接由綜合收入所得額求出需要繳納的個稅稅額.由此可見，有了函數模型，就可以通過研究函數的性質而獲得實際問題中量的變化規律，通過畫出函數的圖象也可以很直觀地看到這種整體的變化規律.
2.例2需要利用圖形中的信息及問題中的數據建立數學模型.教學中仍然要讓學生從分析題意入手，分析清楚問題中涉及的變量，它們之間是什么關系，通過這些關系是如何確定里程表讀數與時間之間的關系，等等.本題涉及時間、速度、行駛路程、里程表讀數等變量；時間和速度的關系由圖給出，不難得到函數關系.
教學中應引導學生讀出圖形中的函數關系，也就是在圖形中拋開陰影不看，實際上是一些平行于軸的小線段，而這些小線段實際上就是平均速率關于時間變化的函數圖象.在此基礎上，再分析一個陰影矩形的面積的實際意義，然后得到整個陰影面積的意義.
本例中的問題（1），對于任意一個的取值，這條直線左邊的陰影面積就是經過時間的路程，它們之間滿足函數關系.由于路程在不同時間段內隨時間的變化規律不同，因此需要分段表示這個函數.
關于邊空中的問題“你能根據圖3.4-1畫出汽車行駛路程關于時間變化的圖象嗎”，可以先寫出汽車行駛路程關于時間變化的函數解析式：
再畫出汽車行駛路程關于時間變化的圖象.實際上這個圖象就是教科書中圖3.4-1的函數圖象向下平移2004個單位.
《函數的應用（一）》課標解讀
教材分析
本節內容是在學生熟知的函數的概念、表示法和對函數性質有了一定了解的基礎上研究函數在實際中的應用，尤其是分段函數的應用，同時深化學生對函數概念的理解和認識，也為接下來學習指數函數和對數函數作良好的鋪墊.由生活中的實際問題入手，內容涵蓋行程、幾何、利潤、費用等各個方面，既有分段表示，也有求最值，類型多樣，能讓學生對數學的實際應用性產生深刻的認識.
本節內容是考試中考查的一個重點，尤其是在現在強調閱讀和與實際結合的大環境下，更是出題人所熱衷的一部分內容，經常涉及的知識有最值、最優化，甚至自己設計幾個方案并比較等類型，難度還是比較高的.
本節內容所涉及的核心素養有直觀想象、數學抽象以及數學建模.
學情分析
學生在前面已經學習了一次函數、二次函數、冪函數等函數的圖象和性質，對函數有一定程度的認識和理解，并能建立簡單實際問題的分段函數的解析式，具備了一定的分析與解決問題的能力.
數學建議
通過分析題意，引導學生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式讓學生進行探究，同時借助計算機，充分利用多媒體教學，直觀形象地展示函數圖象.教師可以再舉出幾個教材之外的實際問題，讓學生試著建立函數關系來進行解答，提升學生的數學建模素養，激發學生的學習欲望.
學科核心素養
目標與素養
通過實際問題理解一次函數、二次函數、分段函數等的應用，體會數學與物理、生活的關系，養成正確的數學化理性思維，形成“數學源于生活、寓于生活、用于生活”的意識.提升直觀想象、數學建模素養，達到水平二的要求.
情境與問題
通過對分段函數定義和求值的復習，鞏固以前所學，并為利用分段函數等之前學過的初等函數解決實際問題打下基礎。
內容與節點
本課時內容是函數的應用，即通過一些實例感受所學函數的廣泛應用，體會利用函數模型解決實際問題的過程與方法，體現了數學的應用價值.
過程與方法
在實際問題的解決過程中，提高學生的閱讀能力、讀圖能力以及數學建模的能力，提升學生直觀想象和數學建模的核心素養，發展學生提出問題、分析問題的能力.
教學重點難點
重點
利用給定的函數模型解決實際問題，特別是分段函數的應用.
難點
函數模型的體驗，以及建立實際問題的分段函數解析式.

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