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《指數函數》能力探究
推測解釋能力、概括理解能力 利用指數函數的性質比較大小的方法
1.比較指數式的大小的方法
(1)化同底:因為化同底后即可運用指數函數的單調性比較大小,所以能夠化同底的盡可能化同底.
(2)商比法:不同底但可以化為同指數的兩數比較大小,用商比法即可迎刃而解,這時要特別注意分母的正負.
(3)中間值法:要比較與的大小,先找一個中間值,再比較與與的大小,由不等式的傳遞性得到與的大小.
(4)圖解法:轉化為同指數的冪后,在同一直角坐標系中作出相應指數函數的圖象,根據條件觀察圖象變化規律來比較大小.
2.比較指數不等式大小的方法
(1)形如的不等式,借助函數的單調性求解.如果的取值不確定,需分和兩種情況討論.
(2)形如的不等式,注意先將化成以為底的指數冪的形式,再借助函數的單調性求解,一般地,可采用取對數法求解(下節將學到).
(3)形如的不等式,利用圖象求解,或采用取對數法求解(下節將學到).
典例1 [數學抽象、邏輯推理](1)(2019山西長治二中月考)設,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018福建福州二中高一檢測)設函數定義在實數集上,它的圖象關于直線對稱,且當時,,則有( )
A.
B.
C.
D.
解析:掌握比較指數式大小的方法是解題的關鍵,可以先分析指數式的特點,再選擇較為簡便的方法進行推理、比較.具體解題過程如下:
(1),則,即.
(2)因為的圖象關于直線對稱,所以.因為函數在上是增函數,所以,即.
答案:(1) (2)
分析計算能力、推測解釋能力 求指數型復合函數的定義域和值域的一般方法
1.求指數型復合函數的定義域時,先觀察函數是型還是型.
(1)由于指數函數,且的定義域是,所以函數的定義域與的定義域相同.
(2)對于函數,且的定義域,關鍵是找出的值域的哪些部分在的定義域中.
(3)求型函數的定義域時,往往轉化為解指數不等式(組).
2.求與指數函數有關的函數的值域時,要注意指數函數的值域為,還需注意:在求形如,且)的函數的值域時,先求得的值域(即函數中的范圍),再根據的單調性,列出指數不等式(組),得出的范圍,即的值域.
典例2 [數學運算]求下列函數的定義域和值域.
(1);(2).
解析:本題主要考查指數型函數定義域和值域.分析計算時需注意外層函數與內層函數的特征.具體解題過程如下:
(1)要使函數式有意義,則,即.
因為函數在上是增函數,所以.
故函數的定義域為.
因為,所以,所以.
所以,即函數的值域為.
(2)要使函數式有意義,則,解得.
所以函數的定義域為.
因為,所以,
即函數的值域為,且.
簡單問題解決能力 解決與指數函數有關的函數的單調性問題的一般方法
指數函數的單調性與底數有關,因此討論指數函數的單調性時,一定要明確底數與1的大小關系.與指數函數有關的函數的單調性也往往與底數有關,其解決方法一般是利用函數單調性的定義.特別地,(1)對于形如,且的函數,可以利用復合函數的單調性,轉化為指數函數及函數的單調性來處理.(2)對于形如的復合函數,可令,由內層函數及外層函數的單調性來處理.
典例3 [數學運算、邏輯推理]討論函數的單調性,并求其值域.
解析:本題主要考查學生根據指數函數的底數、單調性等知識進行分析計算.具體解題過程如下:
函數的定義域為R.令,則在上是減函數,而在上是增函數,在上是減函數.
∴在上是減函數,在上是增函數.
∵,
∴這個函數的值域為.
綜合問題解決能力 復合指數函數單調性的判斷方法
一般地,在復合函數中,若函數在區間上是單調增(減)函數,且函數在區間或在區間上是單調函數,那么在區間上的單調性見下表:
增 增 減 減
增 減 增 減
增 減 減 增
典例4 [數學運算、邏輯推理](2018山東師大附中高一期中)若,求函數的最大值和最小值.
解析:根據復合指數函數的單調性分析計算是解題的關鍵.具體解題過程如下:
.
令,則,
所以當時,;當時,.
故該函數的最大值為,最小值為.
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