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《對數》真題探源
題型1 對數的基本運算
例1（1）（2018·廣東學考）對任意的正實數x,y,下列等式不成立的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（2018·浙江學考）已知函數,則（ ）.
A.1
B.
C.3
D.
（3）（四川高考）已知,則下列等式一定成立的是（ ）.
A.d=ac
B.a=cd
C.c=ad
D.d=a+c
（4）（2019·全國Ⅱ高考）已知是奇函數,且當x<0時,,若,則a= .
真題探源 本例中4個問題都是考查對對數運算法則的理解與掌握,教材在P124中先給出了對數運算性質,并緊接例3、例4進行應用.（1）題是對對數運算性質的考查,（2）（3）都屬于對數基本運算,（4）則為指數式與對數式的互化問題,（1）（3）與教材P126練習第2題類似,（4）與P127習題4.3第4題類似,（2）則與P127習題4.3第6題類似.
思路點撥 （1）對于B項,令x=y=1,則,顯然等式不成立,故選B.
（2）,故選C.
（3）.
.
,故選B.
（4）.
答（1）B（2）C（3）B（4）-3
解題通法
對數運算的一般思路
（1）首先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后用對數運算性質化簡合并.
（2）將對數式化為同底數對數的和、差、積的運算,然后逆用對數的運算性質,轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算.
題型2 分段函數中的對數運算
分段函數中的對數運算
（1）（全國Ⅱ高考）設函數則（ ）.
A.3
B.6
C.9
D.12
（2）（全國I高考）已知函數且,則（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 上述兩個小題是把本節的對數運算與上一章函數中分段函數的求值綜合起來了.在教材的練習中是沒有此類題的,但只要把對數的運算掌握好,問題便容易解決了.
思路點撥 （1）由已知得,
又.
.
（2）,
∴當a≤1時,,
則,此等式顯然不成立；
當a>1時,,
∴,
∴,解得a=7.
∴.
答（1）C（2）A
歸納總結
對數的求值一般有兩種方法：一種是將式中真數的積、商、冪運用對數的運算性質化為對數的和、差、積,然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、差、積運用對數的運算性質化為真數的積、商、冪,然后化簡求值.
題型3 與對數有關的數的大小比較
例3（1）（2017·天津高考）已知奇函數在R上是增函數.若,則a,b,c的大小關系為（ ）.
A.aB.bC.cD.c（2）（2017全國l高考）設x,y,z為正數,且,則（ ）.
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
真題探源 關于數的大小比較,有時可以借助函數的單調性,由x的大小比較的大小；有時也可以化簡后確定它是正數、負數,或者是比某一個數大（或小）,如比1大或比1小,從而比較其大小.上述兩個小題其實就是通過對數或指數式的化簡或計算再作比較,如教材P160復習參考題4的第5題的（2）（3）小題都是比較數的大小的題目.
思路點撥 （1）∵函數為奇函數,.,且函數在R上是增函數,
.故選C.
(2)設.
,,故選D.
答（1）C（2）D
答題模板
作差（或作商）法比較大小的答題思路與步驟
作差（或作商）法比較數式大小,就是將要比較的兩個數式進行作差（或作商）,然后通過恒等變形與0（或1）進行比較,得到其大小關系的一種方法.此種方法是解決比較兩數式大小問題的基本方法,其答題步驟為：
第一步：作差（或作商）變形.將要比較大小的兩個數式進行作差（或作商）,然后通過因式分解等方式進行恒等變形.
第二步：與0（或1）比較大小.判斷每一個恒等變形后的因式符號（或比較變形后分式的分子與分母的大小）.
第三步：得到結論.通過比較差式與0（或商式與1）的大小,得到兩個數式的大小關系.
題型4 對數運算在實際問題中的應用
例4（1）（2017·北京高考）根據有關資料,圍棋狀態空間復雜度的上限M約為,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為,則下列各數中與最接近的是（ ）（參考數據：）
A.
B.
C.
D.
（2）（2019·北京高考）在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為的星的亮度為.已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值是（ ）.
A.
B.10.1
C.
D.
真題探源 對數的運算在實際生產、生活中有著廣泛的應用,教材中這類題也很多,如P125的例5,P127習題4.3第9、10題都是對數運算的實際應用.
思路點撥 （1）設,,,,.故選D.
（2）兩顆星的星等與亮度滿足,令,則,,故選D.
答 （1）D（2）D
題型5 對數的綜合運算與應用
例5（1）（2018·甘肅檢測）已知函數
（n∈N）,定義使為整數的數k叫作企盼數,則在區間[1,2016]內這樣的企盼數共有 個.
（2）（2019·廣東惠州高三八月第一次調考）已知,觀察下列算式：
；
；……
若,則m的值為 .
真題探源 本例中的2個問題均有較強的綜合性,教材中題目一般不可能到達這個難度,但在各地的期中、期末和調考中這類題目是屢見不鮮,比如高考試題中也多次出現對數與數列的綜合運算.
思路點撥 （1）令,,
.
要使成為企盼數,則.
.
,
∴可取n=2,3,…,10.
因此在區間[1,2016]內這樣的企盼數共有9個.
（2）
；
則.
答（1）9（2）
解題通法
對數運算的方法技巧
（1）“收”：將同底的兩對數的和（差）收成積（商）的對數.
（2）“拆”：將積（商）的對數拆成對數的和（差）.
（3）對數的化簡求值一般是正用或逆用公式,對真數進行處理,選哪種策略化簡,取決于問題的實際情況,一般本著便于真數化簡的原則進行.
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