資源簡介

第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.1 因動點產生的相似三角形問題
例1 2013年上海市中考第24題
例2 2012年蘇州市中考第29題
例3 2012年黃岡市中考第25題
例4 2010年義烏市中考第24題
例5 2009年臨沂市中考第26題
例6 2008年蘇州市中考第29題
1.2 因動點產生的等腰三角形問題
例1 2013年上海市虹口區中考模擬第25題
例2 2012年揚州市中考第27題
例3 2012年臨沂市中考第26題
例4 2011年湖州市中考第24題
例5 2011年鹽城市中考第28題
例6 2010年南通市中考第27題
例7 2009年江西省中考第25題
1.3 因動點產生的直角三角形問題
例1 2013年山西省中考第26題
例2 2012年廣州市中考第24題
例3 2012年杭州市中考第22題
例4 2011年浙江省中考第23題
例5 2010年北京市中考第24題
例6 2009年嘉興市中考第24題
例7 2008年河南省中考第23題
1.4 因動點產生的平行四邊形問題
例1 2013年上海市松江區中考模擬第24題
例2 2012年福州市中考第21題
例3 2012年煙臺市中考第26題
例4 2011年上海市中考第24題
例5 2011年江西省中考第24題
例6 2010年山西省中考第26題
例7 2009年江西省中考第24題
1.5 因動點產生的梯形問題
例1 2012年上海市松江中考模擬第24題
例2 2012年衢州市中考第24題
例4 2011年義烏市中考第24題
例5 2010年杭州市中考第24題
例7 2009年廣州市中考第25題
1.6 因動點產生的面積問題
例1 2013年蘇州市中考第29題
例2 2012年菏澤市中考第21題
例3 2012年河南省中考第23題
例4 2011年南通市中考第28題
例5 2010年廣州市中考第25題
例6 2010年揚州市中考第28題
例7 2009年蘭州市中考第29題
1.7 因動點產生的相切問題
例1 2013年上海市楊浦區中考模擬第25題
例2 2012年河北省中考第25題
例3 2012年無錫市中考第28題
1.8 因動點產生的線段和差問題
例1 2013年天津市中考第25題
例2 2012年濱州市中考第24題
例3 2012年山西省中考第26題
第二部分 圖形運動中的函數關系問題
2.1 由比例線段產生的函數關系問題
例1 2013年寧波市中考第26題
例2 2012年上海市徐匯區中考模擬第25題
例3 2012年連云港市中考第26題
例4 2010年上海市中考第25題
2.2 由面積公式產生的函數關系問題
例1 2013年菏澤市中考第21題
例2 2012年廣東省中考第22題
例3 2012年河北省中考第26題
例4 2011年淮安市中考第28題
例5 2011年山西省中考第26題
例6 2011年重慶市中考第26題
第三部分圖形運動中的計算說理問題
3.1 代數計算及通過代數計算進行說理問題
例1 2013年南京市中考第26題
例2 2013年南昌市中考第25題
3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題
例1 2013年上海市黃浦區中考模擬第24題
例2 2013年江西省中考第24題
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.1 因動點產生的相似三角形問題
例1 2013年上海市中考第24題
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）連結OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．
請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準確位置。
思路點撥
1．第（2）題把求∠AOM的大小，轉化為求∠BOM的大小．
2．因為∠BOM＝∠ABO＝30°，因此點C在點B的右側時，恰好有∠ABC＝∠AOM．
3．根據夾角相等對應邊成比例，分兩種情況討論△ABC與△AOM相似．
滿分解答
（1）如圖2，過點A作AH⊥y軸，垂足為H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝．所以A．
因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，
設y＝ax(x－2)，代入點A，可得． 圖2
所以拋物線的表達式為．
（2）由，
得拋物線的頂點M的坐標為．所以．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A、B(2,0)、M，
得，，．
所以∠ABO＝30°，．
因此當點C在點B右側時，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC與△AOM相似，存在兩種情況：
①如圖3，當時，．此時C(4,0)．
②如圖4，當時，．此時C(8,0)．
圖3 圖4
考點伸展
在本題情境下，如果△ABC與△BOM相似，求點C的坐標．
如圖5，因為△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角為30°的等腰三角形，AB＝AC，根據對稱性，點C的坐標為(－4,0)．
圖5
例2 2012年蘇州市中考第29題
如圖1，已知拋物線（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C．
（1）點B的坐標為______，點C的坐標為__________（用含b的代數式表示）；
（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在∠OQA＝∠B的時刻，也存在∠OQ′A＝∠B的時刻．
思路點撥
1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等．
2．聯結OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．
3．第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上．
滿分解答
（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )．
（2）如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．設點P的坐標為(x, x)．
如圖3，聯結OP．
所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．
解得．所以點P的坐標為()．
圖2 圖3
（3）由，得A(1, 0)，OA＝1．
①如圖4，以OA、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
當，即時，△BQA∽△QOA．
所以．解得．所以符合題意的點Q為()．
②如圖5，以OC為直徑的圓與直線x＝1交于點Q，那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA．
當時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三點共線．因此，即．解得．此時Q(1,4)．
圖4 圖5
考點伸展
第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．
這樣，先根據△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據兩直角邊對應成比例確定點B的位置．
如圖中，圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？
如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB＝4OC矛盾．
例3 2012年黃岡市中考模擬第25題
如圖1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．
（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；
（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；
（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是∠BFC在無限遠處也不等于45°．觀察右圖，可以體驗到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的時刻．
思路點撥
1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小．
2．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程．
滿分解答
（1）將M(2, 2)代入，得．解得m＝4．
（2）當m＝4時，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
所以S△BCE＝．
（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小．
設對稱軸與x軸的交點為P，那么．
因此．解得．所以點H的坐標為．
（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．
設點F的坐標為，由，得．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程無解．
圖2 圖3 圖4
②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．
解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．
由，得．解得．
綜合①、②，符合題意的m為．
考點伸展
第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標后，根據兩點間的距離公式求BF的長．
例4 2010年義烏市中考第24題
如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數式表示x2－x1，并求出當S=36時點A1的坐標；
（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2－x1隨S的增大而減小．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．
思路點撥
1．第（2）題用含S的代數式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數變形就可以了．
2．第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證．
3．第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方．
滿分解答
（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）．
（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．
在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．

圖3 圖4
考點伸展
第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3．
例5 2009年臨沂市中考第26題
如圖1，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．
,
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，△PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側”、“ P在x軸上方”和“P在A右側”，可以顯示△PAM與△OAC相似的三個情景．
雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察△DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大．
思路點撥
1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便．
2．數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．
3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．
4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．
滿分解答
（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．
（2）設點P的坐標為．
①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合題意．
如果，那么．解得．
此時點P的坐標為（2，1）．
②如圖3，當點P在點A的右側時，x＞4，，．
解方程，得．此時點P的坐標為．
解方程，得不合題意．
③如圖4，當點P在點B的左側時，x＜1，，．
解方程，得．此時點P的坐標為．
解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．
綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或．

圖2 圖3 圖4
（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．
設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．
因此．
當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1）．

圖5 圖6
考點伸展
第（3）題也可以這樣解：
如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．
設點D的橫坐標為（m，n），那么
．
由于，所以．
例6 2008年蘇州市中考第29題
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動表示a的點在y軸上運動，可以體驗到，當拋物線經過點E1和E3時，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個點G，此時△POB∽△PGN．當拋物線經過點E2和E4時，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個點G，可以體驗到，這個點G在點N右側較遠處．
思路點撥
1．求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值．
2．以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有符合題意的點E，寫出點E的坐標，代入拋物線的解析式就可以求出a．
3．當E在x軸上方時，∠GNP＝45°，△POB∽△PGN，把轉化為．
4．當E在x軸下方時，通過估算得到大于10．
滿分解答
（1），，．
（2）由拋物線的解析式，得
點M的坐標為，點N的坐標為．
因此MN的中點D的坐標為（2，0），DN＝3．
因為△AOB是等腰直角三角形，如果△DNE與△AOB相似，那么△DNE也是等腰直角三角形．
①如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標為E1（2，3）或E2（2，－3）．
將E1（2，3）代入，求得．
此時拋物線的解析式為．
將E2（2，－3）代入，求得．
此時拋物線的解析式為．
②如果DN為斜邊，那么點E的坐標為E3或E4．
將E3代入，求得．
此時拋物線的解析式為．
將E4代入，求得．
此時拋物線的解析式為．

圖2 圖3
對于點E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，∠ENP＝45°．
又∠OBP＝45°，∠P＝∠P，所以△POB∽△PGN．
因此．
對于點E為E2（2，－3）和E4，直線NE是相同的．
此時點G在直線的右側，．
又，所以．
考點伸展
在本題情景下，怎樣計算PB的長？
如圖3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC＝，PF＝，
PA＝，所以．
因動點產生的等腰三角形問題
例1 2013年上海市虹口區中考模擬第25題
如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的長；
（2）若BP＝2，求CQ的長；
（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．
圖1 備用圖
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．
請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．
思路點撥
1．第（2）題BP＝2分兩種情況．
2．解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關系．
3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據相似三角形的傳遞性，轉化為探求等腰三角形CDQ．
滿分解答
（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是
△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以．所以，．
圖2 圖3 圖4
①如圖3，當BP＝2，P在BM上時，PM＝1．
此時．所以．
②如圖4，當BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．
此時．所以．
（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．
在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
當△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．
①如圖5，當CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．
此時．所以．
②如圖6，當QC＝QD時，由，可得．
所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．
此時．所以．
③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．
圖5 圖6
考點伸展
如圖6，當△CDQ是等腰三角形時，根據等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．
例2 2012年揚州市中考第27題
如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察△MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以看到，點M有1次機會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機會落在MC的垂直平分線上；點C有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線．
思路點撥
1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最小．
2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．
滿分解答
（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3, 0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，
代入點C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以拋物線的函數關系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．
當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．
由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以點P的坐標為(1, 2)．
圖2
（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
考點伸展
第（3）題的解題過程是這樣的：
設點M的坐標為(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如圖3，當MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此時點M的坐標為(1, 1)．
②如圖4，當AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此時點M的坐標為(1,)或(1,)．
③如圖5，當CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．
圖3 圖4 圖5
例3 2012年臨沂市中考第26題
如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當點P運動到⊙O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線．
請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P，發現存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形
思路點撥
1．用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．
2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．
滿分解答
（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．
所以點B的坐標為．
（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，
代入點B，．解得．
所以拋物線的解析式為．
（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2, y)．
①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．
②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．
③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．
綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．
圖2 圖3
考點伸展
如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．
由，得拋物線的頂點為．
因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例4 2011年鹽城市中考第28題
如圖1，已知一次函數y＝－x＋7與正比例函數 的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，△APR的面積有一個時刻等于8．觀察△APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在AP＝AQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，△APQ是等腰三角形．
思路點撥
1．把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．
2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．
3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．
滿分解答
（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)．
令，得．所以點B的坐標是(7，0)．
（2）①如圖2，當P在OC上運動時，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．
因此，當t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．
圖2 圖3 圖4
②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．
如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．
因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．
此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 為定值，，．
如圖5，當AP＝AQ時，解方程，得．
如圖6，當QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，當PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．
綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．
圖5 圖6 圖7
考點伸展
當P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．
例5 2010年南通市中考第27題
如圖1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數），BC＝8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE＝x，BF＝y．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數圖象，可以體驗到，y是x的二次函數，拋物線的開口向下．對照圖形和圖象，可以看到，當E是BC的中點時，y取得最大值．雙擊按鈕“m＝8”，拖動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點．
拖動點A可以改變m的值，再拖動圖象中標簽為“y隨x” 的點到射線y＝x上，從圖形中可以看到，此時△DCE≌△EBF．
思路點撥
1．證明△DCE∽△EBF，根據相似三角形的對應邊成比例可以得到y關于x的函數關系式．
2．第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數的最值．
3．第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達．一段是說理，如果△DEF為等腰三角形，那么得到x＝y；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的m的值．
滿分解答
(1)因為∠EDC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因為∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關于x的函數關系為．
(2)如圖2，當m＝8時，．因此當x＝4時，y取得最大值為2．
(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因為△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．將x＝y ＝2代入，得m＝6（如圖3）；將x＝y ＝6代入，得m＝2（如圖4）．

圖2 圖3 圖4
考點伸展
本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：
由第（1）題得到，
那么不論m為何值，當x＝4時，y都取得最大值．對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值．第（2）題m＝8是第（1）題一般性結論的一個特殊性．
再如，不論m為小于8的任何值，△DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程
總有一個根的．第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性．
例 6 2009年江西省中考第25題
如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，過點E作EF//BC交CD于點F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求點E到BC的距離；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交BC于M，過M作MN//AB交折線ADC于N，連結PN，設EP＝x．
①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由；
②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2 圖3
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09江西25”，拖動點P在EF上運動，可以體驗到，當N在AD上時，△PMN的形狀不發生改變，四邊形EGMP是矩形，四邊形BMQE、四邊形ABMN是平行四邊形，PH與NM互相平分．
當N在DC上時，△PMN的形狀發生變化，但是△CMN恒為等邊三角形，分別雙擊按鈕“PM＝PN”、“MP＝MN”和“NP＝NM”，可以顯示△PMN為等腰三角形．
思路點撥
1．先解讀這個題目的背景圖，等腰梯形ABCD的中位線EF＝4，這是x的變化范圍．平行線間的距離處處相等，AD與EF、EF與BC間的距離相等．
2．當點N在線段AD上時，△PMN中PM和MN的長保持不變是顯然的，求證PN的長是關鍵．圖形中包含了許多的對邊平行且相等，理順線條的關系很重要．
3．分三種情況討論等腰三角形PMN，三種情況各具特殊性，靈活運用幾何性質解題．
滿分解答
（1）如圖4，過點E作EG⊥BC于G．
在Rt△BEG中，，∠B＝60°，
所以，．
所以點E到BC的距離為．
（2）因為AD//EF//BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點．
因此EF是梯形ABCD的中位線，EF＝4．
①如圖4，當點N在線段AD上時，△PMN的形狀不是否發生改變．
過點N作NH⊥EF于H，設PH與NM交于點Q．
在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．
在平行四邊形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．
所以BG＝PQ＝1．
因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH＝2PQ＝2．
在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．
在平行四邊形ABMN中，MN＝AB＝4．
因此△PMN的周長為＋＋4．

圖4 圖5
②當點N在線段DC上時，△CMN恒為等邊三角形．
如圖5，當PM＝PN時，△PMC與△PNC關于直線PC對稱，點P在∠DCB的平分線上．
在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．
此時M、P分別為BC、EF的中點，x＝2．
如圖6，當MP＝MN時，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．
如圖7，當NP＝NM時，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．
又因為∠FNM＝120°，所以P與F重合．
此時x＝4．
綜上所述，當x＝2或4或5－時，△PMN為等腰三角形．

圖6 圖7 圖8
考點伸展
第（2）②題求等腰三角形PMN可以這樣解：
如圖8，以B為原點，直線BC為x軸建立坐標系，設點M的坐標為（m，0），那么點P的坐標為（m，），MN＝MC＝6－m，點N的坐標為（，）．
由兩點間的距離公式，得．
當PM＝PN時，，解得或．此時．
當MP＝MN時，，解得，此時．
當NP＝NM時，，解得，此時．
1.3 因動點產生的直角三角形問題
例1 2013年山西省中考第26題
如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；
（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．
請打開超級畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．
思路點撥
1．第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ＝DC列方程．
2．第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結論．
3．第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形．
滿分解答
（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．
（2）直線DB的解析式為．
由點P的坐標為(m, 0)，可得，．
所以MQ＝．
當MQ＝DC＝8時，四邊形CQMD是平行四邊形．
解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．
此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．
所以四邊形CQBM是平行四邊形．
圖2 圖3
（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．
考點伸展
第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為．
①如圖3，當∠DBQ＝90°時， ．所以．
解得x＝6．此時Q(6,－4)．
②如圖4，當∠BDQ＝90°時， ．所以．
解得x＝－2．此時Q(－2,0)．
圖3 圖4
例1 2012年廣州市中考第24題
如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；
（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．
請打開超級畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．
思路點撥
1．根據同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個．
2．當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合∠AMB＝90°的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．
3．靈活應用相似比解題比較簡便．
滿分解答
（1）由，
得拋物線與x軸的交點坐標為A(－4, 0)、B(2, 0)．對稱軸是直線x＝－1．
（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．
過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D′．
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．
由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．
所以，點D的坐標為．
因為AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標為．
圖2 圖3
（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．
以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．
聯結GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．
所以點M1的坐標為(－4, 6)，過M1、E的直線l為．
根據對稱性，直線l還可以是．
考點伸展
第（3）題中的直線l恰好經過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．
因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點C．
例3 2012年杭州市中考第22題
在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點B(－1,－k)．
（1）當k＝－2時，求反比例函數的解析式；
（2）要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側，反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．
請打開超級畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側，反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．
思路點撥
1．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是．題目中的k都是一致的．
2．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O．
3．根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．
滿分解答
（1）因為反比例函數的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數的解析式是．
當k＝－2時，反比例函數的解析式是．
（2）在反比例函數中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．
當k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大．
拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對稱軸是直線． 圖1
所以當k＜0且時，反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大．
（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，
當OQ＝OA＝OB時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．
由OQ2＝OA2，得．
解得（如圖2），（如圖3）．
圖2 圖3
考點伸展
如圖4，已知經過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．
問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？
如圖5，當A、C關于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．
因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．
圖4 圖5
例4 2011年浙江省中考第23題
設直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線．
（1）已知直線①；②；③；④和點C(0，2)，則直線_______和_______是點C的直角線（填序號即可）；
（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式．

圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，∠APB有兩個時刻可以成為直角，此時△BCP∽△POA．
答案
（1）直線①和③是點C的直角線．
（2）當∠APB＝90°時，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．
如圖2，當OP＝6時，l1：， l2：y＝－2x＋6．
如圖3，當OP＝1時，l1：y＝3x＋1， l2：．
圖2 圖3
例5 2010年北京市中考第24題
在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上．
（1）求點B的坐標；
（2）點P在線段OA上，從點O出發向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得ED＝PE，以PD為斜邊，在PD右側作等腰直角三角形PCD（當點P運動時，點C、D也隨之運動）．
①當等腰直角三角形PCD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；
②若點P從點O出發向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動）．過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動）．若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動點P從O向A運動，可以體驗到，兩個等腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線．
思路點撥
1．這個題目最大的障礙，莫過于無圖了．
2．把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長．
3．點C的坐標始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計算此刻OP的長．
4．當兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產生新的等腰直角三角形，列關于t的方程就可以求解了．
滿分解答
(1) 因為拋物線經過原點，所以． 解得，（舍去）．因此．所以點B的坐標為（2，4）．
(2) ①如圖4，設OP的長為t，那么PE＝2t，EC＝2t，點C的坐標為(3t, 2t)．當點C落在拋物線上時，．解得．
②如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合．此時3t＝10．解得．
如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此時．解得．
如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此時．解得．

圖1 圖2 圖3
考點伸展
在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值．
如圖5，當P、Q重合時，兩圓內切，．
如圖6，當兩圓外切時，．

圖4 圖5 圖6
例6 2009年嘉興市中考第24題
如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動點B在AN上運動，可以體驗到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角；觀察函數的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U”形，當AB等于1.5時，面積達到最大值．
思路點撥
1．根據三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關于x的不等式組，可以求得x的取值范圍．
2．分類討論直角三角形ABC，根據勾股定理列方程，根據根的情況確定直角三角形的存在性．
3．把△ABC的面積S的問題，轉化為S2的問題．AB邊上的高CD要根據位置關系分類討論，分CD在三角形內部和外部兩種情況．
滿分解答
（1）在△ABC中，，，，所以 解得．
（2）①若AC為斜邊，則，即，此方程無實根．
②若AB為斜邊，則，解得，滿足．
③若BC為斜邊，則，解得，滿足．
因此當或時，△ABC是直角三角形．
（3）在△ABC中，作于D，設，△ABC的面積為S，則．
①如圖2，若點D在線段AB上，則．移項，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得
所以（）．
當時（滿足），取最大值，從而S取最大值．

圖2 圖3
②如圖3，若點D在線段MA上，則．
同理可得，（）．
易知此時．
綜合①②得，△ABC的最大面積為．
考點伸展
第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設，
例如在圖2中，由列方程．
整理，得．所以
．
因此
．
例 7 2008年河南省中考第23題
如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）．
（1）試說明△ABC是等腰三角形；
（2）動點M從A出發沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．設M運動t秒時，△MON的面積為S．
① 求S與t的函數關系式；
② 設點M在線段OB上運動時，是否存在S＝4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；
③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動點M從A向B運動，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗到，當M在AO上時，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當M在OB上時，S隨t的增大而增大．
觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
觀察△MON的形狀，可以體驗到，△MON可以兩次成為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路點撥
1．第（1）題說明△ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發，同時到達終點．
2．不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論．
3．將S＝4代入對應的函數解析式，解關于t的方程．
4．分類討論△MON為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
滿分解答
（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．點A的坐標是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如圖2，圖3，過點N作NH⊥AB，垂足為H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如圖2，當M在AO上時，OM＝2－t，此時
．
定義域為0＜t≤2．
如圖3，當M在OB上時，OM＝t－2，此時
．
定義域為2＜t≤5．

圖2 圖3
②把S＝4代入，得．解得，（舍去負值）．因此，當點M在線段OB上運動時，存在S＝4的情形，此時．
③如圖4，當∠OMN＝90°時，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．
如圖5，當∠OMN＝90°時，N與C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，當或者時，△MON為直角三角形．

圖4 圖5
考點伸展
在本題情景下，如果△MON的邊與AC平行，求t的值．
如圖6，當ON//AC時，t＝3；如圖7，當MN//AC時，t＝2.5．

圖6 圖7
例8 2008年河南省中考第23題
如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）．
（1）試說明△ABC是等腰三角形；
（2）動點M從A出發沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．設M運動t秒時，△MON的面積為S．
① 求S與t的函數關系式；
② 設點M在線段OB上運動時，是否存在S＝4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；
③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動點M從A向B運動，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗到，當M在AO上時，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當M在OB上時，S隨t的增大而增大．
觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
觀察△MON的形狀，可以體驗到，△MON可以兩次成為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路點撥
1．第（1）題說明△ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發，同時到達終點．
2．不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論．
3．將S＝4代入對應的函數解析式，解關于t的方程．
4．分類討論△MON為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
滿分解答
（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）．
Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．
點A的坐標是（-2，0），所以BA＝5．
因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如圖2，圖3，過點N作NH⊥AB，垂足為H．
在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如圖2，當M在AO上時，OM＝2－t，此時
．定義域為0＜t≤2．
如圖3，當M在OB上時，OM＝t－2，此時
．定義域為2＜t≤5．

圖2 圖3
②把S＝4代入，得．
解得，（舍去負值）．
因此，當點M在線段OB上運動時，存在S＝4的情形，此時．
③如圖4，當∠OMN＝90°時，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，
所以．解得．
如圖5，當∠OMN＝90°時，N與C重合，．
不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，當或者時，△MON為直角三角形．

圖4 圖5
考點伸展
在本題情景下，如果△MON的邊與AC平行，求t的值．
如圖6，當ON//AC時，t＝3；如圖7，當MN//AC時，t＝2.5．

圖6 圖7
1.4 因動點產生的平行四邊形問題
例1 2013年上海市松江區中考模擬第24題
如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(0, 1)、B(4, 3)兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側的平行四邊形MNCB只有一個．
請打開超級畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次機會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側的平行四邊形MNCB只有一個．
思路點撥
1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構造包含銳角∠ABO的角直角三角形．
2．第（3）題解方程MN＝yM－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側．
滿分解答
（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得，c＝1．
所以拋物線的解析式是．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．
在Rt△AOH中，OA＝1，，
所以． 圖2
所以，．
在Rt△ABH中，．
（3）直線AB的解析式為．
設點M的坐標為，點N的坐標為，
那么．
當四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．
解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．
因為x＝3在對稱軸的右側（如圖4），所以符合題意的點M的坐標為（如圖3）．
圖3 圖4
考點伸展
第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．
那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．
由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．
所以符合題意的點M有4個：，，，．
圖5
例2 2012年福州市中考第21題
如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯結PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代數式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；
（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經過的路徑長．
圖1 　 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12福州21”，拖動左圖中的點P運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．拖動右圖中的點Q運動，可以體驗到，當PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．
請打開超級畫板文件名“12福州21”，拖動點Q向上運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．點擊動畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗到，當PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．點擊動畫按鈕的中部，Q的速度變成1.
思路點撥
1．菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點P運動的時間t，再根據PQ//AB，對應線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度．
2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑．
滿分解答
（1）QB＝8－2t，PD＝．
（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．
過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 圖3
在Rt△APE中，，所以．　
當PQ//AB時，，即．解得．
所以點Q的運動速度為．
（3）以C為原點建立直角坐標系．
如圖4，當t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．
如圖5，當t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．
直線EF的解析式是y＝－2x＋6．
如圖6，PQ的中點M的坐標可以表示為（，t）．經驗證，點M（，t）在直線EF上．
所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．
圖4 圖5 圖6
考點伸展
第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設二次函數：
當t＝2時，PQ的中點為(2，2)．
設點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．
所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．
例3 2012年煙臺市中考第26題
如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．
（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當P在AB的中點時，△ACG的面積最大．觀察右圖，我們構造了和△CEQ中心對稱的△FQE和△ECH′，可以體驗到，線段EQ的垂直平分線可以經過點C和F，線段CE的垂直平分線可以經過點Q和H′，因此以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．
請打開超級畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當P在AB的中點時，即t=2，△ACG的面積取得最大值1．觀察CQ，EQ，EC的值，發現以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．點擊動畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準確位置。
思路點撥
1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．
2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．
3．構造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．
滿分解答
（1）A(1, 4)．因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，
代入點C(3, 0)，可得a＝－1．
所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）因為PE//BC，所以．因此．
所以點E的橫坐標為．
將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．
所以點G的縱坐標為．于是得到．
因此．
所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．
（3）或．
考點伸展
第（3）題的解題思路是這樣的：
因為FE//QC，FE＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構造點F關于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．
再根據FQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據EQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．
，，，．
如圖2，當FQ＝CQ時，FQ2＝CQ2，因此．
整理，得．解得，（舍去）．
如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．
整理，得．．所以，（舍去）．
圖2 圖3
例4 2011年上海市中考第24題
已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數的圖象上，且MO＝MA．二次函數
y＝x2＋bx＋c的圖象經過點A、M．
（1）求線段AM的長；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機會落在拋物線上．
思路點撥
1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數．
2．根據MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．
3．第（3）題求點C的坐標，先根據菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．
滿分解答
（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．
如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此．
（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數的解析式為．
（3）如圖3，設四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．
在Rt△ADE中，設AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．
因此點C的坐標為（2，2）．

圖2 圖3
考點伸展
如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：
如圖4，點C的坐標為．
圖4
例5 2011年江西省中考第24題
將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．
（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；
（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．
①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；
②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11江西24”，拖動點M向左平移，可以體驗到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時B、D重合在原點．觀察B、D的位置關系，可以體驗到，B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況．
思路點撥
1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標羅列出來．
2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關系列關于m的方程．
3．根據矩形的對角線相等列方程．
滿分解答
（1）拋物線c2的表達式為．
（2）拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．
拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．
拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．
拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：
情形一，如圖2，B在D的左側，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如圖3，B在D的右側，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．
圖2 圖3 圖4
②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．
考點伸展
第（2）題②，探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：
在等腰三角形ABM中，因為AB＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．
同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時，B、D兩點重合．
因為起始位置時BD＝2，所以平移的距離m＝1．
例6 2010年山西省中考第26題
在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．
（1）求點B的坐標；
（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；
（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10山西26”，拖動點M可以在直線DE上運動．分別雙擊按鈕“DO、DM為鄰邊”、“ DO、DN為鄰邊”和“DO為對角線”可以準確顯示菱形．
思路點撥
1．第（1）題和第（2）題蘊含了OB與DF垂直的結論，為第（3）題討論菱形提供了計算基礎．
2．討論菱形要進行兩次（兩級）分類，先按照DO為邊和對角線分類，再進行二級分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊．
滿分解答
(1)如圖2，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點B的坐標為(3,6)．
(2) 因為OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
設直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直線DE的解析式為．
(3) 由，知直線DE與x軸交于點F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如圖3，當DO為菱形的對角線時，MN與DO互相垂直平分，點M是DF的中點．此時點M的坐標為(5,)，點N的坐標為(－5,)．
②如圖4，當DO、DN為菱形的鄰邊時，點N與點O關于點E對稱，此時點N的坐標為(4,8)．
③如圖5，當DO、DM為菱形的鄰邊時，NO＝5，延長MN交x軸于P．
由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此時點N的坐標為．

圖3 圖4
考點伸展
如果第（3）題沒有限定點N在x軸上方的平面內，那么菱形還有如圖6的情形．

圖5 圖6
例7 2009年江西省中考第24題
如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF//DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09江西24”，拖動點P在BC上運動，可以體驗到，四邊形PEDF可以成為平行四邊形．觀察△BCF的形狀和S隨m變化的圖象，可以體驗到，S是m的二次函數，當P是BC的中點時，S取得最大值．
思路點撥
1．數形結合，用函數的解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．
2．當四邊形PEDF為平行四邊形時，根據DE=FP列關于m的方程．
3．把△BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB．
滿分解答
（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1．
（2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點E的坐標為（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以點D的坐標為（1，4）．
因此DE=2．
因為PF//DE，點P的橫坐標為m，設點P的坐標為，點F的坐標為，因此．
當四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP．于是得到．解得，（與點E重合，舍去）．
因此，當m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形時．
②設直線PF與x軸交于點M，那么OM+BM=OB=3．因此
．
m的變化范圍是0≤m≤3．

圖2 圖3
考點伸展
在本題條件下，四邊形PEDF可能是等腰梯形嗎？如果可能，求m的值；如果不可能，請說明理由．
如圖4，如果四邊形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．
于是．解得（與點CE重合，舍去），（與點E重合，舍去）．
因此四邊形PEDF不可能成為等腰梯形．
圖4
1.5 因動點產生的梯形問題
例1 2012年上海市松江區中考模擬第24題
已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經過點A，B．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．
①求點D的坐標；
②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y＝3x－3交于點E，若，求四邊形BDEP的面積．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12松江24”，拖動點P向右運動，可以體驗到，D、P間的垂直距離等于7保持不變，∠DPE與∠PDH保持相等．
請打開超級畫板文件名“12松江24”， 拖動點P向右運動，可以體驗到，D、P間的垂直距離等于7保持不變，∠DPE與∠PDH保持相等，，四邊形BDEP的面積為24．
思路點撥
1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了．
2．拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于7．
3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點間的垂直距離等于7，那么點P向右平移到直線x＝3時，就停止平移．
滿分解答
（1）直線y＝3x－3與x軸的交點為A(1，0)，與y軸的交點為B(0,－3)．
將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，
得 解得
所以拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3．
對稱軸為直線x＝－1，頂點為(－1,－4)．
（2）①如圖2，點B關于直線l的對稱點C的坐標為(－2,－3)．
因為CD//AB，設直線CD的解析式為y＝3x＋b，
代入點C(－2,－3)，可得b＝3．
所以點D的坐標為（0，3）．
②過點P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．
由，得．
而DH＝7，所以PH＝3．
因此點E的坐標為（3，6）．
所以．
圖2 圖3
考點伸展
第（2）①用幾何法求點D的坐標更簡便：
因為CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．
因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．
例2 2012年衢州市中考第24題
如圖1，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經過O、A、C三點．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）點P為線段OC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12衢州24”， 拖動點P在線段OC上運動，可以體驗到，在AB的左側，存在等腰梯形ABPM．拖動點A′在線段AC上運動，可以體驗到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的兩條直角邊的比都為1∶2．
請打開超級畫板文件名“12衢州24”，拖動點P在線段OC上運動，可以體驗到，在AB的左側，存在AM=BP．拖動點A′在線段AC上運動，發現S最大值為0.375．
思路點撥
1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側的線段長線段．
2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補得到，即△OFG減去△OEH．
3．求△OEH的面積時，如果構造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．
4．設點A′移動的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．
滿分解答
（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，
得 解得，，． 所以．
（2）如圖2，過點P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．
直線OC的解析式為，設點P的坐標為，那么．
解方程，得，．
x＝2的幾何意義是P與C重合，此時梯形不存在．所以．
圖2 圖3
（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．
設點A′移動的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．
在Rt△OFG中，．所以．
在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．
所以．
在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．
因此．所以．
所以．
于是．
因為0＜m＜1，所以當時，S取得最大值，最大值為．
考點伸展
第（3）題也可以這樣來解：設點A′的橫坐標為a．
由直線AC：y＝－x＋3，可得A′(a, －a＋3)．
由直線OC：，可得．
由直線OA：y＝2x及A′(a, －a＋3)，可得直線O′A′：y＝2x－3a＋3，．
由直線OC和直線O′A′可求得交點E(2a－2，a－1)．
由E、F、G、H 4個點的坐標，可得
例 4 2011年義烏市中考第24題
已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x＝4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN//x軸，交PB于點N． 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN． 在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11義烏24”，拖動點M從P向O運動，可以體驗到，M在到達PO的中點前，重疊部分是三角形；經過中點以后，重疊部分是梯形．
思路點撥
1．第（2）題可以根據對邊相等列方程，也可以根據對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．
2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點．
滿分解答
（1）設拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12) 兩點，得 解得
所以二次函數的解析式為，頂點P的坐標為（4，－4）．
（2）由，知點B的坐標為（6，0）．
假設在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設點D的坐標為(x，2x)．
由兩點間的距離公式，得．解得或x＝－2．
如圖3，當x＝－2時，四邊形ODPB是平行四邊形．
所以，當點D的坐標為(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形．
圖3 圖4 圖5
（3）設△PMN與△POB的高分別為PH、PG．
在Rt△PMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
① 如圖4，當0＜t≤2時，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時．
②如圖5，當2＜t＜4時，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積．由于，所以．
此時．
考點伸展
第（2）題最好的解題策略就是拿起尺、規畫圖：
方法一，按照對角線相等畫圓．以P為圓心，OB長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．
方法二，按照對邊相等畫圓．以B為圓心，OP長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．
例5 2010年杭州市中考第24題
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y ＝，點C的坐標為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上．
(1) 寫出點M的坐標；
(2) 當四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時．
① 求t關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
② 當梯形CMQP的兩底的長度之比為1∶2時，求t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10杭州24”，拖動點Q在拋物線上運動，從t隨x變化的圖象可以看到，t是x的二次函數，拋物線的開口向下．還可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一種情況，此時Q在y軸上；CM∶PQ＝1∶2有兩種情況．
思路點撥
1．第（1）題求點M的坐標以后，Rt△OCM的兩條直角邊的比為1∶2，這是本題的基本背景圖．
2．第（2）題中，不變的關系是由平行得到的等角的正切值相等，根據數形結合，列關于t與x的比例式，從而得到t關于x的函數關系．
3．探求自變量x的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況．
4．梯形的兩底的長度之比為1∶2，要分兩種情況討論．把兩底的長度比轉化為QH與MO的長度比．
滿分解答
(1)因為AB＝OC＝ 4，A、B關于y軸對稱，所以點A的橫坐標為2．將x＝2代入y＝，得y＝2．所以點M的坐標為（0，2）．
(2) ① 如圖2，過點Q作QH ( x軸，設垂足為H，則HQ＝y，HP＝x– t ．
因為CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．
如圖3，當P與C重合時，，解方程，得．
如圖4，當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x＝( 2．
因此自變量x的取值范圍是，且x(( 2的所有實數．

圖2 圖3 圖4
②因為sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．
當時，．解方程，得（如圖5）．此時．
當時，．解方程，得．
如圖6，當時，；如圖6，當時，．

圖5 圖6 圖7
考點伸展
本題情境下，以Q為圓心、QM為半徑的動圓與x軸有怎樣的位置關系呢？
設點Q的坐標為，那么．
而點Q到x軸的距離為．
因此圓Q的半徑QM等于圓心Q到x軸的距離，圓Q與x軸相切．
例7 2009年廣州市中考第25題
如圖1，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，－1），△ABC的面積為．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數的圖象上是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09廣州25”，可以看到，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，拖動點M在y軸上運動，可以體驗到，過M的直線與圓相切或者相交時有公共點．
在拋物線上有兩個符合條件的點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形．
思路點撥
1．根據△ABC的面積和AB邊上的高確定AB的長，這樣就可以把兩個點的坐標用一個字母表示．
2．數形結合，根據點A、B、C的坐標確定OA、OB、OC間的數量關系，得到△AOC∽△COB，從而得到△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，再根據對稱性寫出m的取值范圍．
3．根據直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點D有兩個，但是求點D的坐標比較麻煩，根據等角的正切相等列方程相對簡單一些．
滿分解答
（1）因為OC＝1，△ABC的面積為，所以AB＝．
設點A的坐標為（a，0），那么點B的坐標為（a＋，0）．
設拋物線的解析式為，代入點C（0，－1），得．解得或．
因為二次函數的解析式中，，所以拋物線的對稱軸在y軸右側．因此點A、B的坐標分別為，．
所以拋物線的解析式為．
（2）如圖2，因為，，所以．因此△AOC∽△COB．所以△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB．
因此m的取值范圍是≤m≤．

圖2 圖3 圖4
（3）設點D的坐標為．
①如圖3，過點A作BC的平行線交拋物線于D，過點D作DE⊥x軸于E．
因為，所以．因此．解得．此時點D的坐標為．
過點B作AC的平行線交拋物線于D，過點D作DF⊥x軸于F．因為，所以．因此．解得．此時點D的坐標為．
綜上所述，當D的坐標為或時，以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形．
考點伸展
第（3）題可以用代數的方法這樣解：例如圖3，先求得直線BC為，再根據AD//BC求得直線AD為，由直線AD和拋物線的解析式組成的方程組，得到點D的坐標．
1.6 因動點產生的面積問題
例1 2013年蘇州市中考第29題
如圖1，已知拋物線（b、c是常數，且c＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1,0)．
（1）b＝______，點B的橫坐標為_______（上述結果均用含c的代數式表示）；
（2）連結BC，過點A作直線AE//BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，坐標為(2,0)，當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結PB、PC．設△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有_____個．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“13蘇州29”，拖動點C在y軸負半軸上運動，可以體驗到，△EHA與△COB保持相似．點擊按鈕“C、D、E三點共線”，此時△EHD∽△COD．拖動點P從A經過C到達B，數一數面積的正整數值共有11個．
請打開超級畫板文件名“13蘇州29”，拖動點C在y軸負半軸上運動，可以體驗到，△EHA與△COB保持相似．點擊按鈕“C、D、E三點共線”，此時△EHD∽△COD．拖動點P從A經過C到達B，數一數面積的正整數值共有11個．
思路點撥
1．用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發現OB＝2OC．
2．當C、D、E三點共線時，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．
3．求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方．
4．求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經過C運動到B的過程中，面積的正整數值，再數一數個數．注意排除點A、C、B三個時刻的值．
滿分解答
（1）b＝，點B的橫坐標為－2c．
（2）由，設E．
過點E作EH⊥x軸于H．
由于OB＝2OC，當AE//BC時，AH＝2EH．
所以．因此．所以．
當C、D、E三點在同一直線上時，．所以．
整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．
所以拋物線的解析式為．
（3）①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F．
直線BC的解析式為．
設，那么，．
所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．
因此當P在BC下方時，△PBC的最大值為4．
當P在BC上方時，因為S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．
綜上所述，0＜S＜5．
②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有11個．
考點伸展
點P沿拋物線從A經過C到達B的過程中，△PBC的面積為整數，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
當P在BC下方，S＝4時，點P在BC的中點的正下方，F是BC的中點．
例 2 2012年菏澤市中考第21題
如圖1，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到三角形A′B′O．
（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12菏澤21”，拖動點P在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．
請打開超級畫板文件名“12菏澤21”，拖動點P在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．
思路點撥
1．四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉化為四邊形PB′OB的面積是
△A′B′O面積的3倍．
2．聯結PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個三角形．
3．過點向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形．
滿分解答
（1）△AOB繞著原點O逆時針旋轉90°，點A′、B′的坐標分別為(－1, 0) 、(0, 2)．
因為拋物線與x軸交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，設解析式為y＝a(x＋1)(x－2)，
代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．
（2）S△A′B′O＝1．
如果S四邊形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四邊形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．
如圖2，作PD⊥OB，垂足為D．
設點P的坐標為 (x，－x2＋x＋2)．
．
．
所以．
解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以點P的坐標為(1，2)．
圖2 圖3 圖4
（3）如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經過兩底中點的直線．
考點伸展
第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單．
．
．
所以．
甚至我們可以更大膽地根據拋物線的對稱性直接得到點P：
作△A′OB′關于拋物線的對稱軸對稱的△BOE，那么點E的坐標為(1，2)．
而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點E就是要探求的點P．
例 3 2012年河南省中考第23題
如圖1，在平面直角坐標系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9∶10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“12河南23”，拖動點P在直線AB下方的拋物線上運動，可以體驗到，PD隨點P運動的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當C是AB的中點時，PD達到最大值．觀察面積比的度量值，可以體驗到，左右兩個三角形的面積比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路點撥
1．第（1）題由于CP//y軸，把∠ACP轉化為它的同位角．
2．第（2）題中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）題已經做好了鋪墊．
3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．
4．兩個三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．
滿分解答
（1）設直線與y軸交于點E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．
因為PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．
（2）由，，
得．
所以．
所以PD的最大值為．
（3）當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，；
當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．
圖2
考點伸展
第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．
而，
BM＝4－m．
①當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，．解得．
②當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．解得．
例 4 2011年南通市中考第28題
如圖1，直線l經過點A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點B(2，1)．過點(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11南通28”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，當直線MN經過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，MN＝4MP存在兩種情況．
思路點撥
1．第（2）題準確畫圖，點的位置關系盡在圖形中．
2．第（3）題把S△AMN＝4S△AMP轉化為MN＝4MP，按照點M與線段NP的位置關系分兩種情況討論．
滿分解答
（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得 解得 所以直線l的解析式為．
（2）由點(p＞1)的坐標可知，點P在直線上x軸的上方．如圖2，當y＝2時，點P的坐標為(3，2)．此時點M的坐標為(1，2)，點N的坐標為(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關系，可知△PMB為等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點的位

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