資源簡介

《指數(shù)函數(shù)》真題探源
考情揭秘 指數(shù)函數(shù)是最常見的函數(shù)之一,在高考試題中出現(xiàn)頻率較高.它既可單獨考查,即考查函數(shù)的圖像和基本性質(zhì),也可綜合考查,即考查利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決其他數(shù)學問題.單獨考查時,一般以選擇題、填空題出現(xiàn),近幾年出現(xiàn)分段函數(shù)中含指數(shù)函數(shù)的考題頻率較高,分值一般為5分,在大題中綜合考查時,則是與其他知識聯(lián)系起來考查相關(guān)知識與應(yīng)用數(shù)學的能力.
題型1 比較指數(shù)冪的大小
例1（1）（山東高考）設(shè),則a,b,c的大小關(guān)系是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（全國Ⅲ高考）已知,則（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小是指數(shù)函數(shù)的基本應(yīng)用,教材P117例3就是比較兩個指數(shù)冪的大小,還有P118練習第2題,P119習題4.2第6題都是這類問題.本題只是增加到了3個數(shù),其實在方法上是一致的.
思路點撥 （1）由在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)減函數(shù),可知,又,所以,故選C.
（2）因為,且冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增,所以.故選A.
答（1）C (2)A
答題模板
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式大小的基本步驟
（1）確定所要考察的指數(shù)函數(shù)；
（2）根據(jù)底數(shù)情況指出已確定的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（3）比較指數(shù)的大小,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出同底數(shù)冪的大小關(guān)系.
題型2 指數(shù)函數(shù)的定義域問題
例2（1）（山東高考）函數(shù)的定義域為( )
A.（-3,0]
B.（-3,1]
C.（-∞-3）∪（-3,0]
D.（-∞,-3）∪（-3,1]
（2）（2017·全國1高考）已知集合A={x|x<1},B=,則（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 本例問題（1）求定義域與教材P118習題4.2第1題類似,問題（2）通過集合運算求定義域,與教材P160復習參考題4第5題類似.
思路點撥 (1)由題意得,即所求函數(shù)的定義域為（-3,0].故選A.
（2）∵集合A={x|x<1},,A∩B={x|x<0},故A正確,D錯誤；A∪B={x|x<1},故B和C都錯誤.故選A.
答（1）A（1）A
點評 求指數(shù)型復合函數(shù)的定義域的關(guān)鍵在于解指數(shù)不等式.而解指數(shù)不等式的基本方法是“同底法”,如本例（1）中解時,先將不等式化為,進而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x≤0.
題型3 指數(shù)函數(shù)的圖像與變換
例3（1）（四川高考）如圖所示,函數(shù)的圖像大致是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（2019·全國Ⅲ高考）函數(shù)在[-6,6]的圖像大致為（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 教材P116的探究中仔細討論了 與的圖像間的關(guān)系,又在P118練習第1題要求作出與的圖像并說明它們的關(guān)系,同時在P120習題4.2第9題對函數(shù)的圖像進行研究.
思路點撥 （1）用排除法：由已知得,,排除A；又∵x<0時,,故排除B；當x→+∞時,遠大于,,排除D,故選C.
（2）設(shè),則,
所以是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點成中心對稱,排除選項C.又,排除選項D.又排除選項A,故選B
答（1）C（2）B
答題模板
特殊點法判斷函數(shù)圖像的方法與步驟
特殊點法就是根據(jù)函數(shù)解析式的特點,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)觀察函數(shù)圖像必須經(jīng)過的某個特殊點,從而便于識別函數(shù)圖像的一種方法.此種方法適用于由一些函數(shù)圖像上存在特殊點的基本初等函數(shù)經(jīng)過初等變換得到的函數(shù)圖像識別問題.其步驟如下：
第一步：找特殊點.根據(jù)已知函數(shù)的解析式,找出函數(shù)圖像所經(jīng)過的特殊點.
第二步：研究變換.將題設(shè)條件所給出的函數(shù)解析式通過適當?shù)幕喕蜃冃?再與基本初等函數(shù)相對應(yīng),得出此函數(shù)是由哪個基本初等函數(shù)通過怎樣的圖像變換而得到的.
第三步：定選項.順著圖像變換展開,將得到的圖像與四個選項對照,確定正確的選項.
題型4 指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的討論
例4（1）（2017·北京高考）已知函數(shù),則（ ）.
A.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)
B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)
C.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)
D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)
（2）（山東高考）若函數(shù)是奇函數(shù),則使成立的x的取值范圍為（ ）.
A.
B.（-1,0）
C.（0,1）
D.（1,+∞）
（3）（2018·浙江數(shù)學競賽）已知a為正實數(shù),且是奇函數(shù),則的值域為 .
（4）（2017·江蘇高考改編）已知函數(shù)其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e≈2.718.若,則實數(shù)a的取值范圍是 .
真題探源
本例中4個問題都是研究指數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,并利用性質(zhì)解題,教材中也不乏此類問題,如P120習題4.2的第9,10題是討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,又如P161復習參考題4的第12題也是研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.
思路點撥 （1）由,知函數(shù)為奇函數(shù),因為在R是減函數(shù),在R上是增函數(shù),所以函數(shù)在R上是增函數(shù),故選B
（2）由題意,知,所以,解得a=1,所以,由,得,所以0（3）由為奇函數(shù)可知,即,解得a=2,則,故的值域為.
（4）由于均為增函數(shù),為減函數(shù),故為增函數(shù),因此可得在R上遞增.
又,可得為奇函數(shù),又,即有,即有,解得,故答案為.
答（1）B (2)C (3) (4)
解題通法
指數(shù)不等式的解法
（1）形如的不等式,可借助的單調(diào)性求解.如果a的值不確定,需分01兩種情況討論.
（2）形如的不等式,注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式,再借助的單調(diào)性求解.
（3）形如的不等式,可借助圖像求解,也可轉(zhuǎn)化為求解.
題型5 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例5（1）（2018·江西六校高三聯(lián)考）已知a,b,c,m都是正數(shù),,若長分別為a,b,c的三條線段能構(gòu)成三角形,則m的取值范圍是 .
（2）（2017·山東高考改編）若函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為 .
①；②；③；④.
真題探源 本例的兩個小題均是將指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和第三章函數(shù)的基本性質(zhì)綜合起來考查,因此,教材的練習與習題的題目均不及此例中的題目的難度,但在期中、期末的統(tǒng)考、聯(lián)考、調(diào)考中是不乏此類題目的.
思路點撥 （1）由于,且a,b,c,m都是正數(shù),所以且.因此要使長分別為a,b,c的三條線段能構(gòu)成三角形,則只要即可.注意到在R上單調(diào)遞減.
若m=1,則,即b+c=a.顯然此時不能構(gòu)成三角形；
若m>1,則,又,即b+c>a,此時可以構(gòu)成三角形；
若0綜上可知,當m>1時,以長分別為a,b,c的三條線段能構(gòu)成三角形.
（2）對于①,,則為實數(shù)集上的增函數(shù),即具有M性質(zhì).
對于②,則為實數(shù)集上的減函數(shù),不具有M性質(zhì)；對于③,,則為增函數(shù),當x>0時,為增函數(shù)；但當不一定為增函數(shù),故不具有M性質(zhì)；對于④,則時顯然為增函數(shù),（x>0）具有M性質(zhì).∴具有M性質(zhì)的函數(shù)序號為①④.
答（1）m>1（2）①④
1 / 8

展開更多......

收起↑