資源簡介

7.3 萬有引力理論的成就
學習目標
1、了解萬有引力定律在天文學上的重要應用。
2、會用萬有引力定律計算天體質量，了解“稱量地球質量”“計算太陽質量”的基本思路。
3、認識萬有引力定律的科學成就，體會科學思想方法。
重點難點
1、學會計算天體的質量（重點）
2、天體密度的計算（重點）
3、衛星的運行以及解決天體運動的基本方法（難點）
自主探究
1、“稱量” 地球的質量
行星繞太陽的運動可以看作______________。行星做勻速圓周運動時，受到一個指向圓心(太陽)的引力，正是這個引力提供了__________，由此可推知太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線。
大?。? 式中的G與太陽、行星都沒有關系。
2、計算天體的質量
行星繞太陽做勻速圓周運動，向心力是由它們之間的引力提供的，由此可以依據萬有引力定律和牛頓第二定律列出方程，從中解出太陽的質量。
測出行星的公轉周期T和它與太陽的距離r，就可以算出太陽的質量。
如果已知衛星繞行星運動的周期和衛星與行星之間的距離，也可以算出行星的質量。目前，觀測人造地球衛星的運動，是測量地球質量的重要方法之一。
月球雖然沒有天然的衛星，但人類發射的航天器會環繞月球運行，只要測得航天器繞月運行的軌道半徑和周期，就可計算月球的質量。
3、發現未知天體
英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發現的行星”。后來，這顆行星被命名為海王星(如圖)。海王星的發現過程充分顯示了理論對于實踐的巨大指導作用，所用的“計算、預測和觀察”的方法指導人們尋找新的天體。
4、預言哈雷彗星回歸
海王星的發現和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位，也成為科學上的美談。
牛頓還用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現象，用萬有引力定律和其他力學定律，推測地球呈赤道處略為隆起的扁平形狀。萬有引力定律可以用于分析地球表面重力加速度微小差異的原因，以及指導重力探礦。
探究思考
1、天體質量的計算
(1) 根據萬有引力等于重力(測法)
已知所求天休的半徑及其表面的重力加速度,忽略天體自轉的影響，則物體的重力等于天體對物體的萬有引力，即，解得天體質量為
(2) 根據萬有引力提供向心力(環繞法)
質量為的行星或衛星繞所求天體做勻速圓周運動，萬有引力提供行星或衛星所需的向心力，即，解得天體質量為①，②，③
【典例一】1、土星最大的衛星叫“泰坦”(如圖),每16天繞土星一周,其公轉軌道半徑約為,已知引力常量,則土星的質量約為( )
A.
B.
C.
D.
解題思路：衛星繞土星運動,土星的引力提供衛星做圓周運動的向心力設土星質量為M: ,解得帶入計算可得: ,故B正確,A、C、D錯誤;故選B。
答案：B
2、天體密度的計算（平均密度）
質量為的天體繞質量為的中心天體做勻速圓周運動，軌道半徑為r，周期為T，中心天體的半徑為，由知
(中心天體的平均密度)
當行星或衛星繞中心天體表面運行時，，則
【典例二】2、“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導星.若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期T,已知引力常數G,半徑為R的球體體積公式,則可估算月球的( )
A.密度 B.質量 C.半徑 D.自轉周期
解題思路：研究“嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動,根據萬有引力提供向心力,列出等式,由于嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行,所以R可以認為是月球半徑;根據密度公式:,故A正確。
答案：A
3、天體運動的分析與計算
兩條基本思路：
1、萬有引力提供天體運動的向心力
質量為m的行星或衛星繞質量為M的星體在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動時，由牛頓第二定律及圓周運動知識得
2、黃金代換
在不考慮地球自轉(忽略)的影響時，在地球表面附近有，化簡得。
通常叫作黃金代換式，適用于任何天體，主要用于某星體的質量M未知的情況下，用該星體的半徑R和表面的“重力加速度”g代換GM。
【典例三】3、2019年1月3日，嫦娥四號成為了全人類第一個在月球背面成功實施軟著陸的探測器。為了減小凹凸不平的月面可能造成的不利影響，嫦娥四號釆取了近乎垂直的著陸方式。已知：月球半徑為R，表面重力加速度大小為g，引力常量為G，下列說法正確的是（ ）
A.為了減小與地面的撞擊力，嫦娥四號著陸前的一小段時間內處于失重狀態
B.嫦娥四號著陸前近月環繞月球做圓周運動的過程中處于超重狀態
C.月球的密度為
D.嫦娥四號著陸前近月環繞月球做圓周運動的周期約為
解題思路：A項：為了減小與地面的撞擊力,“嫦娥四號”著陸前的一小段時間內應向下減速，加速度方向向上，處于超重狀態，故A錯誤；
B項：“嫦娥四號”著陸前近月環繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，所以“嫦娥四號”處于失重狀態，故B錯誤；
D項：“嫦娥四號”著陸前近月環繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力有：，，解得：，故D錯誤；
C項：由萬有引力提供向心力有：，解得：，地球的體積為：，地球的密度為：，故C正確。
答案：C
隨堂訓練
1、在地球表面用彈簧秤懸掛一個小球處于靜止時,示數為F,假如宇航員登上某個半徑為地球2倍的行星表面,仍用彈簧秤懸掛這個小球處于靜止,彈簧秤示數為,則下列說法正確的是( )
A.這個行星的質量與地球質量之比為1:1
B.這個行星的自轉周期與地球的自轉周期之比為
C.這個行星的重力加速度與地球的重力加速度之比為1:4
D.這個行星的平均密度與地球的平均密度之比為1:4
答案：AC
2、“嫦娥三號”探月衛星計劃于2013年下半年在西昌衛星發射中心發射，將實現“落月”的新階段．“嫦娥三號”探月衛星到了月球附近，以速度v接近月球表面勻速飛行，測出它的運行周期為T，已知引力常量為G，不計周圍其他天體的影響，則下列說法正確的是( )
A. “嫦娥三號”探月衛星的半徑約為
B. 月球的平均密度約為
C. “嫦娥三號”探月衛星的質量約為
D. 月球表面的重力加速度約為
答案：BD
3、通過觀察冥王星的衛星,可以推算出冥王星的質量。假設衛星繞冥王星做勻速圓周運動,除了引力常量外,至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質量。這兩個物理量可以是( )
A.衛星的速度和角速度 B.衛星的質量和軌道半徑
C.衛星的質量和角速度 D.衛星的運行周期和軌道半徑
答案：AD
4、2019年1月3日,“嫦娥四號”成為了全人類第一個在月球背面成功實施軟著陸的探測器。為了減小凹凸不平的月面可能造成的不利影響,“嫦娥四號”采取了近乎垂直的著陸方式。已知：月球半徑為R,表面重力加速度大小為g,引力常量為G,下列說法正確的是( )
A. 為了減小與地面的撞擊力，“嫦娥四號”著陸前的一小段時間內處于失重狀態
B. “嫦娥四號”著陸前近月環繞月球做圓周運動的過程中處于超重狀態
C. “嫦娥四號”著陸前近月環繞月球做圓周運動的周期約為
D. 月球的密度為
答案：CD
5、一衛星在某一行星表面附近繞其做勻速圓周運動,其衛星的線速度大小為v,假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質量為m的物體重力,物體靜止時,彈簧測力計的示數為N.已知引力常量為G,則這顆行星的質量為( )
A. B. C. D.
答案：B
6、如圖所示，宇航員在某質量分布均勻的星球表面，從一斜坡上的P點沿水平方向以初速度拋出一小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度大??；
（2）該星球的密度；
答案：（1）設該星球表現的重力加速度為g，根據平拋運動規律：
水平方向，.
豎直方向；.
平拋位移與水平方向的夾角的正切值.
聯立解得；.
（2）在星球表面有，解得，.
結合密度公式，解得該星球的密度。
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