資源簡介

4.1指數
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：實數指數冪的運算及其性質.
難點：用有理數指數冪逼近無理數指數冪.
三、教科書編寫意圖及教學建議
指數函數是以指數為自變量的一類函數，其定義域為實數集.為研究指數函數，需要把指數冪運算的范圍進一步推廣.類似于先把整數推廣到有理數，然后把有理數推廣到實數一樣，本節教科書也是將指數冪由整數指數冪推廣到有理數指數冪，然后推廣到實數指數冪，進而為指數函數的學習奠定基礎.
在指數冪運算的推廣過程中，“整數指數冪的運算性質在有理數指數冪、實數指數冪中仍然成立”是核心思想.對此，學生在初中學習整數指數冪時，在由正整數指數冪到負整數指數冪的推廣過程中已經有所體會，本節教學中要讓學生進一步體會.
學習指數冪的運算，必須解決無理數指數冪的問題.與對無理數的理解一樣，對無理數指數冪的理解是本節教學的難點.對此，教科書通過“用有理數指數冪逼近無理數指數冪”的思想引入無理數指數冪.教學中，可以類比初中用有理數逼近無理數的教學，讓學生通過經歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程；然后在數軸上表示這些“過剩近似值”和“不足近似值”的對應點，發現這些點逼近一個確定的點，其對應的數就是這個無理數指數冪.由此讓學生體會其中的極限思想，并從數和形兩個角度認識到是一個確定的實數，進而理解無理數指數冪.
4.1.1n次方根與分數指數冪
學生在初中已經學習過整數指數冪，在冪函數的學習中，接觸過形如的以分數為指數的冪，那么這種以分數為指數的冪的意義是什么？它具有怎樣的運算性質？它和整數指數冪有什么聯系和區別？這些都是自然而然要研究的問題.教科書就是從這樣的問題出發引入本節內容.
平方、開平方以及立方、開立方是學生熟悉的運算，它們兩兩互為逆運算.為了一般化，教科書首先把平方根、立方根的概念推廣到次方根，介紹次方根的性質；然后在此基礎上，建立次方根與分數指數冪的關系，說明分數（有理數）指數冪的意義，并把整數指數冪的運算性質推廣到有理數指數冪的情形.
1.次方根的概念及其性質
初中階段，我們由平方、立方的運算，引入了平方根、立方根.類比平方根、立方根與平方、立方之間的關系，因為，所以把叫做16的4次方根；同樣，由于，所以把2叫做32的5次方根.以此類推，就可以得出次方根的概念.這種推廣以具體的例子為載體，由特殊到一般，由具體到抽象，學生理解起來并不困難，通過次方根的概念，也容易得到其性質，即
（1）當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.這時，的次方根用符號表示.
（2）當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示，正的次方根與負的次方根可以合并寫成.
（3）負數沒有偶次方根.
（4）0的任何次方根都是0，記作.
進一步，根據次方根的意義，可以把實數的次方根推廣到次根式，實現數到式的推廣，而且數的性質可以自然地推廣到式，這就是數式通性在次根式中的表現，由此我們容易得到教科書105頁探究欄目中問題的答案：
當為奇數時，；
當為偶數時，
2.例1的設計及教學
例1的作用是鞏固次方根的概念，以及前面探究得到的關于的性質.前3個小題涉及的都是具體的數，第4小題涉及字母.解決問題時，要特別注意當為偶數時最后結果的準確表示以及化簡.例如對于最后一個小題，由于涉及字母，，其結果要用絕對值的形式表示，所以需要對這兩個字母的大小關系進行分類討論之后再化簡.
3.次方根與分數指數冪的關系
以次方根的概念及其性質為基礎，教科書進一步研究了次方根與分數指數冪的關系.對于根式的被開方數的指數與根指數，存在整除與不能整除兩種情況.教科書首先通過具體的實例說明，當根式的被開方數，如（看成冪的形式）的指數10能被根指數5整除時，根式可以表示為分數指數冪的形式.這樣，就把的5次方根與分數指數冪聯系起來，這種聯系是非常自然的.整除的情況研究清楚了，自然就會提出“當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也可以表示為分數指數冪的形式”的問題.這也就是教科書105頁的“思考”提出的問題，這是一個非常重要的問題，這個問題突破了，分數指數冪的推廣就順理成章了.
教科書仍然是通過具體的實例，說明根據次方根的概念及其性質，當根指數不能整除被開方數的指數時，為了使整數指數幕的運算性質，如仍然成立，根式可以表示為分數指數冪的形式，如
，，.
在將次方根表示為分數指數冪的過程中，核心思想是指數冪的運算性質仍然成立.這種兼容性為運算帶來極大的方便，這同時說明了次方根表示為分數指數冪的合理性.至此，關于正數的正分數指數冪的意義
.
就順理成章了.于是，在條件，，，下，根式都可以寫成分數指數冪的形式，指數由整數推廣到了正分數.
類似正整數指數冪到負整數指數冪的推廣，根據正分數指數冪的意義，可以規定正數的負分數指數冪的意義
.
負分數指數冪的規定，是完全類比負整數指數冪的規定.這種規定是合理的，它保持了正分數指數冪的運算性質.
同樣地，與0的整數指數冪的意義相仿，我們規定：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.
規定了分數指數冪的意義以后，指數冪中指數的取值范圍就從整數拓展到了有理數.
由上可知，教科書通過具體實例的歸納，由具體到抽象，由特殊到一般，建立了分數指數冪與次方根的關系：分數指數冪是次方根的一種表示形式，兩者是統一的.同時這種表示為后面的運算帶來了極大的方便.另外，通過根式與分數指數冪的互化，可以鞏固、加深對于根式和分數指數冪的理解.
4.有理數指數冪的運算性質
對有理數指數冪的運算性質，下面通過次方根與有理數指數冪的關系給出證明.我們以（1）為例.
首先考慮，的情況.
由于，是有理數，所以，，其中，，，都是正整數，且與互質，與互質，所以
.
對于，的情形，可以轉化為正分數指數冪的情形進行證明.
5.例2～例4的設計及說明
例2通過具體的數字運算，鞏固分數指數冪的概念、意義以及分數指數冪中指數的運算性質.
例3通過一般表達式的運算，鞏固分數指數冪和次方根的互相轉化，特別是把次方根轉化為分數指數冪進行運算，把結果表示為分數指數冪的形式.
例4具有一定的綜合性，需要綜合運用次方根、分數指數冪的概念，分數指數冪的運算性質，以及式的加減乘除等進行運算，目的是鞏固有理數指數冪的運算性質.
例3與例4中，為了考慮問題的方便，而且主要是理解有關概念及運算性質，我們假定作為被開方數的字母均為正數.實際上，考慮到后面學習指數函數及對數函數，字母為負數有時沒有意義.
4.1.2無理數指數冪及其運算性質
1.如何理解無理數指數冪
指數冪中的指數由整數推廣到有理數，比較自然，理解起來也不難.但是，指數是無理數時，這個指數冪有沒有意義？如果有意義，其意義是什么？
有理數指數冪的意義比較明顯，它可以看成次方根，但無理數指數冪的意義就沒有那么明顯.在有理數擴充到實數的過程中，無理數的產生既有實際的背景，又有數學背景，如單位正方形對角線的長度.但是冪的指數由有理數推廣到實數，指數變為無理數，很難有實際背景，這完全是數學理性思維的結果.不過這種推廣，從思維的角度看，也是自然的.
在有理數推廣到實數的過程中，我們通過有理數的不足近似值和過剩近似值，運用夾逼方法，認識了無理數，得出它的近似值，并說明它是無限不循環小數，給出是無理數的證明.同樣，對于無理數指數冪，可以運用有理數推廣到無理數的經驗，通過有理數指數冪逐步逼近無理數指數冪的方法，認識無理數指數冪的意義.
對于無理數指數冪的認識，教科書安排了一個探究欄目，從具體的開始.假設有意義，由的不足近似值（有理數）和過剩近似值（有理數），根據有理數指數冪的意義，利用計算工具，計算相應的，的值，并填入表中.可以發現，當的不足近似值和過剩近似值逐漸逼近時，相應的近似值都趨向于同一個數.這時，從差趨向于0，也可以進一步說明，都趨向于同一個數，這個數就是.也就是說，是一串逐漸增大的有理數指數冪
和另一串逐漸減小的有理數指數冪逐步逼近的結果.由于實數與數軸上的點一一對應，這一過程也可以在數軸上標示出來（如教科書圖4.1-1）.逐步逼近后，根據我們的想象和推斷，這個點在數軸上存在，而且是唯一的，它是一個確定的實數，這個數就是.
無論是還是，為了認識這些數的意義，我們在數軸上先選取這個數附近一個小區間內的數，通過不斷縮小區間的長度，讓區間端點的值從區間的左右兩個方向——不斷增大的方向（單調遞增）和不斷減小的方向（單調遞減），逐漸向中間逼近，在“單調有界數列必有極限”的基本事實支持下，判定，不僅在數軸上確實存在，而且是唯一的.這種研究問題的方法是現代數學中常用的方法：選取點所在的一個鄰域，運用無限分割的方法，將點所在區間不斷縮小，得到區間套，然后運用極限，得到研究問題的答案.這種方法在后面學習導數、積分等內容時，學生會感受得更加深刻.
教科書通過“探究”中的表格和圖4.1-1的數軸這兩種方式展示逐步逼近的過程.用表格展示數據，呈現具體的數值，非常醒目；用數軸表示數值，可以從宏觀、整體上把握變化的趨勢，兩者結合，相得益彰.這樣逐漸逼近的過程，比較直觀，學生不難理解.通過逼近，使學生認識任何正數的實數次冪都是確定的實數這樣一個結論.教學時，可以利用計算工具計算，將的不足近似值和過剩近似值逐步精確，從而更好地看到的不足近似值和過剩近似值逼近的過程；也可以利用信息技術作圖，在數軸上將附近逐步放大，直觀展示上述逼近過程，加深學生對于無理數指數冪的理解.
教科書接下來安排了一個思考欄目，讓學生類比的探究過程，探究.也是一個確定的實數，在數軸上有唯一的點與它對應.
在上述研究的基礎上，教科書給出結論：一般地，無理數指數冪
是一個確定的實數.這個結論使得以后能在實數范圍內定義指數函數，在區間內定義對數函數.這樣，我們把指數冪中指數的取值范圍由整數拓展到有理數，并進一步拓展到實數，即任何正數的實數指數冪是一個確定的實數.
應當注意的是，在指數冪中，通常要限定這個條件.這是為了保證后續的指數函數對于任意實數都有意義.因為只有正數的任何實數次冪才都有意義，如果底數是0，那么指數就不能為0或負數，否則就沒有意義；同樣地，如果底數是負數，指數為，仍然沒有意義.因此我們限定這個條件.
本節中，無理數指數冪的理解是教學的一個難點.高中階段只需知道任何正數的實數指數冪都是確定的實數即可，只要求能通過逼近的方法直觀認識它，并不要求嚴格的證明.但是逼近的思想、用有理數近似表示無理數的方法，則需要學生掌握.
2.實數指數冪的運算性質
對實數指數冪的運算性質，我們也可以進行推導，推導的基礎是把任何一個實數表示為有理數序列的極限，通過極限運算和有理數指數冪的運算性質進行證明，這里從略.

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