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《指數函數》知識探究
探究點1 指數函數的概念
1.定義域是.
2.自變量位于指數位置上.
3.在指數函數的表達式中,的系數必須是1.
4.底數的范圍必須是且.
【要點辨析】
規定底數且的理由
若,若,則對于的某些數值,可使無意義;若,則對于任意,是一個常量,沒有研究的必要.為了避免上述各種情況發生,規定底數且.
學科素養:運用指數函數的概念解決問題,提升學生的數學抽象、數學運算核心素養.
典例1 ［概括理解能力、分析計算能力］(1)(2018江西吉安一中高一月考)若函數為指數函數,則的值為( )
A.0
B.
C.1
D.2
(2)已知指數函數的圖象經過點,則的值等于__________.
解析:在理解指數函數概念的基礎上,進行分析計算.具體解題過程如下:
(1)∵為指數函數,∴解得.
(2)設的圖象過點.又∵且.
答案:(1) (2)
探究點2 指數函數的圖象和性質
1.函數,且的圖象
底數
圖象
性質 函數的定義域為,值域為
函數圖象過定點,即時,
當時,恒有; 當時,恒有 當時,恒有; 當時,恒有
函數在定義域上為增函數 函數在定義域上為減函數
2.一般地,函數與,且的圖象關于軸對稱.
【要點辨析】
底數對圖象的影響
1.底數與1的大小關系決定了指數函數,且)的圖象的“升”與“降”
(1)當時,指數函數的圖象是“上升”的,且當時,底數的值越大,函數圖象越“陡”,說明其函數值增長得越快;(2)當時,指數函數的圖象是“下降”的,且當時,底數的值越小,函數圖象越“陡”,說明其函數值減小得越快.
2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低
(1)不論是還是,在第一象限內底數越大,函數圖象越靠上;(2)在軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小,即“底數大圖象高”;在軸左側,圖象從上到下相應的底數由小變大,即“底數大圖象低”.
3.指數函數與的圖象的特點
底數 自變量 函數值
學科素養:通過指數函數的圖象與性質解決與圖象有關的問題,提升直觀想象、數學運算、邏輯推理核心素養.
典例2-1 [推測解釋能力、分析計算能力](1)函數,且的圖象必經過點( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(2,1)
D.(0,2)
(2)河南洛陽二中高一月考)函數與的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
解析:掌握指數函數的圖象及性質并進行分析計算、推理判斷是解題的關鍵.(1)指數函數的圖象必經過點,將的圖象向上平移一個單位長度得到的圖象,所以的圖象必經過點.
(2)當時,排除A、B.
答案:(1)D (2)C
典例2-2 [觀察記憶能力(1)(2019湖北黃岡中學月考)
已知,則在同一平面直角坐標系內,它們的圖象為( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山東青島檢測)函數,且的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題主要考查指數函數的圖象和性質,要判斷圖象是否與該函數對應,可以根據函數的性質進行推理解釋,也可以先觀察圖象,再排除.具體解題過程如下:
(1)方法一:與單調遞增與單調遞減,在第一象限內作直線,該直線與四條曲線交點的縱坐標對應各底數.故選.
方法二:與單調遞增,且的圖象上升得快,與的圖象關于軸對稱,與的圖象關于軸對稱.故選.
(2)函數,且的圖象恒過點,可排除選項.
答案:(1)A (2)C
探究點3 指數函數的定義域和值域
1.指數函數的定義域
(1)指數函數的定義域是.
(2)由于指數函數的定義域是,因此形如的函數的定義域就是的定義域,這樣,就把求這種類型的函數的定義域問題轉化為求使得有意義的的取值范圍.
2.指數函數的值域
指數函數的圖象總在軸的上方,因此,指數函數的值域是.
(1)求形如的函數的值域,可先求的取值范圍,再求的取值范圍.
(2)求形如的函數的值域,不但要考慮的值域,還要明確還是,利用指數函數的單調性求值域.
【要點辨析】
1.解決有關指數函數的定義域問題時,常遇到解指數不等式的問題,需要根據指數函數的單調性求解,必要時可充分結合指數函數的有關圖象求定義域.
2.有關指數函數的最值問題,經常用指數函數的單調性解決.
3.底數與1的大小關系不僅影響指數函數的單調性,也影響其函數值增長的快慢.
學科素養:通過指數函數的性質,求解定義域與值域,提升數學運算、邏輯推理核心素養.
典例3 [概括理解能力、分析計算能力](1)(2019湖北黃石二中期中)函數的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019四川成都六校聯考)函數5)的值域為( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019河北保定二中月考)設,則( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題基于對函數的圖象和性質的分析、理解,進一步考查對指數函數的掌握情況,具體解題過程如下:
(1)依題意有解得.故選B.
(2)由于為增函數,且,則,因此函數值域為.故選.
(3)由題意知,,因為在上是增函數,所以.故選D.
答案:(1)B (2)C (3)
探究點4 指數函數圖象的變換
1.平移變換
2.對稱變換
3.翻折變換
函數的圖象:將的圖象在軸右側的部分沿軸翻折到左側,替換原軸左側部分,并保留的圖象在軸右側的部分,的圖象關于軸對稱.
函數的圖象:將的圖象在軸下方的部分沿軸翻折到軸上方,去掉原軸下方部分,并保留的圖象在軸上方的部分.的圖象就是的圖象在軸上方的部分不動,把軸下方的部分翻折到軸上方.
學科素養:根據指數函數的圖象變化解決相關問題,提升直觀想象核心素養.
典例4 [推測解釋能力](1)(2019河南洛陽檢測)函數的圖象的大致形狀是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山西忻州二中高一月考)已知函數(其中的圖象如圖所示.則函數的圖象是圖中的( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題通過運用直觀想象,利用函數圖象的變換考查指數函數圖象和性質.具體解題過程如下:
(1)當時;當時,,故選B.
(2)由的圖象可知,所以為減函數,將的圖象向下移動個單位長度可得的圖象,故選A.
答案:(1) B (2)A
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