資源簡介

4.4對數函數
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：對數函數的概念、圖象和性質.
難點：對數函數性質的歸納，對“指數爆炸”“直線上升”“對數增長”的理解.
三、教科書編寫意圖及教學建議
為了讓學生在認識對數函數時也能感受到對數函數的實際背景，并建立與指數函數的聯系，本節一開始就從另一個角度繼續研究碳14衰減的問題，讓學生進一步感受其中的函數模型.
與指數函數類似，本節安排的內容主要蘊含了數形結合的思想方法，具體體現在用對數函數的圖象探究對數函數的性質，并用所得到的性質進一步理解對數函數的圖象.同時，本節的編寫也充分關注了與實際問題的聯系，體現數學應用的價值.教學時要通過具體的實際問題來體現數學思想方法和價值.
與指數函數類似，根據本節內容具有數形結合的特點和計算的需要，在教學過程中同樣要發揮信息技術的作用，盡量利用信息技術創設教學情境，為學生的數學探究和數學思維提供支持，更好地克服可能遇到的困難，理解對數函數的概念、圖象和性質.
4.4.1對數函數的概念
1.思考欄目：問題的提出
對數函數和指數函數可以從不同角度刻畫同一問題的變化規律.在碳14衰減的問題中，生物體內的碳14含量隨時間呈連續的指數衰減變化，但根據死亡生物體內碳14的殘留量推斷生物的死亡時間，就是對數函數研究的問題.教科書通過進一步提出與碳14衰減有關的思考問題，不僅可以得到對數函數的概念，還可以通過與指數函數的聯系更好地理解對數函數.
2.對數函數概念的獲得
與通過抽象概括出指數函數的概念不同，教科書是通過演繹推理得到對數函數的概念的.利用碳14衰減的問題，根據指數與對數的關系，由死亡生物體內碳14的殘留量關于死亡時間的關系式，經運算推理，得到死亡時間關于生物體內碳14的殘留量的關系式，然后從特殊到一般地給出對數函數的一般表達式.
教學中應該向學生明確提出問題，讓學生通過運算推理回答問題，并在所得到的解析式和其中變量的取值范圍的基礎上，由教師給出對數函數的概念.
教科書從“過軸正半軸上任意一點作軸的平行線，與的圖象有且只有一個交點”及“對于任意一個，通過對應關系，在上都有唯一確定的數和它對應”兩方面說明，“也是的函數”，前者可以讓學生從圖象上獲得直觀認識，后者則是回到函數的定義，前者為后者作了鋪墊.教學應該從這兩方面幫助學生深入理解對數函數的概念.
3.例題教學
例1通過求對數函數的定義域，熟悉對數函數的概念.
例2通過利用對數函數概念解決實際問題，理解對數函數的概念，進一步了解對數函數的實際意義，初步體會對數增長的特點.
4.4.2對數函數的圖象和性質
1.畫圖象，概括對數函數的性質
有了指數函數的圖象和性質的學習經歷，對數函數的圖象和性質的教學應該以學生為主，引導學生類比研究指數函數的圖象和性質的過程和方法，從以下兩個方面進行探究.
（1）觀察圖象、概括性質
首先，作出函數的圖象.教科書同樣給出了兩種作圖方式，教學時可以從中選擇一種.
一種方式就是列表描點作圖.教學時可以從簡單的對數函數開始，再到，在研究了這一對函數之后，再研究具有類似對稱關系的其他幾對函數，從而概括它們的共同特點.列表描點作圖也有兩種方法：一是通過人工計算各個點的坐標，然后列表描點作圖；但最好是選擇第二種方法，利用計算工具直接計算各個點的坐標并列表，然后作圖.
另一種方式就是根據函數解析式，利用具有函數作圖功能的信息技術直接作圖.為了更好地概括函數性質，應該對函數中的底數進行任意取值，作出大量的相應的具體對數函數的圖象，并通過跟蹤圖象上的點，觀察點的坐標的變化.
其次，根據圖象概括函數的性質，就是讓學生根據所作圖象的特點，概括對數函數的定義域、值域、定點和單調性.
（2）由性質進一步認識圖象
在由圖象概括出函數性質后，還可以讓學生根據所得性質進一步分析函數的圖象，這樣就可以從“以形助數”和“以數助形”兩個方面體會數形結合的思想方法，培養學生的理性思維.
2.“思考”和“探究”的教學分析
（1）教科書第132頁的“思考”是讓學生用一種作圖方式，首先獲得“函數的圖象與函數的圖象關于軸對稱”的結論；然后利用這個結論，通過思考，讓學生體會到可以用已知函數圖象和對稱性來作新函數的圖象，其目的是讓學生學習用聯系的觀點看問題，通過邏輯推理獲得數學結論.
這樣思考的好處是便于將對數函數分為和兩類，從而分別對兩類圖象的共同特點進行歸納.由于對指數函數有過類似的探究，這里引入函數就不會再顯得不夠自然了.
（2）教科書第132頁的“探究”是讓學生用另一種作圖方式，通過信息技術得到取任意值時函數的大量圖象，并根據所作的這些圖象直觀地歸納出它們的共同特點.
這樣探究的好處是底數的取值自然，所作函數的圖象也是自然產生的，而非事先規定的，且信息技術能便捷地作出大量圖象，易于進行歸納.由于指數函數有過類似的探究，這里要將對數函數分為和兩類來討論，對學生來說就很容易了.
在上述思考和探究的過程中，同樣要有意識地向學生滲透數形結合的思想方法，引導學生“以形助數”，先觀察圖象得到圖象的特征，然后再將圖象特征轉化為函數性質，逐步完成表4.4-2的內容.
3.反函數的教學
《標準（2017版）》只要求學生知道同底的指數函數與對數函數互為反函數.教學中應注意按照函數的三要素來認識它們之間的關系，其中指數函數的定義域是對數函數的值域，指數函數的值域是對數函數的定義域.不要求學生討論形式化的反函數定義，也不要求學生求已知函數的反函數.
（1）教科書在對數函數的概念中，已經從圖象直觀和函數定義兩個方面說明指數函數，與對數函數，的關系，這里只是進一步說明這兩個函數互為反函數，并強調了二者的定義域和值域的關系.
（2）第135頁的“探究”是讓學生再次通過和這一對具體的反函數，進一步明確同底的指數函數與對數函數互為反函數.
（3）如果有學生對反函數的學習還有需求或興趣，可以引導他們去研究“探究與發現”中的問題，從而進一步了解互為反函數的兩個函數圖象間的關系.但這部分內容不作為一般要求.
4.信息技術的使用
為了便于作圖，并易于概括出對數函數的性質，與指數函數一樣，本小節可以在以下兩方面使用信息技術.
（1）在同一平面直角坐標系內畫出取任意值時函數的大量圖象.可以設置的取值，然后通過控制的連續變化展示對應函數圖象的分布情況；還可以逐個地取的值，然后分別作出對應函數的圖象.
（2）計算函數的自變量取值及其對應的函數值并列表，然后將所得有序實數對描點并畫出函數的圖象.同理，作出函數的圖象.跟蹤函數圖象上的點，觀察這些點關于軸的對稱點，發現所有的對稱點均在函數的圖象上，并由相互對稱的點的坐標關系分析函數與的關系.
5.例題教學
例3的主要目的是利用對數函數的單調性比較兩個數的大小，根據問題的特點構造適當的對數函數是關鍵也是難點.本例能讓學生進一步熟悉對數函數的性質，并促使他們形成用函數觀點解決問題的意識.例4的主要目的是利用對數函數的概念和性質解決問題.本例能讓進一步熟悉對數函數的性質，并促使學生形成用函數觀點解決問題的意識.
4.4.3不同函數增長的差異
1.探究指數函數與一次函數的增長差異
本章就是通過指數函數與一次函數增長差異的實例引入指數函數的概念，本小節進一步以具體函數為例，通過探究讓學生進一步體會它們的增長差異，從而對指數函數有進一步的認識.
教科書是從一個較小的范圍到一個較大的范圍，讓學生通過圖象和數表逐步觀察函數和的增長變化情況，在區間上，可以觀察到兩個函數的增長差異不大；而在區間上，則可以觀察到兩個函數的增長差異就很大.如果在更大的范圍內，兩個函數的增長差異就更加明顯了，這正說明了指數函數的增長由慢變快且越來越快的爆炸性增長的特點.
這里之所以選擇一次函數與指數函數進行比較，除了能體現這兩種函數的增長差異外，還能較好地體現指數函數爆炸性增長的特點.在實際教學中，還可以選擇其他的一次函數和指數函數進行比較.這里主要是讓學生直觀地感受不同函數的增長差異，不必給出嚴格的證明.
2.探究對數函數與一次函數的增長差異
與指數函數類似，教科書也是通過探究，讓學生根據圖象和數表逐步觀察兩個具體函數和的增長變化情況.在區間上，可以觀察到兩個函數的增長存在明顯的差異.為了更好地體現對數增長逐漸趨緩的特點，教科書還進一步提出了“思考”問題，將放大1000倍，提高其增長速度，然后再與進行比較，讓學生得到類似的結論.
之所以選擇一次函數而沒有選擇與對數函數進行比較，是因為的增長速度比慢，這樣更能體現對數函數增長逐漸趨緩的特點.在實際教學中，還可以選擇增長速度更慢的一次函數與對數函數進行比較，或將放大更多倍.另外，也可以在更大范圍內觀察一次函數與對數函數的增長差異.這里主要也是讓學生直觀地感受不同函數的增長差異，不必給出嚴格的證明.
3.理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸"的含義
第136頁的“探究”主要是為了讓學生感受到指數函數與一次函數的增長差異，初步體會“指數爆炸”；第137頁的“探究”主要是為了讓學生感受到對數函數與一次函數的增長差異，初步體會“對數增長”；第138頁的“探究”將指數函數、對數函數和一次函數放在一起進行比較，主要是為了讓學生進一步感受三者的增長差異，再次從圖象上直觀地體會“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”的含義.學生有了對不同函數增長差異的認識，在后續學習中就能根據這種增長差異，選擇合適的函數類型構建數學模型、刻畫現實問題的變化規律，并更好地理解不同函數類型的特點，逐步理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”的含義.
4.信息技術的使用
在本小節的教學中，信息技術將起到至關重要的作用.教科書主要是通過圖象和表格數形結合地體現各個具體函數之間增長變化的差異.如果沒有信息技術，要計算出各個函數的值并準確地畫出它們的圖象，幾乎是不可能的.特別是想根據需要觀察不同范圍內各函數間增長的差異，只有通過信息技術改變坐標單位或視窗設置才能方便實現.
教學中，不僅可以利用信息技術分別作出教科書中各個具體函數的圖象及其對應的表格，還可以設置，，的取值，并通過控制，，的連續變化展示對應的函數，，和的圖象的增長變化情況.
5.練習教學
本小節設置了三個“探究”和一個“思考”，沒有設置例題，練習要結合“探究”和“思考”的結論來完成.
練習第1題，通過比較不同變量的值，理解“指數爆炸”的含義.
練習第2題，通過比較具體的指數函數和一次函數的增長差異，進一步理解“直線上升”和“指數爆炸”的含義.
練習第3題，利用函數圖象解決問題，進一步體會對數函數和一次函數增長的差異.
練習第4題，根據不同函數增長的差異選擇函數模型，進一步理解“對數增長”的含義.

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