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《指數》知識探究
探究點1 根式
1.根式的概念
(1)在實數范圍內,正數的奇次方根是一個正數;負數的奇次方根是一個負數;零的奇次方根是零.設是大于1的奇數,則的次方根是.
(2)在實數范圍內,正數的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數;零的偶次方根是零;負數的偶次方根沒有意義.設是大于1的偶數,則的次方根是.
2.根式的性質
根據次方根的意義,可以得到:
(1).
(2)
【要點辨析】
1.在次方根的概念中,關鍵是數的次方根滿足,因此求一個數的次方根就是求哪個數的次方等于.
2.求的次方根的運算稱為開方運算,開方運算與乘方運算是互逆運算.
3.與的區別
是實數的次方根,是一個恒有意義的式子,不受的奇偶限制,但這個式子的值受的奇偶限制.算法是對先乘方,再開方(都是次),結果不一定等于,當為奇數時,;當為偶數時,
學科素養:根據根式的概念和性質解決問題,從而培養學生的數學運算核心素養.
典例1-1 [分析計算能力](2018廣西南寧三中高一檢測)求使等式成立的實數的取值范圍.
解析:根據根式的意義和性質進行分析計算,即可解答本題.具體解題過程如下:原式,要使成立,需解得.
典例1-2 [推測解釋能力](1)(2019廣西南寧三中高一檢測)下列說法:①的運算結果是;②16的4次方根是2;③當為大于1的偶數時,只有當時才有意義;④當為大于1的奇數時,對任意有意義.正確的是__________.
(2)(2019山東濰坊一中月考)若,則下列說法中正確的是_______.①當為奇數時,的次方根為;②當為奇數時,的次方根為;③當為偶數時,的次方根為;④當為偶數時,的次方根為.
(3)(2018四川成都七中高一檢測)若.則實數的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
解析:理解根式性質是解決本題的關鍵.具體解題過程如下:(1)因為偶次根式的結果只能是正數,偶次方根的結果有正有負,所以③④正確.
(2)當為奇數時,的次方根只有1個,為;當為偶數時,由于,所以的次方根有2個,為,所以②④是正確的.
(3),所以,解得.
答案:(1)③④ (2)②④ (3)
探究點2 分數指數冪
1.的意義
(1)分數指數冪不可理解為個相乘,它是根式的一種新的寫法,規定..
(2)根式與分數指數冪是表示相同意義的量,只是形式不同而已.同時,指數冪概念實現了由整數向有理數的擴充.
的指數冪
0的正分數指數冪是0,0的負分數指數冪沒有意義.
3.分數指數冪的運算性質在形式上與整數指數冪的運算性質完全一致.
【要點辨析】
1.規定的原因:指數冪的概念擴充到有理數指數冪后,當時,有時有意義,有時無意義.如,但就沒有意義了,為了保證算取任何有理數時,有意義,所以規定.
2.有時必須注意冪指數不能隨意約分,如,而在實數范圍內無意義.
學科素養:利用分數指數冪的性質解決問題,提升數學運算、邏輯推理核心素養.
典例2 ［簡單問題解決能力］(1)(2018湖北武漢三中高一周測的值是( )
A.1
B.
C.
D.
(2)(2018河北承德二中高一周測)把下列根式化成分數指數冪的形式,其中.
①;②;③;④.
解析:根據分數指數冪的性質進行數學運算和推理是解決本題的關鍵.具體解題過程如下:
(1)原式.
答案:(1)D
(2)①;
②;
③;
④.
探究點3 指數冪運算及其性質
1.有理數指數冪
對于任意的有理數,均有下面的運算性質:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
2.無理數指數冪
(1)由于無理數是無限不循環小數,因此可以取無理數的近似值來逐步逼近它,即從不足近似值和過剩近似值來逐步逼近,那么無理數指數冪便可從有理數指數冪加以逼近,所以,有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪.
(2)對于任意實數,都有的無理數指數冪是0,0的負無理數指數冪沒有意義.
【要點辨析】
1.實數指數冪的運算性質
整數指數冪 運算性質 底數、指數 取值范圍 實數指數冪 運算性質 底數、指數 取值范圍
,且
,且
, ,且
2.冪指數
冪指數 定義 底數的取值范圍
整數指數 正整數 指數
零指數 且
負整數 指數 且
分數指 數 正分數 指數 ,且互質) 為奇數
為偶數
負分數 指數 1,且互質) 為奇數 且
為偶數
無理數 指數 當且是無理數時,也是一個確定的實數 一般規定
學科素養:利用指數冪的運算性質解決化簡求值問題,提升數學運算、數學抽象核心素養.
典例3 [分析計算能力]化簡求值:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
思路:本題主要考查學生的分析計算能力.進行指數冪運算時,根據式子的結構特點,靈活運用計算法則.通常,化負指數為正指數,化根式為分數指數冪,化小數為分數,便于進行乘除、乘方、開方運算.化簡的結果形式上要統一,不能既含根號,又含分數指數冪;也不能既有分母,又有負整數冪.具體解題過程如下:
解析:(1)原式
.
(2)原式.
(3)原式.
(4)原式.
(5)原式.
(6)原式.
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