資源簡介

抓住圖形特征，建立幾何直觀
《平行四邊形和梯形》單元整體設計
一、單元主題解讀
（一）課程標準要求分析
《平行四邊形的和梯形》單元是圖形與幾何領域第二學段“圖形的認識與測量”中的重要內容。《數學課程標準》指出：“圖形的認識主要是對圖形的抽象。學生經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系;積累觀察和思考的經驗，逐步形成空間觀念。”
（二）單元教材內容分析
本單元主要學習垂直與平行，認識平行四邊形和梯形的特征，屬于“空間與圖形”的領域，在生活中有著廣泛的應用，為培養學生的空間觀念提供一個良好的載體。
　　1.垂直與平行是同一平面內兩條直線的兩種特殊位置關系，是學生以后認識平行四邊形、梯形、長方形和正方形等幾何形體的基礎，是小學高年級進一步認識長方體和正方體各棱之間位置關系的基礎，是理解圓柱和圓錐的高的基礎，是幾何研究的基本工具，在幾何學中有舉足輕重的基石地位，必須牢牢掌握。
　　2.在平行四邊形和梯形的認識方面，教材著重講解平行四邊形的特征以及它與正方形和長方形的關系。梯形在教材中是第一次正式出現，除教學梯形的特征外，還著重說明它與平行四邊形的聯系和區別。至此，幾個常見的四邊形之間的關系教學完成。
　　3.有層次的安排作圖教學。根據《課程標準（2022）》的要求，教材刪去畫平行線的內容，保留了畫垂線的內容。但在習題中仍借助一些輔助手段，安排畫平行線的活動。例如61頁練習十第4（1）題讓學生在點子圖中畫平行線，第5題，判斷是否是平行線。這樣在不斷增加作圖難度的前提下，借助直觀，加深學生對平行線特征的認識。在學生掌握畫垂線方法的基礎上，教材還編排了利用該方法畫長方形和正方形的例題，以及畫平行四邊形和梯形的高。逐步提高學生作圖能力，累積操作的活動經驗。
4.本單元的重點是垂直與平行的認識、平行四邊形和梯形的特征。難點是垂線的畫法。在考試中，畫垂線（包括平行四邊形和梯形的高）是作圖題的常考點，平行四邊形的的特征以及它與正方形、長方形的關系是判斷題的常考點。
（三）、學生認知情況
1.在此之前，學生已經掌握了直線、線段和射線的聯系與區別，認識了角、長方形、正方形和三角形。本單元的學習將在研究各類“線”單一對象特征的基礎上，研究同一平面內兩條直線未知的相互關系，增強學生對事物關聯性的關注意識。
　　2.學生對幾何圖形的認識也有一定的基礎。本單元的學習內容對學生來說比較抽象，教學中要結合這些初步認識和生活經驗，通過動手操作、小組合作探究，探索出平行四邊形和梯形的特征，加深對幾何圖形的認識和理解，有助于對學生自主探究能力的培養。
二、單元目標擬定
（一）、知識與技能
了解并熟練判斷同一平面內兩條直線的位置關系，掌握平行四邊形、梯形的特征和關系，會畫已知直線的垂線，感知垂直線段及與高的關系；會畫給定長度的長方形。
（二）、過程與方法
在觀察，操作，分析，概括和判斷等活動中，經歷探索平行四邊形和梯形基本特征的過程。
（三）、情感態度與價值觀
進一步積累認識圖形的經驗，發展空間觀念和數學思考能力的培養。
三、關鍵內容確定
（一）、教學重點
1、正確理解相交，互相平行，互相垂直等概念。
2、掌握垂線的畫法，能靈活運用繪圖方法來畫圖。
3、會利用畫垂線和畫平行線的方法準確的畫長方形。
4、進一步認識平行四邊形，發現平行四邊形的基本特征，會畫平行四邊形的高。
5、理解平行四邊形的特征以及梯形高和底的意義并會畫梯形的高。
（二）、教學重難點
1、理解平行與垂直概念的本質特征，通過畫垂線能解決生活中的具體問題.
2、會利用畫垂線和畫平行線的方法準確的畫長方形。
3、發現平行四邊形的特征，理解平行四邊形的特征通過動手操作、自主探究等解決問題的方法，積累活動經驗。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的 眼光 觀察現實世界
會用數學的 思維 思考現實世界
會用數學的 語言 表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。我認為就是“數學化能力”。就是培養孩子們在真實的情境中，用數學的眼光進行抽象，進而轉化成一個數學問題，然后用數學的語言和思維進行解釋，最終推廣應用回到現實世界，又在遷移應用中，發現新的問題，形成一個循環的過程。將來，孩子們走向未來社會，才能會想事，能做事。我想這就是我們進行數學研究的價值與靈魂。基于這個理念，我嘗試整合了整單元內容。
綜上所述，我們認為把“平行四邊形和梯形”單元雙線合并成以平行和垂直為主線的單元，探究平行四邊形、梯形的特征和關系與生活中的實際問題緊密聯系起來。整合成兩個階段的學習。
本單元教材的具體編排結構如下:
在“圖形與幾何”領域中，垂直與平行、平行四邊形和梯形都對后續知識的學習有很重要的作用。它是學生五年級上冊學習平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積的基礎，也是后面進一步學習長方體、正方體等幾何形體的基礎。
（一）、精心設計操作活動，加深對圖形本質特征的認識
本單元幾何概念較多，為幫助學生有效認識圖形的本質特征，教材編排了大量的操作活動。如:在認識平行和垂直時，教材呈現讓學生在一張紙上任意畫兩條直線，引領學生通過觀察、分類、討論、比較等多種活動，體會在同一平面內兩條直線的位置關系有相交和不相交兩種情況，并在此基礎上幫助學生建立平行的表象，引導學生自主建構平行線的概念。
教學垂直是在學生經歷了分類和認識了平行線的基礎上，進一步引導學生通過測量，發現兩直線相交又有兩種不同的情況，即有成直角的和不成直角的，進而建立垂直的表象，抽象出垂直的概念。
再如：教學平行四邊形的特性時，教材是從兩個方面來體現這一特性的：首先例題是通過拉動四根吸管串成的長方形這一操作活動，引導學生發現平行四邊形易變形、不穩定的特性；其次下面的“做一做”第1題則是通過用小棒擺平行四邊形的活動，讓學生發現在平行四邊形的邊確定的情況下，形狀還是不能確定，也就是不唯一性這個角度說明了平行四邊形的不穩定性。
不論是用四根吸管來拉動，還是用小棒來擺，都需要讓學生經歷操作、觀察、比較等過程，從而發現規律、概括特點，在活動中體驗到變與不變的數學原理。
讓學生通過觀察、操作等活動認識圖形特征，不僅能幫助學生正確建立幾何概念，同時也有助于學生初步空間觀念的培養。
（二）、加強作圖指導，培養學生作圖能力
本單元涉及許多作圖的內容，如畫垂線、畫長方形或正方形、畫平行四邊形和梯形的高等。但教材中很少呈現文字的作圖步驟與方法，所以教學時要加強作圖的訓練和指導，重視作圖能力的培養。例如用三角尺過直線上一點畫已知直線的垂線的步驟是：把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；沿著直線移動三角尺，使三角尺的直角頂點和直線上的已知點重合；從直角的頂點起，沿著另一條直角邊畫出的一條直線，就是已知直線的垂線（直角頂點是垂足）。而過直線外一點畫已知直線的垂線，則可在前面的基礎上，引導學生進行遷移類推，讓他們自主去嘗試畫，并用自己的語言嘗試概括畫圖的步驟和方法，使學生在學習過程中，獲得成功的體驗。又如，在“做一做”中畫已知直線的垂線的練習，教學時，要呈現不同位置的直線，讓學生自己嘗試去畫，提高學生作圖的靈活性。
（三）、聯系生活實際，拓展教學的資源
本單元教材在編排時，有意識地將數學學習與生活實際結合起來，提供了大量的現實素材。如借助于生活實物或原型分別引出平行四邊形和梯形，通過伸縮門、升降機等生活實例，使學生體會平行四邊形容易變形這一特性在生活中的實際運用。要求學生思考和討論怎樣測定立定跳遠的成績、怎樣掛畫又快又正，怎樣修路最近等，這些都能使學生體驗到數學與生活的密切聯系，感受到數學的應用價值。在實際的教學過程中，教師一方面充分發揮這些素材的作用；另一方面要做好必要的充實和拓展。注重學生已有的生活經驗，將視野從課堂拓寬到生活的空間，并引導他們去觀察生活，應用所學知識解決；生活中的問題，進一步認識和體會數學知識的重要用途，增強數學應用意識。
本單元的教學重點是正確理解平行與垂直的概 念；掌握平行四邊形和梯形的特征。教學難點是畫已知直線的垂線，畫平行四邊形和梯形的高；理解平行四邊形、梯形、正方形、長方形之間的關系。
五、關鍵活動設計——平行與垂直
課時分配：
平行與垂直
例1：認識平行與垂直
教材去掉了情境引入，直接通過學生在平面上畫任意兩條直線來引入，這樣編排可引導學生體會在同一平面內兩條直線位置關系有相交和不相交兩種情況，就能比較好地回避了“重合”這種情況。分別教學平行和垂直，重點更突出、線索更清楚。
教材第一次給出了平行的記法與讀法，不但可以培養學生的符號意識，而且體現了數學的簡潔之美，能夠與第三學段的學習做好對接。后面“量一量”的活動意在通過測量，引導學生發現兩條直線相交的兩種情況，認識到垂直是在相交的一種特殊的位置關系，從而在感知與體驗中建構垂直的概念。
教材呈現了三組不同方向的垂直情況圖，加深對垂直特征的理解，幫助學生建立垂直的表象。
例2：畫垂線
本套教材刪去了平行線的畫法，但保留了垂線的畫法，因為后邊畫高要用到畫垂線的知識。首先呈現了用兩把三角尺或量角器來畫垂線，意在尊重學生已有的知識和經驗，放手讓學生自己來探索畫法。接下來，通過三幅連續的動態圖畫已知直線的垂線的方法，重點突出了畫的過程。
《平行與垂直》教學設計
【教學目標】
1.經歷從生活中的實物抽象出幾何圖形的過程，初步認識平行線與垂線，理解平行與垂直是同一平面內兩條直線的兩種特殊位置關系。
2.在觀察、討論的過程中理解知識本質，建立平行與垂直的概念。
3.經歷兩直線動態變化的探索過程，感受平行、相交、垂直的區別與聯系，培養學生的空間觀念和空間想象能力。
4.通過動手操作、自主探究等解決問題的方法，積累活動經驗。
5.感受自學的樂趣，體會數學的嚴謹、簡潔之美，學會學習。
【教學重難點】
重點：理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念。
難點：理解“平行線”概念的本質屬性，即平行線之間的距離處處相等。
【教學過程】
課前前測：教材呈現的四種兩條直線的位置關系？現實中，孩子們真的能畫出這四種嗎？
今天咱們一起來認識平行與垂直。(板書課題：平行與垂直)
（一）活動一：依據學情，建立表象
課前：讓學生把所理解的平行和垂直在前測單上表示出來。
反饋：課件依次呈現有代表性的學生作品，并讓他們說一說想法。
（1）展示平行作品：
（2）展示垂直作品
【設計意圖：本節課的學習起點建立在學生對平行與垂直的原認知基礎之上，讓學生嘗試將生活中的平行與垂直現象畫在紙上。設計課堂前側這一數學活動，一是讓學生初步經歷由物到形的抽象過程，二是充分暴露學生的原認知，確定學生的學習起點，明確后續的教學目標。】
（二）活動二：直觀抽象，內化概念
1、深入理解“相交”
①第一副作品：為什么添了一條紅色的直線？
②第二幅作品：判斷：它們互相平行嗎？說一說想法？
想象：如果這兩條直線向兩端無限延伸會怎樣？
驗證并出示相交關系：（師板演延長兩條直線的過程）相交的這個點我們稱為交點。這兩條直線的位置關系叫做“相交”。
【設計意圖：此環節的設計，一是為了讓學生明確平行是“兩條直線”之間的關系；二是讓學生認識“相交”，為后續理解平行的本質屬性——“不相交”做好鋪墊。】
③第三幅作品：它們互相平行嗎？說說理由。

追問：（課件演示延長兩條直線）沒看見交點，你憑什么說這兩條直線會相交？
小結：（課件出示兩條直線之間的距離）它們之間的距離越來越小。原本他們的距離是（5格），慢慢變成了（4格），后來變成了（3格），越往后他們的距離可能是2格、1格，最終會相交！
想象：交點會在哪兒？并讓學生指一指。
2、抽象概括“平行
①將課件演示直線b慢慢調整的過程：
判斷：平行了嗎？
追問：你怎么這么堅定地認為“平行”了！
（課件出示平行線之間距離。）
②閉眼想象，把它們向左邊延長延長再延長，會相交嗎？把他們向左邊延長延長再延長，會相交嗎？
小結：不管怎么延長，兩條直線的寬度都是一樣的，他們就不可能相交。像這樣不相交的兩條直線叫做平行線。我們就說直線a與b互相平行，還可以說a平行于b。記作：a//b
③讓學生用手勢創造平行線，并找一找生活中的平行線。
④初步概括：什么是平行線？
【設計意圖：此環節的設計緊緊圍繞“什么是平行？”這個第一大核心問題組織數學活動，并由這個核心問題帶出一條問題鏈，讓學生在辨析、想象中理解和內化平行的概念。由“相交”引出“不相交”，讓學生借助格子圖觀察到“平行線之間的距離處處相等”，這兩條直線“永不相交”，從而加深對“平行”概念本質的理解。此環節的設計不僅注重對概念內涵的理解，還注重對概念外延的延伸。】
3、明晰“垂直”
①呈現學生修改的垂直作品并判斷說理。
②判斷：它們互相垂直嗎？說說理由。
圖1的兩條直線沒有相交成直角，不是垂直；圖2的兩條直線相交成了直角，是垂直。（師把圖1從“垂直”的位置拿到“相交”的位置）
③驗證：用三角尺驗證圖2中的角是否是直角并標上角的符號。思考：那剩下的三個角是什么角？
④小結：原來只要驗證一個角，就能知道四個角都是直角。像這樣，兩條直線相交成直角，就說兩條直線互相垂直，這兩條直線的交點叫做垂足。直線a是直線b的垂線，記作a⊥b，（板書：a⊥b），讀作：a垂直于b。
垂直是相交的一種特殊情況（將垂直的圖案貼在相交中并圈出相交和垂直的韋恩圖）。
⑤變式：課件依次出示圖2的變式，讓學生判斷是否垂直并說理由。
【設計意圖：此環節的設計圍繞“什么是垂直？”這個第二大核心問題展開教學，讓學生在辨析“相交”和“垂直”關系中理解垂直的概念，并得出“垂直”是“相交”的一種特殊情況。此環節還設計了幾組看似不垂直實則垂直的現象，讓學生去思辯，經歷“判斷——辨析——想象——驗證”的過程，加深對垂直概念本質的理解。】
（三）活動三：鞏固練習，完善認知
1、基本練習
下圖中哪些直線互相平行？哪些直線互相垂直？用字母表達的方式分別記錄在學習單上。
【設計意圖：在概念初步建立之后，讓學生解決問題，內化概念。在這個環節中，我先讓學生對同一平面內的6條直線的位置關系進行辨析，從中了解學生是否已將原始默會的、不明確的認知提升為明確的、清晰的數學概念。】
2、變式練習
①將平面的6條線變成長方體的6條棱。
思考：如果在長方體的上面再來一條直線h，哪一條直線和h平行？
追問1：那與直線h平行的直線除了直線c和d之外，還可以畫多少條？
追問2：你們想象到的無數條直線都在哪兒？都在上面這個平面上嗎？
思考：如果下面的面再來一條直線k，k和h互相平行嗎？
②討論：直線h和k在不同的面上，你怎么說它們是互相平行的呢？ 演示構建同一個平面的過程。
追問：還能找到和直線k平行的直線嗎？演示構建同一個平面的過程
小結：看來，只有在“同一個平面內”不相交的兩條直線才互相平行！
【設計意圖：這個變式練習有四個層次：一是讓學生體會6條直線在“同一平面”內，再通過課件演示由面到體的變化過程，從運動變化的角度，讓學生想象互相平行的兩條直線所在的平面。二是找一找和h平行的直線，體驗同一平面內三條直線兩兩互相平行的關系；三是思考h和k直線的關系，構建“同一平面”關系；四是轉動k直線,感悟不同平面的兩直線關系。這樣在層層變式中實則是鞏固練習，卻對于“同一平面”的知識做了進一步的延伸，同時，也發展了學生的空間觀念。】
3.梳理知識
回憶一下，二年級時我們學移和旋轉，這和今天學行與垂直有什么聯系呢？其實啊，一條直線經過平移后就可以得到一組平行線，兩組平行線就可以組成一個平行四邊形；而一條直線經過旋轉之后就可以得到一組垂線，兩組垂線就可以組成一個長方形。平行四邊形和長方形是我們后續要學習的內容。
【設計意圖：此環節對平行和垂直的知識進行了追溯，溝通了平行和平移、旋轉與垂直的聯系。同時也為后續學習的知識，平行四邊形和長方形的知識做了延伸與拓展。有助于學生對知識體系的建構。】
（四）板書設計
【設計意圖：通過直觀的板書，使得知識點層次分明、重點突出、布局合理、圖文并茂，突顯數學學科的特色，使學生理清本節課的知識點，有利于把握重點，起到深化鞏固的作用。】

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