資源簡介

專題五 數(shù)列
考向(一) 數(shù)列的概念及簡單表示法
1.(2020全國Ⅱ，理12)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列。 滿足 且存在正整數(shù)m，使得 成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足 的最小正整數(shù)m為這個序列的周期.對于周期為m 的0-1序列 是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo).下列周期為5的0-1序列中，滿足 的序列是( )
A.11010… B.11011…
C.10001... D.11001..
A.5 B.8 C.10 D.15
(2021新高考全國Ⅰ，16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12 dm,20dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和 S =240dm , 對折2次共可以得到5dm×12 dm,10dm×6 dm,20dm×3 dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和 S =180dm ,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折n次，那么
(2020全國Ⅰ,文16)數(shù)列{aN}滿 前16項和為540,a = .
5.(2021全國甲,理18)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記SN為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列·是等差數(shù)列； ③a =3a
6.(2021全國乙,理19)記Sn為數(shù)列an的前n項和，b，為數(shù)列{sn}的前n項積.已知
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式.
8.(2020全國Ⅲ,理17)設(shè)數(shù)列 n滿足
(1)計算a ,a ,猜想{an}的通項公式并加以證明;
(2)求數(shù)列 n的前n項和Sn.
9.(2019全國Ⅱ,理19)已知數(shù)列 an 和 bn 滿足 a
(1)證明: 是等比數(shù)列， 是等差數(shù)列；
(2)求an和 bn的通項公式
考向(二) 等差數(shù)列、等比數(shù)列及其求和
1.(2021全國甲,文9)記 Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若 S =4,S =6,則S6=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.(2020全國Ⅰ,文10)設(shè)an是等比數(shù)列且 a +a +a =1,a +a +a =2, 則a +a +a =( )
A.12 B.24 C.30 D.32
A.3699 B.3474 C.3402. D.3339
.
(2020全國Ⅱ,理6)數(shù)列an中, aman,,若-25,則k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2019全國Ⅰ,理9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知 S =0,a =5,則( )
7.(2019全國Ⅲ，理5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 的前4項和為15，且 a =3a +4a , 則 a =( )
A.16 B.8 C.4 D.2
(2020全國Ⅱ,文14)記Sn為等差數(shù)列 的前n項和.若 a =-2,a +a =2, 則
9.(2020新高考全國Ⅰ,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列 則 的前n項和為 .
10.(2019全國Ⅰ,理14)記為等比數(shù)列 的前n項和.若則S5= .
11.(2019全國Ⅰ,文14)記,為等比數(shù)列的前n項和.若則S4= .
12.(2019全國Ⅲ,理14)記Sn為等差數(shù)列 的前n項和.若a ≠0,a =3a , 則 .
13.(2019全國Ⅲ,文14)記為等差數(shù)列 的前n項和.若a =5,a =13, 則
14.(2021全國甲,文18)記為數(shù)列的前n項和，已知 且數(shù)列 }是等差數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.
15.(2021全國乙,文19)設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{ }滿足 已知a ,3a ,9a 成等差數(shù)列.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:
16.(2021新高考全國Ⅱ，17)記為公差不為零的等差數(shù)列 的前n項和，若 a =5,a ·a =S ·
(1)求的通項公式；
(2)求使得 成立的n的最小值.
17.(2020全國Ⅰ,理17)設(shè) {}是公比不為1的等比數(shù)列，a 為a ，a 的等差中項.
(1)求 的公比；
(2)若 a =1, 求數(shù)列. 的前n項和.
18.(2020全國Ⅲ,文17)設(shè)等比數(shù)列. 滿足 a +a =4,a -a =8.
(1)求 的通項公式；
(2)記為數(shù)列 的前n項和.若 求m.
19.(2020新高考全國Ⅰ，18)已知公比大于1的等比數(shù)列 滿足 a +a =20,a =8.
(1)求的通項公式；
(2)記bm為{ }在區(qū)間(0,m](m∈N") 中的項的個數(shù)，求數(shù)列 bm的前100項和
20.(2019全國Ⅰ,文18)記 為等差數(shù)列 } 的前n項和.已知 S9=-a .
(1)若 a =4, 求 的通項公式；
(2)若 a >0, 求使得 的n的取值范圍.
21.(2019全國Ⅱ,文18)已知.是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， a =2,a =2a +16.
(1)求{}的通項公式;
(2)設(shè) bn 求數(shù)列{bn}的前n項和.專題五 數(shù)列
數(shù)列部分高考題一般以中等難度試題為主，占高考試卷的分?jǐn)?shù)一般在10~17分，一般以等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)或以通項公式、前n項和公式為基礎(chǔ)考點，常結(jié)合數(shù)列的遞推公式進(jìn)行命題，側(cè)重于數(shù)列的基本量運算、數(shù)列的概念及表示法的理解，主要考查考生對基本方法與基本技能的掌握；由于數(shù)列是一類特殊函數(shù)，所以在對知識的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性的考查上，常會與函數(shù)、不等式等知識交匯，綜合考查函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想；通過數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用以及與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的問題考查考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)探究以及數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).
考點頻度
高頻考點：
(1)數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考查
如數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前n項和公式、數(shù)列求和；
(2)構(gòu)造新數(shù)列求通項、求和
如“歸納、累加、累乘，分組、錯位相減、倒序相加、裂項、并項求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新；
(3)綜合性問題
如與不等式、函數(shù)等其他知識的交匯問題，與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題及與實際生活不關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)不良問題.
4.備考策略
數(shù)列問題特別突出對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，所以問題的設(shè)計要始終貫穿觀察、分析歸納、類比、遞推、運算、概括、猜想、證明、應(yīng)用等能力的培養(yǎng).既通過歸納、類比、遞推等方的應(yīng)用突出對考生數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng)，又通過通項公式、遞推公式、前n項和公式內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練，培養(yǎng)考生邏輯思維、運算求解能力.從近幾年的高考題可以看出，列部分主要以考查基礎(chǔ)知識為主，同時鍛煉考生的運算求解能力、邏輯思維能力等.重點考考生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握程度及靈活應(yīng)用，同時也要重視對通性通法的培養(yǎng)，所以在備中應(yīng)把重點放在以下幾個方面.
(1)對數(shù)列的概念及表示法的理解和應(yīng)用；
(2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、遞推公式、前n項和公式中基本量的運算或者利它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，利用其規(guī)律進(jìn)行恰變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題；
(3)會利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題；
(4)通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯位相減、裂項相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項
(5)數(shù)列與不等式、函數(shù)等的交匯問題；
(6)關(guān)注數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，有意識地培養(yǎng)閱讀能力和符號使用能力，也包括網(wǎng)絡(luò)資料中與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題，與實際生的數(shù)列的應(yīng)用問題；
(7)結(jié)構(gòu)不良試題、舉例問題等創(chuàng)新題型.
考向(一) 數(shù)列的概念及簡單表示法
1.(2020全國Ⅱ，理12)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列。 滿足 且存在正整數(shù)m，使得 成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足 的最小正整數(shù)m為這個序列的周期.對于周期為m 的0-1序列 是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo).下列周期為5的0-1序列中，滿足 的序列是( )
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以數(shù)列在通信技術(shù)中的應(yīng)用為載體，考查考生對新定義問題的理解、綜合知識的運用和探究能力，體現(xiàn)了新課程改革的理念.
[必備知識]本題考查的知識是對新定義中 含義的理解.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題是數(shù)列在通信技術(shù)方面的應(yīng)用，讀題時要明確研究對象C(k)= 利用0-1周期序列滿足的周期是5即m=5代入求解.結(jié)合選項代入檢驗巧妙解決問題.
[解題思路]∵周期為5，
將選項依次代入驗證可知，只有選項C符合題意.故選C.
[答案]C
[失分剖析]本題綜合性較強(qiáng)，試題難度較大，需要考生具極強(qiáng)的信息收集與理解能力.
A.5 B.8 C.10 D.15
[試題情境]本題是創(chuàng)新性題目，屬于探索創(chuàng)新情境.本題以鋼琴上的12個鍵構(gòu)成原位大三和弦和原位小三和弦為載體，考查數(shù)列的應(yīng)用.
[必備知識]本題考查的知識是數(shù)列的應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用.考生需根據(jù)條件k-j=3且j-i=4的數(shù)量關(guān)系i依次取合題意的1，2，3，4，5列舉出5個原位大三和弦，再根據(jù)條件k-j=4且j-i=3的數(shù)量關(guān)系i依次取合題意的1，2，3，4，5列舉出5個原位小三和弦，從而解決本題.本題將數(shù)列知識巧妙融合到鋼琴上的12個鍵，題型新穎、設(shè)計巧妙.解題時要注意，討論時按照一定順序避免重復(fù)或者遺漏.
[解題思路]結(jié)合題意，原位大三和弦有 ，共5個，原位小三和弦有 ，共5個，故原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為5+5=10.故選C.
[答案]C
3.(2021新高考全國Ⅰ，16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12 dm,20dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和 S =240dm , 對折2次共可以得到5dm×12 dm,10dm×6 dm,20dm×3 dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和 S =180dm ,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折n次，那么
[試題情境]本題是應(yīng)用性、創(chuàng)新性題目，屬于生活實踐情境.本題以民間剪紙時不同折疊次數(shù)而得到不同規(guī)格的圖形為背景，考查數(shù)列的通項及求和問題.體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
[必備知識]本題考查的知識是列舉歸納數(shù)列的通項公式，錯位相減求和.
[能力素養(yǎng)]本題考查創(chuàng)新能力和運算求解能力.本題考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題將實際生活中的典型事物與數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題巧妙地聯(lián)系在一起，考查了考生閱讀分析材料，獲取信息的能力.第一個空可以通過題目中所給的兩個示例，類比推理得到對折4次后可以得到5種不同規(guī)格的圖形.第二個空則需要考生先歸納出對折n次所得到的n+1種規(guī)格的圖形的面積之和公式，通過觀察可以看出這個公式是一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列，滿足用錯位相減法的條件，進(jìn)而列式推導(dǎo)得到結(jié)果.
[解題思路]對折3次共可以得到 四種規(guī)格的圖形，面積之和 S =4×30=120dm ;
對折4次共可以得到 五種規(guī)格的圖形，S =5×15=75dm .
可以歸納對折n次可得n+1種規(guī)格的圖形
則
①
②
①與②式相減，得
故
故
[答案]5
4.(2020全國Ⅰ,文16)數(shù)列{aN}滿 前16項和為540,a = .
[必備知識]本題考查的知識是由數(shù)列的遞推公式得通項公式，并項求和，累加求和.
[解題思路]思路1.當(dāng)n為偶數(shù)時，有
則 2,
因為前16項和為540，所以
當(dāng)n為奇數(shù)時， 由累加法得 所以 所以 解得 a =7.
思路2.由遞推關(guān)系可得當(dāng)n為奇數(shù)時， 所以有 a =a +2,a =a +8=a + 140;當(dāng)n為偶數(shù)時所以8a +392+92=540, 解得 a =7.
[答案]7
[失分剖析]本題綜合性較強(qiáng)，試題難度難，考生缺乏對n進(jìn)行分類討論的意識.
5.(2021全國甲,理18)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記SN為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列·是等差數(shù)列； ③a =3a ·
[解題思路]解若選①② ③
設(shè)數(shù)列 n的公差為d ，數(shù)列. 的公差為d .
∵當(dāng)n∈N*時,
又
即 d =2a ,
∴a =a +d =3a .
若選①③ ②
設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d.
∵a =3a ,∴a +d=3a , 則d=2a ,
是首項為 公差為 的等差數(shù)列.
若選②③ ①
設(shè)數(shù)列 的公差為d，則 即
即
即
當(dāng)n≥2時, ,
當(dāng)n=1時,a =S =a , 符合式
即數(shù)列{}是等差數(shù)列.
6.(2021全國乙,理19)記Sn為數(shù)列an的前n項和，b，為數(shù)列{sn}的前n項積.已知
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以一個數(shù)列的和與另一個數(shù)列的積之間的關(guān)系為載體，考查等差數(shù)列的判定及通項公式.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的證明 數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系 數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系以及消和(積)得到項(或項的遞推關(guān)系)或者消項得到和(積)的遞推關(guān)系.
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.
[解題思路](1)證明當(dāng)n=1時, b =S , 易
當(dāng)n≥2時, 代入 消去Sn,得 化簡得
故{bn}是以 為首項，為公差的等差數(shù)列.
由(1)可得 由 可得
當(dāng)n≥2時 顯然a 不滿足該式.
故
(2)求 {an}的前20項和.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以數(shù)列遞推公式為載體，考查數(shù)列通項公式與數(shù)列求和.
(2)思路1.由(1)知，數(shù)列{an}的奇數(shù)列與偶數(shù)列都是以3為公差的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則 所以{an}的前20項和為300.
思路2.數(shù)列 n的前20項中偶數(shù)項的和為 又由題中條件有 , 故可得.an的前20項的和 0.
8.(2020全國Ⅲ,理17)設(shè)數(shù)列 n滿足
(1)計算a ,a ,猜想{an}的通項公式并加以證明;
(2)求數(shù)列 n的前n項和Sn.
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以數(shù)列中遞推公式 n+1與an 的關(guān)系為載體，考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列求和.
[必備知識]本題考查的知識是通過數(shù)列的遞推公式探索通項公式，并通過構(gòu)造新數(shù)列加以證明，再利用錯位相減法求和.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.第(1)問考生利用遞推關(guān)系式，由 a =3, 推出 a =5,a =7, 進(jìn)而歸納猜想出數(shù)列的通項公式并作差.將 代入，通過迭代得到 a -5=3(a 一.3), 而 a =3 從而得到證明；第(2)問利用錯位相減法求前n項和.
[解題思路]解 (1)a =5,a =7.
猜想
由已知可得
……
a -5=3(a -3).
因為 a =3,.所以
(2)由(1)得
所以 ①
①—②得
所以
[失分剖析]考生不能歸納猜想得到通項公式，錯位相減后利用等比數(shù)列求和公式時項數(shù)出錯.
9.(2019全國Ⅱ,理19)已知數(shù)列 an 和 bn 滿足 a
(1)證明: 是等比數(shù)列， 是等差數(shù)列；
(2)求an和 bn的通項公式.
[解題思路](1)證明由題設(shè)得即
又因為a +b =1,
由題設(shè)得 即
又因為 a -b =1,
所以 是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.
(2)解由(1)知
所以
[失分剖析]考生不能構(gòu)造出數(shù)列的通項公式.
考向(二) 等差數(shù)列、等比數(shù)列及其求和
1.(2021全國甲,文9)記 Sn為等比數(shù)列 an的前n項和.若 S =4,S =6,則S6=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的前n項和.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),sn,,s2n-sn,,s3n-s2n成等比數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)應(yīng)用.通過給出的條件利用等比數(shù)列的性質(zhì)得 S ,S -S ,S -S 成等比數(shù)列，從而得到關(guān)于S 的方程，再求出S ；也可以利用前n項和公式(注意公比是否為1的討論)列出關(guān)于首項和公比的二元一次方程組，通過解方程組求得基本量首項和公比，代入前n項和公式求解S .
[解題思路]設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知q≠1.
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知， S ,S -S ,S -S 成等比數(shù)列，即 (S -S ) =S (S -S ),∵S =4,S =6,∴(6-4) =4(S -6),
解得 S =7. 故選A.
[答案]A
2.(2020全國Ⅰ,文10)設(shè)an是等比數(shù)列且 a +a +a =1,a +a +a =2, 則a +a +a =( )
A.12 B.24 C.30 D.32
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列基本量的運算.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的基本量運算 及簡單應(yīng)用
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.通過給出的條件利用 a +a +a =q(a +a +a )求出公比，再把所求結(jié)果 a +a +a 轉(zhuǎn)化為已知條件 a +a +a 與公比q的關(guān)系.
[解題思路]設(shè)等比數(shù)列. 的公比為q，因為 a +a +a =1,a +a +a =2,
所以 q(a +a +a )=2, 解得q=2.所以 a +a +a =q (a +a +a )=2 =32.[答案]D
A.3699 B.3474 C.3402. D.3339
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以北京天壇的圜丘壇的上、中、下三層的扇面形石板數(shù)為背景，考查等差數(shù)列的定義及前n項和的性質(zhì).
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、運算求解能力和創(chuàng)新能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化.本題以天壇的扇面形石板數(shù)為背景，將實際問題抽象出從上到下，從內(nèi)到外，每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，借助等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解決問題.
[解題思路]構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)作答.
故選C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能把問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列進(jìn)行解決.
(2020全國Ⅱ,理6)數(shù)列an中, aman,,若-25,則k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列求和.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的定義 及前n項和公式 的應(yīng)用.
解得k=4.
[答案]C
[失分剖析]運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意項數(shù).
5(2022年全國2，6),Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a5-a3=12,a6-a4=24,則Sn/an=( )
A.2"-1 B.2-2 C.2-2 D.2 -1
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列基本量的運算.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式或變形式 n,項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.根據(jù)已知條件分析項與公比q的關(guān)系 直接求出公比q，然后再利用通項公式計算出首項，從而利用前n 項和的公式 進(jìn)行計算得出結(jié)果.
[解題思路]設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q.
又 a -a =a q -a q =12a =12,∴a =1.
故選B.
[答案]B
6.(2019全國Ⅰ,理9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知 S =0,a =5,則( )
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列基本量的計算.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.思路1.根據(jù)等差數(shù)列通項公式 和前n項和公式 將 S =0 與a =5轉(zhuǎn)化為以首項與公差為基本元素的二元一次方程組進(jìn)行基本量的計算得出結(jié)果；思路2.利用排除法解題.
[解題思路]思路1.由題意可 解得 故 故選A.
思路2.根據(jù) a =5 排除，因為S =0,a =5, 所以 S =5,C,D不符合;若B項成立,因為 a =-7,a =-4,a =-1,a =2, 則a +a +a +a =-10, 與題S =0不符合，故選A.
[答案]A
7.(2019全國Ⅲ，理5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 的前4項和為15，且 a =3a +4a , 則 a =( )
A.16 B.8 C.4 D.2
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列基本量的運算.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 或變形式 前n 項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.從題干中獲取到數(shù)列的前4項和為15以及關(guān)系式 a =3a +4a , 可以將問題轉(zhuǎn)化為以首項與公比為基本元素的二元一次方程組進(jìn)行基本量的計算得出結(jié)果；或者根據(jù)已知條件分析項與公比q的關(guān)系，直接求出公比q，然后再利用公式進(jìn)行計算得出結(jié)果.
[解題思路]思路1.設(shè)等比數(shù)列{ }的公比為q(q>0),
貝 解得 所以 a =a q =1×2 =4. 故選C.
思路2.設(shè)公比為q，由于 從而由 a =3a +4a 得 q -3q -4=0, 所以q=±2,
又q>0,即q=2,由{an}的前4項和為15得 所以 a =1, 故 a =4, 故選C.
[答案]C
8.(2020全國Ⅱ,文14)記Sn為等差數(shù)列 的前n項和.若 a =-2,a +a =2, 則
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列基本量的計算.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.根據(jù)等差數(shù)列通項公式 求出公差d，然后再利用等差數(shù)列前n項和公式 得出結(jié)果.
[解題思路]設(shè)等差數(shù)列 的公差為d.
∵a =-2,∴a +a =a +d+a +5d=2a +6d=-4+6d=2, 解得d=1.
[答案]25
9.(2020新高考全國Ⅰ,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列 則 的前n項和為 .
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的基本概念.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和公式
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生根據(jù)已知條件得到新的等差數(shù)列，然后再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算.
[解題思路]數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù)，數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù)，所有偶數(shù)項均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項，這些項從小到大排列得到的新數(shù)列為以1為首項，6為公差的等差數(shù)列.所以. 的前n項和
[答案] ]3n -2n
[失分剖析]考生不能由給出的數(shù)列抽象得出新的數(shù)列.
10.(2019全國Ⅰ,理14)記為等比數(shù)列 的前n項和.若則S5= .
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以簡單的等比數(shù)列為載體，考查考生分析問題、歸納問題以及遞推運算等基本能力.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 與前n項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.題中給出數(shù)列的首項以及第4項和第6項之間的關(guān)系式，考生通過等比數(shù)列通項公式 求出公比q，再利用前n項和公式 確定數(shù)列的前5項和.全面考查考生對數(shù)列知識的掌握和應(yīng)用.試題的設(shè)計有效控制了運算量，有利于考生正常發(fā)揮，實現(xiàn)對考生靈活應(yīng)用所學(xué)數(shù)列知識及其能力的考查.
[解題思路]思路1.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則
思路2.利用等比中項的性質(zhì).對等比數(shù)列 有 故 a a =a ,得 a =1,∴等比數(shù)列 的公比為 從而有 因此 S =a +
[答案]
11.(2019全國Ⅰ,文14)記,為等比數(shù)列的前n項和.若則S = .
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以簡單的等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的前n項和.088
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 與前n項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.考生根據(jù)等比數(shù)列通項公式 及 S =a +a +a 正確運算，求出公比，再利用等比數(shù)列的前n項和公式 進(jìn)行運算.
[解題思路]設(shè)等比數(shù)列 的公比為q.
即 解得
[答案]
12.(2019全國Ⅲ,理14)記Sn為等差數(shù)列 的前n項和.若a ≠0,a =3a , 則 .
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的基本公式與運算.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.將等差數(shù)列的通項公式 代入條件 a =3a ,解出首項和公差的關(guān)系為 d=2a ,再將前n項和的公式化簡整理用一個量a 表示即可.本題解題的關(guān)鍵是搭建數(shù)列通項公式與前n項和間的橋梁，以首項和公差為紐帶，合理選擇方法(方程思想)，解決問題.
[解題思路]設(shè)等差數(shù)列 的公差為d.∵a ≠0,a =3a ,∴a +d=3a ,即d=2a1.
[答案]4
13.(2019全國Ⅲ,文14)記為等差數(shù)列 的前n項和.若a =5,a =13, 則 .
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列基本量的計算.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和的公式
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.利用等差數(shù)列的通項公式將問題轉(zhuǎn)化為以首項a 與公差d為基本元素的二元一次方程組進(jìn)行基本量的計算得出
a 和d，再利用前n項和公式 求解
[解題思路]設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，則 解得
故
[答案]100
14.(2021全國甲,文18)記為數(shù)列的前n項和，已知 且數(shù)列 }是等差數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的判定.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的判定與證明，等差數(shù)列的通項公式 (n-1)d的應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.通過給出的條件可得 得到數(shù)列 的公差，進(jìn)而得到， 的表達(dá)式，即 的表達(dá)式，要注意n=1的驗證，再由an與的關(guān)系求得an的表達(dá)式，最后利用等差數(shù)列定義驗證結(jié)論.
[解題思路]證明. 是等差數(shù)列，
即數(shù)列 的公差為
即 當(dāng)n≥2時, 1) a ,則
當(dāng)n=1時,由 得 a =(2×1-1)a =a ,
}是等差數(shù)列.
15.(2021全國乙,文19)設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{ }滿足 已知a ,3a ,9a 成等差數(shù)列.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以一個等比數(shù)列的通項與另一個數(shù)列通項間的關(guān)系為載體，考查數(shù)列的通項及前n項和.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和以及比較大小的方法——作差法.
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.(1)利用等比數(shù)列中3a ，9a 及a 成等差數(shù)列得到 9q -6q+1=0, 解方程即可；(2)利用公式法、錯位相減法分別求出Sn， Tn，再作差比較即可.
[解題思路](1)解設(shè){an}的公比為q(q≠0),則an
因為a ,3a ,9a 成等差數(shù)列,所以1+9q =2×3q,解得 故
由 得
①
兩邊同乘得
②
①-②,得
整理得
則
故
16.(2021新高考全國Ⅱ，17)記為公差不為零的等差數(shù)列 的前n項和，若 a =5,a ·a =S ·
(1)求的通項公式；
(2)求使得 成立的n的最小值.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的前n項和及兩者構(gòu)成的一元二次不等式.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列通項公式 前n項和公式 以及一元二次不等式的解法.
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.根據(jù)等差列通項公式和前n項和的公式列出關(guān)于首項和公差的二元一次方程組，求出公差和首項，得通項公式；第二問根據(jù)前n項和的公式正確運算求解一元二次不等式，得到n的取值范本題的解題關(guān)鍵是針對等差數(shù)列通項公式及求和問題，合理選擇運算公式，通過解不等解決問題.
[解題思路]解(1)設(shè)的公差為d，根據(jù)題意可列方程
由①得 a +2d=0 a =-2d, 代入②得(-d)·d=-8d+6d d -2d=0.
∵d≠0,∴d=2,∴a =-4,
由
∴n -7n+6>0,(n-1)(n-6)>0.
解得n<1或n>6,又 故n的最小值為7.
17.(2020全國Ⅰ,理17)設(shè) {}是公比不為1的等比數(shù)列，a 為a ，a 的等差中項.
(1)求 的公比；
(2)若 a =1, 求數(shù)列. 的前n項和.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列基本量運算與數(shù)列求和.
[必備知識]本題考查的知識是等差中項的定義、等比數(shù)列的通項公式 及利用錯位相減法求和.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.通過等差中項列出 2a =a +a , 轉(zhuǎn)化為以首項a 與公比q為基本元素的等式，通過消a 得到關(guān)于q的一元二次方程求得公比q，最后對數(shù)列 利用錯位相減法求數(shù)列的前n 項和.本題的解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析已知條件，轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識，利用方程思想解決問題.
[解題思路]解(1)設(shè)的公比為q，由題設(shè)得 2a =a +a , 即 2a =a q+a q .
所以 q +q-2=0, 解得q=1(舍去),( q=-2. 故的公比為-2.
(2)記Sn為{nan}的前n項和.
由(1)及題設(shè)可得，
所以
-2、5
所以
[失分剖析]利用錯位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，注意求和時等比數(shù)列的項數(shù).
18.(2020全國Ⅲ,文17)設(shè)等比數(shù)列. 滿足 a +a =4,a -a =8.
(1)求 的通項公式；
(2)記為數(shù)列 的前n項和.若 求m.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列通項公式與數(shù)列求和.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列前n項和
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.根據(jù)已知條件列出首項與公比的二元一次方程組，利用方程思想求出首項與公比，得到等比數(shù)列的通項公式，再利用對數(shù)運算得到新的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的前n項和 解方程得到m.本題的解題關(guān)鍵是熟練掌握并能直接列出首項與公比的方程組進(jìn)行基本量的運算.若一個等比數(shù)列，各項都是正數(shù)，則對其取對數(shù)得到新的數(shù)列一定是等差數(shù)列.
[解題思路]解(1)設(shè). 的公比為q，則
由已知得 解得 a =1,q=3.
所以的通項公式為
(2)由(1)知 故 由 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2), 即 m -5m-6=0, 解得m=-1(舍去),m=6.
[失分剖析]考生想不到正項等比數(shù)列取對數(shù)變?yōu)榈炔顢?shù)列.
19.(2020新高考全國Ⅰ，18)已知公比大于1的等比數(shù)列 滿足 a +a =20,a =8.
(1)求的通項公式；
(2)記bm為{ }在區(qū)間(0,m](m∈N") 中的項的個數(shù)，求數(shù)列 bm的前100項和
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和運算.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 及分組求和.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.根據(jù)已知條件列出等比數(shù)列首項與公比的二元一次方程組，利用方程思想求出首項與公比，得到等比數(shù)列的通項公式，進(jìn)而探究出新數(shù)列 bm的通項公式，再進(jìn)行分組求和.本題解題關(guān)鍵是熟練掌握并能直接列出首項與公比的方程組進(jìn)行基本量的運算，并能探究出bm的通項公式從而利用分組求和解決問題，另外6m也可以利用歸納猜想求得.
[解題思路]解(1)設(shè){an}的公比為q.
由題設(shè)得 a q+a q =20,a q =8. 解得 (舍去),q=2.
因為 a q =8, 所以 a =2. 所以 的通項公式為
(2)由題設(shè)及(1)知 b =0, 且當(dāng) 2"≤m<2"+" 時, bm
b )=0+1×2+2×2 +3×2 +4×2 +5×2 +6×(100-63)=480.
[失分剖析]考生不能得出 bm 在求和時運算易出現(xiàn)錯誤，容易忽略n=6時的特殊情形.
20.(2019全國Ⅰ,文18)記 為等差數(shù)列 } 的前n項和.已知 S9=-a .
(1)若 a =4, 求 的通項公式；
(2)若 a >0, 求使得 的n的取值范圍.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等差數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列基本量的計算，前n項和的公式.
[必備知識]本題考查的知識是等差數(shù)列的通項公式 與前n項和的公式 及一元二次不等式的解法.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前n項和的公式列出關(guān)于首項和公差的二元一次方程組，求出公差和首項，求得通項公式，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)得 S =9a ,再利用條件 S9=-a 得a =0,所以公差 從而 第二問根據(jù)前n項和的公式正確運算
求解一元二次不等式，得到n的取值范圍.本題解題關(guān)鍵正 求 和 問
題，合理選擇運算公式，通過解不等式，解決問題.
[解題思路]解思路1.(1)設(shè) 的公差為d.
由 S =-a 得 a +4d=0.
由a =4得 a +2d=4.
于是 a =8,d=-2. 因此 的通項公式為
(2)由(1)得 a =-4d, 故
由a >0知d<0,故 等價于 n -11n+10≤0, 解得1≤n≤10.
所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.
思路2.(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)得S =9a ,
又 S =-a , 可得 a =0.又 a =4, 故公差為 首項為 a -2×(-2)=8.因此的通項公式為
(2)由 又a >0,a =0, 可得d<0.故當(dāng)n>10時,當(dāng)n=10時,
當(dāng)n<10時,、所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.
21.(2019全國Ⅱ,文18)已知.是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， a =2,a =2a +16.
(1)求{}的通項公式;
(2)設(shè) bn 求數(shù)列{bn}的前n項和.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列通項公式與數(shù)列求和.
[必備知識]本題考查的知識是等比數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列前n項和
[能力素養(yǎng)]本題考查運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.根據(jù)已知條件列出首項與公比的二元一次方程組，利用方程思想求出首項與公比，得到等比數(shù)列的遺項公式，再利用對數(shù)運算得到新的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和 解問題.本題的解題關(guān)鍵是熟練掌握并能直接列出關(guān)于首項與公比的方程組進(jìn)行基本量的：算.若一個等比數(shù)列各項都是正數(shù)，則對其取對數(shù)得到新的數(shù)列一定是等差數(shù)列.
[解題思路]解(1)設(shè)數(shù)列 {}的公比為q，
由題設(shè)得 2q =4q+16, 即q -2q-8=0,
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此數(shù)列 的通項公式為
(2)由(1)得bn
因此數(shù)列 bn 的前n項和為

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