資源簡介

4.3對數(shù)
一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖
二、重點、難點
重點：對數(shù)的概念，對數(shù)的運算性質(zhì).
難點：對數(shù)運算性質(zhì)的得出，對數(shù)換底公式的推導(dǎo).
三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議
對數(shù)的概念及其運算是對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，先有對數(shù)，然后才有指數(shù)冪.后來，隨著數(shù)學(xué)公理化體系的逐步建立，一般安排先學(xué)習(xí)指數(shù)冪，再學(xué)習(xí)對數(shù)，在指數(shù)冪概念及運算的基礎(chǔ)上，引入對數(shù)的概念及其運算，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也比較自然.
教科書是從對數(shù)是指數(shù)冪中指數(shù)的一種等價表示形式的角度來引入對數(shù)的.節(jié)引言通過一個問題引導(dǎo)學(xué)生思考：已知底數(shù)和冪，如何求指數(shù)？顯然指數(shù)與指數(shù)冪的值及底數(shù)的值緊密關(guān)聯(lián).
4.3.1對數(shù)的概念
1.對數(shù)的概念
教科書通過一個具體的例子，讓學(xué)生認(rèn)識到引入與指數(shù)冪運算有關(guān)的另外一種運算的必要性，并歸納概括為如何從，，，中分別求出，即已知底數(shù)和冪，求指數(shù).這種運算顯然與指數(shù)冪的值及底數(shù)的值緊密關(guān)聯(lián)，這就是要引入的對數(shù).引入的必要性明確后，教科書給出了對數(shù)的概念.
在對數(shù)的概念中，，，都有確切的含義，“l(fā)og”是拉丁文logarithm（對數(shù)）的縮寫，它只是一個表達(dá)符號.為了使學(xué)生了解這個概念，可以讓學(xué)生進(jìn)行指數(shù)表達(dá)與對數(shù)表達(dá)的互換，明確表達(dá)式的意義.
根據(jù)對數(shù)的定義，以及對數(shù)與指數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，可以得到對數(shù)的有關(guān)結(jié)論：負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)：1的對數(shù)為0；底數(shù)與真數(shù)相等的對數(shù)值為1.利用對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，這些結(jié)論的證明比較簡單.例如，由于對數(shù)是指數(shù)冪中指數(shù)的等價表示形式，自然地，從對數(shù)的定義，研究對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，得到：當(dāng)，時，.利用這個關(guān)系，由，得.
2.自然對數(shù)的底數(shù)e
數(shù)學(xué)中常見兩類對數(shù)：一是以10為底的常用對數(shù)，二是以無理數(shù)
e=2.718 28…為底的自然對數(shù).以10為底學(xué)生不難理解，因為科學(xué)記數(shù)法的底數(shù)是10，以10為底，既符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，又符合日常習(xí)慣.對于以e為底的自然對數(shù)，它是如何產(chǎn)生的，在高中階段很難向?qū)W生說清楚.實際上，e和不僅是數(shù)學(xué)史上，甚至是人類科學(xué)史上最偉大的兩個數(shù).e不僅是無理數(shù)，還是超越數(shù)（不是任何有理系數(shù)多項式方程的根）.關(guān)于e的結(jié)論或性質(zhì)很多，如；
；；；等.
以e為底的指數(shù)函數(shù)可以描述科技、經(jīng)濟(jì)以及社會生活中眾多增長或衰減的變化規(guī)律，它是一個與連續(xù)變化有著緊密聯(lián)系的常數(shù).與之對應(yīng)的就有以e為底的對數(shù).隨著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，特別是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生就可以進(jìn)一步了解到e的來龍去脈，以及它的很多性質(zhì)及應(yīng)用.
3.例1和例2的設(shè)計及說明
例1是關(guān)于指數(shù)式與對數(shù)式互化的問題，其目的是讓學(xué)生了解兩類表達(dá)式的意義.雖然從形式上看，兩者不同，但本質(zhì)上是一致的.這個一致就是底數(shù)、指數(shù)（對數(shù)）、冪（真數(shù)）三者之間的關(guān)系.
例2是通過指數(shù)冪運算求對數(shù)表達(dá)式中真數(shù)、底數(shù)及對數(shù)的具體數(shù)值，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識對數(shù)運算與指數(shù)冪運算之間的關(guān)系.
4.3.2對數(shù)的運算
1.對數(shù)的運算性質(zhì)
因為運算，數(shù)的威力無限；沒有運算，數(shù)就只是一個符號.對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算，正像加法與減法、乘法與除法之間的關(guān)系一樣，我們通過加法運算學(xué)習(xí)減法運算，通過乘法運算學(xué)習(xí)除法運算.對于對數(shù)運算，我們也是通過指數(shù)冪運算推導(dǎo)對數(shù)運算的性質(zhì).
有了對數(shù)的概念和性質(zhì)后，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)冪的對應(yīng)關(guān)系，不難得出對數(shù)運算性質(zhì).從對數(shù)的運算性質(zhì)可以看出，通過對數(shù)運算可以把乘法轉(zhuǎn)化為加法，把除法轉(zhuǎn)化為減法，把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.從運算角度看，加減是一級運算，乘、除是二級運算，乘方、開方是三級運算.運算數(shù)量級的不同決定了運算的復(fù)雜度，一般來說，運算的數(shù)量級越高，運算的復(fù)雜度也越高.對數(shù)的運算性質(zhì)降低了運算的級別，簡化了運算.現(xiàn)代社會，由于有了計算器（機(jī)）等計算工具，對數(shù)的運算性質(zhì)的這種作用似乎有些微不足道，但在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，由于當(dāng)時沒有計算工具，對于天文學(xué)中大數(shù)的乘、除等運算，僅靠紙筆運算是相當(dāng)繁瑣、復(fù)雜的，而對數(shù)的發(fā)明“延長了天文學(xué)家的壽命”.因此，對數(shù)運算性質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是偉大的成就.
對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)有多種方法，既可以從左向右推，也可以從右向左推.教科書采用了從左向右的方式推導(dǎo)了對數(shù)的運算性質(zhì)1，它是從指數(shù)冪運算的角度出發(fā)；如果從右向左推導(dǎo)，就是從對數(shù)運算的角度出發(fā).兩者都是充分運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)及對數(shù)的概念.教學(xué)中這兩種方式都可以嘗試一下.對數(shù)的另外兩條運算性質(zhì)，也都是充分運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的概念進(jìn)行證明，它們都是加深理解對數(shù)概念的運算表達(dá)式.
2.例3、例4的設(shè)計及說明
例3中的兩個小題是直接運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行具體數(shù)值的計算，從中可以體會對數(shù)運算把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，把乘法轉(zhuǎn)化為加法的作用.例4是關(guān)于有字母的對數(shù)的運算，它是綜合運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行運算.
3.對數(shù)的換底公式
現(xiàn)在，利用計算工具，我們可以求出任意一個對數(shù)的值.從歷史上看，發(fā)明對數(shù)完全是計算的需要，但在計算過程中，我們無法窮盡所有對數(shù)的運算，畢竟對數(shù)的運算數(shù)量級高、復(fù)雜度高.當(dāng)時人們?yōu)榱诉\算的方便，制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，而對于其他底數(shù)的對數(shù)，可以通過換底公式，轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，從而實現(xiàn)其他底數(shù)的對數(shù)的運算.
關(guān)于對數(shù)的換底公式，教科書設(shè)置了探究欄目，先讓學(xué)生用計算工具計算，兩個具體的對數(shù)值，然后用它們的值求的值.解決這個問題的關(guān)鍵是靈活運用對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系以及對數(shù)的定義，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)“從定義、基本原理出發(fā)思考問題”的引導(dǎo)，在上述具體問題及其解決過程的啟發(fā)下，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)（3）推導(dǎo)出對數(shù)的換底公式“”就比較容易了.具體、特殊的問題往往能啟發(fā)思路、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般情形.這種從特殊到一般的過程是我們思考和解決問題時常用的方法.
對數(shù)的換底公式是對數(shù)中非常重要的公式，用自然語言描述就是：一個對數(shù)的值等于兩個同底的對數(shù)的商，其中分子是真數(shù)的對數(shù)，分母是以原對數(shù)的底數(shù)為真數(shù)的對數(shù).從換底公式的結(jié)構(gòu)和形式上看，很難直觀想到這個公式.雖然難以想到，但是公式的推導(dǎo)并不難，有多種途徑，既可以從左邊推出右邊，又可以從右邊推出左邊.這里給出另一種證明方法：
設(shè)，，則，，從而
.
利用對數(shù)的換底公式，可以把任意底數(shù)的對數(shù)的值轉(zhuǎn)化為以10或e為底的對數(shù)，這樣就可以利用對數(shù)表或計算器計算任意底數(shù)的對數(shù)的值，現(xiàn)在很多計算器，都有以10或e為底的對數(shù)計算的按鍵，部分計算器還有任意底數(shù)的按鍵，這些都極大地方便了運算.
4.例5的設(shè)計及說明
例5是關(guān)于地震的能量與里氏震級之間關(guān)系的問題.地震中能量是很大的數(shù)值，進(jìn)行對數(shù)運算后，其數(shù)值就變得非常小.這其實相當(dāng)于把指數(shù)冪運算中冪的結(jié)果反映在指數(shù)上，也就是說，在以10為底的指數(shù)冪運算中，指數(shù)每增加1，其冪的值就是原來的10倍；每增加2，其冪的值就是原來的100倍；反之，在以10為底的對數(shù)運算中，真數(shù)是原來的10倍，對數(shù)值就增加1；真數(shù)是原來的100倍，對數(shù)值就增加2.所以，在指數(shù)冪運算中，“指數(shù)增長”的變化非常快；在對數(shù)運算中，“對數(shù)增長”的變化就比較慢.
通過例5，可以讓學(xué)生體會地震的里氏震級雖然相差很小，但是地震釋放的能量波差別巨大，進(jìn)一步感受對數(shù)運算的意義.
5.加強(qiáng)運算能力的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)運算是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).到目前為止，我們學(xué)習(xí)了加法、減法、乘法、除法、乘方、開方、指數(shù)冪、對數(shù)等運算.本章主要涉及計算指數(shù)冪、指數(shù)冪運算、計算對數(shù)、對數(shù)的運算，還涉及利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較一些特殊類型的數(shù)之間的大小等.教學(xué)時，應(yīng)結(jié)合本章的相關(guān)運算的教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生運算能力的培養(yǎng).此外，也可以引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)過的數(shù)學(xué)運算進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗涂偨Y(jié)，從整體上理解數(shù)學(xué)運算，體會運算在數(shù)學(xué)中的作用.

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