資源簡介

4.2指數函數
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：指數函數的概念、圖象和性質.
難點：指數函數概念及性質的理解.
三、教科書編寫意圖及教學建議
對于指數函數概念的介紹，教科書強調從實際問題中抽象出數量關系；并用一定的數學式子表達這種數量關系；在分析數學式子特征的基礎上，歸納概括得到指數函數的定義.這個過程強調了指數函數概念的抽象概括.在研究指數函數性質的過程中，教科書強調數形結合思想方法的運用，利用指數函數的圖象探究指數函數的性質，并用所得到的性質進一步理解指數函數的圖象.
本節教科書還充分關注了與實際問題的聯系，體現數學應用的價值.例如，教科書從旅游人次的增長問題和碳14的衰減問題這兩個實例引入指數函數的概念.這兩個問題，一個是增長問題，一個是衰減問題.通過實例，有利于學生更好地感受指數函數模型，促進學生了解中國文化、關心社會.建議教學時結合具體的實際問題滲透數學思想方法和彰顯人文價值.
根據本節內容具有數形結合的特點和計算的需要，在教學過程中要充分發揮信息技術的作用，盡量利用信息技術創設教學情境，為學生的數學探究和數學思維提供支持，更好地克服可能遇到的困難，理解指數函數的概念、圖象和性質.
4.2.1指數函數的概念
1.問題的提出
問題1是旅游經濟的問題，A，B兩地游客人數的增長和經濟指標都源于真實數據，貼近現在國內的實際，利于學生從實際出發體會函數是刻畫實際問題變化規律的數學模型；兩地游客人數的變化一個呈指數增長、另一個呈線性增長，這種對比有利于學生理解指數函數的概念.這樣的背景實例還具有一定的教育意義，即促進學生了解國家經濟的發展、關心社會.教學時，也要注意發揮這個問題的數學育人的功能.
問題2是碳14衰減的問題，生物體內的碳14含量隨時間呈連續的指數衰減變化，這是一個經典的指數函數實例，有利于指數函數概念的理解.
問題1和問題2一個是增長問題，一個是衰減問題，兩個問題有利于學生從實際出發全面地認識指數函數.實際上，科學研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產生包括碳14在內的放射性物質，碳14的衰減非常有規律，其準確性可以稱為自然界的“準確時鐘”.動植物在生長過程中衰減的碳14，可以通過與大氣的相互作用得到補充，所以活著的動植物體內的碳14含量不變.死亡后的動植物停止了與外界的相互作用，體內原有的碳14按確定的規律衰減，半衰期為5730年.這也是考古中常用碳14來推斷年代的原因.教學中還可以讓學生通過“閱讀與思考”進一步了解放射性物質的衰減.
2.指數函數概念的抽象概括
教科書是通過問題1和問題2，分以下三步逐步抽象概括出指數函數的概念.
首先，從問題1出發，分別通過變量的數據和這些數據的圖象初步抽象出實際問題的變化規律.教學中要先讓學生觀察數據的變化情況，當不能發現數據的變化規律時，引導學生采取其他方法發現變化規律，比如將數據轉化為圖象形式進行觀察.通過圖象可以直觀地看到變化的趨勢，但還不能準確地刻畫這一變化規律.
其次，引導學生利用已知數據來說明圖象的變化規律，并從圖象中得到啟發去處理數據，從而數形結合地發現實際問題變化規律的本質.在問題1中，圖象顯示A地景區的游客人次呈線性增長，B地景區的游客人次呈非線性增長，這兩種增長變化如何用數量表示？由此引出通過對數據進行運算來探究數據變化規律的一種基本方法.分別對A，B兩地景區的數據做減法和除法運算可以發現，年增長率相等是B地景區數據變化規律的本質.
最后，給出具體問題變化規律的數學表示，并歸納概括出指數函數的一般表達式.根據問題1中B地景區旅游人次年增長率相等的這一變化規律的本質，可以得到解析式；由問題2可以得到解析式.盡管兩個問題的實際背景不同，但它們的解析式都具有的形式.所以，就可以抽象概括出
“函數叫做指數函數，其中指數是自變量，定義域是”.
通過抽象和概括指數函數概念，可以幫助學生發展數學抽象的核心素養.
3.指數增長和指數衰減的引入
教科書在抽象概括指數函數概念的過程中，引入了指數增長和指數衰減.通過除法運算發現，B地景區游客人次每年都以相同的增長率在增長，像這樣增長率為常數的變化方式就是指數增長.同樣地，死亡生物體內碳14含量每年都以相同的衰減率在衰減，像這樣衰減率為常數的變化方式就是指數衰減.其實，增長率或衰減率相等在一定程度上體現了指數函數增長或衰減變化的本質.
對于指數函數，其本質特征是：對任意，，
.因此，兩個實例中指數增長或指數衰減的本質可以用下列式子體現：
，，.
當，時，上式即
，.
可見，兩個具體事例引入指數增長和指數衰減可以幫助學生更清楚地認識指數函數的概念，更好地把握指數函數變化規律的本質.
4.例題教學
例1不僅可以讓學生熟悉指數函數的解析式和對應關系，還可以讓學生學習利用函數解析式列方程求底數的值.
例2通過利用指數函數概念解決問題1和問題2有關的問題，讓學生進一步了解指數函數的實際意義，并理解指數函數的概念. 同時引出形如
的刻畫指數增長或指數衰減變化規律的函數模型.當初始量不為1時，一般就用這種函數刻畫具有指數增長或衰減變化規律的實際問題.
結合例2，還可以讓學生舉出幾個指數型函數的例子，這些例子可以是學生課外搜集的具有指數增長或衰減規律背景的具體實例，也可以是本章涉及的有關實際問題的具體實例，通過這些實例增強對指數函數模型的認識.
4.2.2指數函數的圖象和性質
1.作出圖象，概括指數函數的性質
在冪函數的教學中，已經將函數圖象作為研究函數性質的直觀工具，學生在此過程中積累了利用函數圖象研究函數性質的經驗.在此基礎上，指數函數的圖象和性質的教學應該以學生為主，引導學生類比研究冪函數的圖象和性質的過程和方法，從以下兩個方面進行探究.
（1）觀察圖象，概括性質
這是本小節教學的重點，可以先讓學生根據研究冪函數的經驗思考：如何研究一個函數的性質？研究一個函數的性質主要是研究哪些方面？
首先，作出函數的圖象.教科書給出了兩種作圖方式，教學時可以在描點作圖基礎上，進一步介紹用信息技術根據函數解析式作圖.
第一種方式就是列表描點作圖.由于圖象是由點構成的，列表描點可以清楚地反映出各個點的坐標的變化情況，從而由點到線直觀地發現函數圖象所體現的性質.教學時可以從簡單的指數函數開始，再到，在研究了這一對函數之后，再研究具有類似對稱關系的其他幾對函數，從而概括它們的共同特征.列表描點作圖也有兩種方式；一種是通過人工計算各個點的坐標，然后列表描點作圖；但最好是選擇第二種方式，即利用計算工具直接計算各個點的坐標并列表，然后作圖.
第二種方式就是根據函數解析式直接作圖.這是畫函數圖象最便捷的方式，但只有利用具有函數作圖功能的信息技術才能實現.為了更好地概括函數性質，應該對函數中的底數進行任意取值，作出大量相應的具體指數函數的圖象，并通過跟蹤圖象上的點，觀察點的坐標的變化.
其次，根據圖象概括函數的性質.先讓學生根據所作的大量具體函數的圖象，歸納其范圍、公共點、增減性等共性，然后概括指數函數的定義域、值域、定點和單調性.
（2）由性質進一步認識圖象
我們一般是先作函數的圖象，然后由圖象概括出函數的性質，在信息技術的幫助下，這樣的研究既方便又直觀.另外，我們也可以先研究函數的性質，然后由性質去進一步分析函數的圖象，這樣可以更好地培養學生的理性思維.在本小節的教學中，在由圖象概括出函數的性質后，還可以讓學生根據所得性質進一步分析函數的圖象，從“以形助數”和“以數助形”兩個方面體會數形結合的思想方法.
2.“探究”的教學分析
（1）教科書第116頁的“探究”是讓學生用一種作圖的方式，首先獲得“函數的圖象與函數的圖象關于軸對稱”的結論；然后利用這個結論，通過探究，讓學生體會到可以用已知函數圖象和對稱性來作新函數的圖象.其目的是讓學生學習用聯系的觀點看問題，以及通過邏輯推理獲得數學結論.
這樣探究的好處是便于將指數函數分為和兩類，從而分別對兩類圖象的共同特點進行歸納.直接引入函數不夠自然，只有在探究之后才能有所體會.
（2）教科書第117頁的“探究”是讓學生利用信息技術得到取任意值時函數的大量圖象，并根據所作的這些圖象直觀地歸納出它們的共同特點.
這樣探究的好處是底數的取值自然，所作函數的圖象也是自然產生的，而非事先規定的，且用信息技術能便捷地作出大量圖象，易于進行歸納.但要將指數函數分為和兩類進行討論，還需要學生從所作圖象的過程中去發現，或由教師進行引導.
在上述探究過程中，要有意識地向學生滲透數形結合的思想方法，引導學生“以形助數”，先觀察圖象得到圖象的特征，然后再將圖象特征轉化為函數性質，逐步完成表4.2-3的內容.
3.信息技術的使用
在不使用信息技術的條件下，只能人工列表描點作出有限的幾個人為指定的特殊函數的圖象，然后觀察這幾個圖象來討論指數函數的性質.但是，這會帶來一系列的問題，比如，為什么要畫這幾個函數的圖象？為什么少量的幾個函數圖象就可以代表一般的函數圖象，由此得到的性質是否可靠？為什么要把底數分為和這兩類？利用信息技術，作圖更加方便，學生能通過大量的函數圖象看到其共性，更容易概括出函數的性質.
信息技術在本小節的使用主要有以下兩方面：
（1）在同一平面直角坐標系內畫出取任意值時函數的大量圖象.可以設置的取值，然后通過控制的連續變化展示對應函數圖象的分布情況；也可以逐個地取的值，然后分別作出對應函數的圖象.
（2）計算函數的自變量取值及其對應的函數值并列表，然后將所得有序實數對描點并畫出函數的圖象.同理，作出函數的圖象，跟蹤函數圖象上的點，觀察這些點關于軸的對稱點，發現所有的對稱點均在函數的圖象上，并由相互對稱的點的坐標關系分析函數與的關系.
4.例題和練習的教學分析
例3的主要目的是利用指數函數的單調性比較兩個數的大小，根據問題的特點構造適當的指數函數是關鍵也是難點.本例能夠幫助學生進一步熟悉指數函數的性質，并促使他們形成用函數觀點解決問題的意識.
例4的主要目的是利用指數函數的圖象分析和解決問題，建立函數圖象與概念、性質的聯系，進一步促使學生形成用函數觀點解決問題的意識.
練習第1題，通過底數互為倒數的兩個指數函數的關系，進一步熟悉指數函數的圖象和性質，可結合本小節的“探究”完成.
練習第2題，利用指數函數的單調性比較兩個數的大小，進一步熟悉指數函數的性質，可結合例3完成.
練習第3題，主要是利用圖象體現實際問題的變化規律，建立與指數函數的概念、性質的聯系.

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