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《對數函數》典型例題
【考情分析】
本節的內容主要涉及對數函數的概念、圖象、性質,是高考考查的重點,考查形式主要包括利用對數函數的概念、圖象,利用對數函數的單調性比較大小、解不等式等,通常以選擇題、填空題形式出現.
題型 求對數型復合函數的定義域(數學抽象)
典例1 [概括理解能力](1)(2017山東卷)設函數的定義域為,函數的定義域為,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018浙江學考)函數的定義域為( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2018江蘇卷)函數的定義域為________.
解析:本題基于對數函數、集合、不等式知識的理解,考查求對數函數的定義域問題,解答時要注意:真數大于零,對數的底數大于零且不等于1,按底數的取值應用單調性解不等式即可.具體解題過程如下:(1)由題意可知,故.
(2)由題意可得解得,即函數的定義域為.
(3)由.
答案:(1)D (2)B (3)
題型2 求對數型復合函數的值域(數學運算)
典例2 (1)[分析計算能力](全國卷II)下列函數中,其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(福建卷)若函數的值域是,則實數的取值范圍是________.
解析:利用對數函數的性質分析計算是解決本題的關鍵,具體解題過程如下:(1)方法一:函數的定義域為,又當時,,故函數的值域為.方法二:由題意可知,,排除選項、;又必為正值,排除選項.
(2)因為所以當時,4.又函數的值域為,所以當時,有解得,所以實數的取值范圍是.
答案:(1)D (2)
題型3 對數函數的圖象(直觀想象)
典例3 [觀察記憶能力](1)(2018山東青島二中高一期中)函數的大致圖象是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019浙江卷)在同一直角坐標系中,函數,且的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題主要以觀察對數函數圖象特征、熟記性質和簡單的變換.進行直觀判斷具體解題過程如下:(1)當時,即可排除選項.
(2)在函數中,當時,可得是遞減函數,圖象恒過點,是遞增函數,圖象恒過;當時,可得是遞增函數,圖象恒過點,是遞減函數,圖象恒過.滿足要求的圖象為.
答案:(1)D (2)D
題型4 利用對數函數的性質比較大小(邏輯推理)
典例4 [推測解釋能力、分析計算能力](1)(2018天津卷)已知,則的大小關系為( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019全國卷III)設是定義域為的偶函數,且在單調遞減,則( )
A.
B.
C.
D.
解析:利用對數函數的性質比較大小是高考考查的重點,掌握對數函數的性質和比較的方法進行邏輯推理是解題關鍵.具體解題過程如下:
(1)∵,又.
(2)∵是上的偶函數,∴.
∵,又在,單調遞減,
∴,∴.
答案:(1)D (2)C
題型 利用對數函數的性質求單調性(邏輯推理)
典例5 [綜合問題解決能力]甘肅靜寧高一月考)已知函數.
(1)若的定義域為,求的取值范圍.
(2)若,求的單調區間.
(3)是否存在實數,使在上單調遞增 若存在,求出的取值范圍,若不存在,說明理由.
解析:本題綜合了對數函數的概念、圖象和性質,考查利用復合函數的單調性,解決對數函數的綜合問題,運用復合函數的單調法則判斷其單調性.具體解題過程如下:(1)函數的定義域為恒成立,∴,即,故的取值范圍為.
(2)∵,解得.
∴.由,得或.設,對稱軸為直線在上單調遞減,在上單調遞增.根據復合函數單調性規律可判斷,在上單調遞增,在上單調遞減.即的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(3)不存在.理由:函數.設,可知在上單調遞減,在,上單調遞增,若在上單調遞增,則2且且,不可能成立.故不存在實數,使在上單調遞增.
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