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《指數》能力探究
概括理解能力、分析計算能力 根式的化簡
1.在進行冪和根式的化簡時,一般是先將根式化成冪的形式,并化小數指數冪為分數指數冪,再利用冪的運算性質進行化簡、求值、計算,以達到化繁為簡的目的.
對于根式的計算結果,并不強求統一的表示形式,一般用分數指數冪的形式來表示.若有特殊要求,則按要求給出結果,但結果中不能同時含有根式和分數指數冪.也不能既有分母又含有負指數冪.
2.根式的化簡思想和注意點
(1)將根式有理化,利用根式的性質和乘法公式(完全平方公式、立方和公式、立方差公式等),將所求代數式恰當地變形,達到化繁為簡的目的.
(2)在根式計算中,含有(為正偶數)的形式要求,而中可以是任何實數.
(3)對于形如的雙重根式,當滿足時,有.
典例1 [數學運算、數學抽象]計算下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
解析:理解根式的意義是化簡各式的關鍵,具體解題過程如下:
(1)原式.
(2)原式.
當時,原式;
當時,原式.
∴原式
(3)原式.
分析計算能力 指數冪的化簡與運算技巧
1.化簡指數冪的幾個常用技巧
(1).
(2)(式子有意義).
(3)1的代換,如0).
2.指數冪運算的常用技巧
(1)有括號先算括號里面的,沒有括號先進行指數運算.
(2)負指數冪化為正指數冪的倒數.
(3)底數是小數,一般要化成分數;底數是帶分數,要先化成假分數,然后要盡可能用冪的形式表示,便于用指數冪的運算性質.
3.常用指數冪的變換技巧
已知冪 目標指數 變換技巧
差: 除:
和: 乘:
倒數: 換元、乘方:令,則
積: 乘方:
典例2 [數學運算]計算下列各式的值.
(1);
(2);
(3);
(4).
解析:本題主要考查根據指數冪的運算性質和運算順序解答問題.具體解題過程如下:
(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
(4)原式.
簡單問題解決能力 解決條件求值問題的方法
1.對于條件求值問題,一般先化簡代數式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值未知或不易求出,這時可將所求代數式恰當地變形,構造出與已知條件相同或相似的結構,從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.
2.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
(7).
(8).
(9).
典例3 [數學運算、邏輯推理](1)(2018湖北荊州二中高一月考)若,且,則的值為多少
(2)若,求的值.
解析:要求代數式的值,先化簡再代入,注意應用公式.
具體解題過程如下:
(1)∵,∴,
∴,由得,
∴.
(2),則.
綜合問題解決能力 解決有關冪的綜合問題的常用方法
解決有關冪的綜合問題時,首先要善于觀察、分析,并對它進行適當地加工、處理、變形,以創造運用公式和冪的有關性質的條件,然后進行化簡、求值即可;其次,要注意方程思想、整體代入思想、化歸與轉化思想、換元思想等數學思想方法的運用.
(1)換元法:運用換元法使公式的使用更清晰,過程更簡潔.所以在解題時先審題,比較各種思路的優劣,然后動手做題,養成良好的思維習慣.
(2)代換法:對于某些實數指數冪的求值問題,不需要將未知數一一求出來(有時也根本求不出來),此時就需要認真分析已知式和所求式的結構特征,通過變形并結合乘法公式把它們聯系起來,然后用“整體代換”或“先求值后代換”的方法求值,常用的變形公式有:,.
(3)對于指數冪等式的證明問題,常常是將指數冪化為同底,利用指數冪相等的規律進行證明.解決此類問題的關鍵是通過指數運算進行等價代換,以及利用參數找到已知與結論的聯系,這樣才能使問題迅速得到解決.
典例4 [邏輯推理、數學運算](2019江西九江調考)設,為不等于1的正數,并且實數滿足關系式.求證:
(1)若,則;
(2)若,則.
解析:本題是指數冪的綜合問題,掌握指數冪的性質并運用是解題的關鍵.具體解題過程如下:
(1)由得將①代入②,得,
.
(2)由,得.
.
由,得,即.兩邊同乘,得.
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