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《對數》知識探究
探究點1 對數的概念
一般地,如果,且,那么數叫做以為底的對數(logarithm),記作,其中叫做對數的底數,叫做真數.
(1)以10為底的對數叫做常用對數,并把記為;
(2)以無理數為底數的對數叫做自然對數,并把記為.
“log”同“+”“”“”等符號一樣,表示一種運算,即已知一個數和它的冪求指數的運算,這種運算叫做對數運算,對數運算的符號要寫在數的前面.
【要點辨析】
1.在對數的概念中為什么規定且
(1)若,則會出現為某些值時,不存在的情況.
(2)若,且,則不存在;若,有無數個值,不能確定.為此,規定.
(3)若,且,則不存在;若,有無數個值,不能確定.為此,規定.
因此,為了避免對數不存在或不唯一確定的情況,規定,且.
2.對數式與指數式的關系
指數式,根式和對數式,且)是同一種數量關系的三種不同表達形式.具體對應如下:
表達形式 對應的運算
底數 指數 冪 乘方,由求
方根 根指數 被開方數 開方,由求
底數 對數 真數 對數,由求
(1)開方運算和對數運算都是乘方運算的逆運算.
(2)弄清對數式與指數式的互化規則是掌握對數意義及其運算的關鍵.
學科素養:根據對數的概念、運算性質進行分析計算、推理解釋,從而解決問題,提升學生的邏輯推理、數學運算、核心素養.
典例1 [分析計算能力、推測解釋能力](1)(2018山東煙臺二中高一月考)下列語句:①對數式與指數式是同一關系的兩種不同表示方法;②若且,則一定成立;③對數的底數可以為任意正實數;④對一切且恒成立.其中正確的是( )
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
(2)(2018山西陽泉一中高一檢測)下列指數式與對數式的互化不正確的一組是( )
A.與
B.與
C.與
D.與
(3)(2019湖南師大附中月考)使對數有意義的的取值范圍為( )
A.,且
B.
C.,且
D.
(4)求的值.
解析:本題主要運用對數概念、運算性質進行分析計算、推測解釋、解決問題.具體解題過程如下:
(1)由對數概念及,且)知①正確,由對數的性質易知②④正確.
(2)的對數式應為.
(3)要使有意義,則1,所以.
(4)設,則,即.
答案:(1)A (2)B (3)B (4)
探究點2 對數的基本性質
1.負數和零沒有對數,即;
的對數等于0,即;
3.底數的對數等于1,即;
4.對數恒等式;
5.,且.
【要點辨析】
1.的作用在于能夠把任意一個正實數轉化為以為底數的指數形式.
2.的作用在于能夠把任意一個實數轉化為以為底數的對數形式.
學科素養:根據對數的基本性質解決問題,提升學生的數學運算、邏輯推理核心素養.
典例2 [分析計算能力](1)(2018河北邢臺二中高一月考)方程的解是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山東滕州一中月考)已知,那么等于___________.
解析:根據對數的基本性質進行分析計算是解決本題的關鍵.具體解題過程如下:
(1)∵.
(2)∵,則,則,
則.所以.
答案:(1)A
探究點3 對數的運算性質
對數的運算性質:
(1),即積的對數等于對數的和.
(2),即商的對數等于對數的差.
(3),即指數冪的對數等于底數的對數的指數倍.
【要點辨析】
對數的運算性質的拓展:
(1).
(2).
(3).
其中,.
學科素養:根據對數的運算性質解決問題,提升學生的數學抽象、數學運算核心素養.
典例3 [概括理解能力、分析計算能力](2018山西師大附中高一周測)已知用表示為( )
A.
B.
C.
D.
解析:解題時理解并把握對數運算性質的本質,避免類似錯誤:是解答此類題的關鍵,具體解題過程如下:
由得,.
答案:
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