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《對數函數》真題探源
考情揭秘 對數函數是高考考查的重點,常考查對數函數的概念、圖像,利用對數函數的單調性比較大小、解不等式等,多以選擇題或填空題的形式出現.
題型1 求對數型復合函數的定義域
例1（1）（2017·山東高考）設函數的定義域為A,函數的定義域為B,則A∩B=（ ）.
A.（1,2）
B.（1,2]
C.（-2,1）
D. [-2,1）
（2）（2018·浙江學考）函數的定義域是（ ）.
A.（0,2]
B.[0,2）
C.[0,2]
D.（0,2）
（3）（2018·江蘇高考）函數的定義域為 .
真題探源 對數函數的定義域是最基本的考查內容之一.教材講練中都進行了重點討論,如P130例1和P131練習第1題,P140習題4.4第1題都是求對數函數的定義域,考查數學運算的核心素養.
思路點撥 （1）由題意可知A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故A∩B={x|-2≤x<1},故選D.
（2）由函數的解析式,可得,解不等式可得函數的定義域是（0,2],故選A.
（3）由.
答（1）D（2）A（3）{x|x≥2}
解題技巧
求對數函數定義域的注意事項
求與對數函數有關的函數定義域時,除遵循前面已學習過的求函數定義域的方法外,還要對這種函數自身作如下要求：一是要特別注意真數大于零；二是要注意對數的底數大于零且不等于1；三是按底數的取值應用單調性解不等式.
題型2 求對數型復合函數的值域
例2（1）（全國Ⅱ高考）下列函數中,其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是（ ）.
A.y=x
B.
C.
D.
（2）（福建高考）若函數的值域是[4,+∞）,則實數a的取值范圍是 .
真題探源 對數函數的值域為R,但一旦x的取值范圍有一定的限制時,值域也隨之發生改變.教材在P160復習參考題4中的第5題就是對數函數當x>1時值域的問題.考查數學運算的學科素養.
思路點撥 （1）方法一（通性通法）：函數的定義域為（0,+∞）,又當x>0時,=x,故函數的值域為
（0,+∞）.只有D選項符合.
方法二（最優解法）：易知函數中x>0,排除選項A,C；又必為正值,排除選項B.故選D.
（2）因為所以當x≤2時,≥4.
又函數的值域為[4,+∞）,所以當x>2時,有解得1答（1）D（2）（1,2]
答題模板
對數型復合函數的值域的求解方法與步驟
對于形如的復合函數,其值域的求解步驟如下：
第1步：分解成兩個函數；
第2步：求的定義城；
第3步：求u的取值范圍
第4步：利用的單調性求出的范圍.
題型3 對數函數的圖像
例3（1）（2018·全國Ⅲ高考}下列函數中,其圖像與函數y=的圖像關于直線x=1對稱的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（2018山東青島二中高一期中）函數的大致圖像是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（3）（2019·浙江高考）在同一直角坐標系中,函數,的圖像可能是（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 對數函數的圖像是本節教材中一個重要的內容.教材在P132-P133講解了如何作圖像,將a>1和0思路點撥 （1）函數關于y軸對稱的圖像對應的函數是.由于所求函數的圖像與的圖像關于直線x=1對稱,故只需將的圖像向右平移2個單位即可.即,故選B
（2）當x>0時,,即可排除選項A,B,C,故選D.
（3）在函數,中,當a>1時,可得是遞減函數,圖像恒過（0,1）點, 是遞增函數,圖像恒過,當1>a>0時,可得是遞增函數,圖像恒過（0,1）點,是遞減函數,圖像恒過,∴滿足要求的圖像為D.故選D.
答（1）B（2）D（3）D
題型4 利用對數函數的性質比較大小
例4（1）（2018·天津高考）已知,則a,b,c的大小關系為（ ）.
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
（2）（2019·全國高考Ⅲ）設是定義域為R的偶函數且在（0,+∞）單調遞減,則（ ）.
A.
B.
C.
D.
真題探源 本題取材于教材P133例3、P135練習第2題、P140習題4.4第13題等.利用函數的單調性比較大小是函數單調性應用的一個重要課題,因而一直是高考的熱點問題,我們必須熟練掌握其解題方法、技巧.考查數學建模與數學運算的學科核心素養.
思路點撥 （1）∵,
又,所以c>a>b.
（2）∵是R上的偶函數,∴.
∵,又在（0,+∞）單調遞減,∴,∴,故選C.
答（1）D（2）C
答題模板
中間值法比較對數式大小的答題步驟
中間值法比較數式大小就是在比較不同類型的數式大小時,根據它們的結構特點尋找一些中間值,如0,1等,得到其大小關系的一種判斷方法.對于對數式,底數不同、真數也不同,通常利用中間量比較大小.
第一步：確定范圍.將需要比較大小的對數式利用各自對應的函數去尋找一個中間值,得到各自所在的范圍.
第二步：比較大小.通過各個對數式對應的范圍即可得到它們的大小順序.
第三步：得到結論.根據對數式的大小順序得到正確的答案.
題型5 對數型復合函數的奇偶性與單調性
例5（1）（2017·全國Ⅱ高考）函數的單調遞增區間是（ ）.
A.（-∞,-2）
B.（-∞,1）
C.（1,+∞）
D.（4,+∞）
（2）（2019·山西陽泉高三八月統考）已知函數=
則的值為( ).
A.-4
B.-2
C.0
D.2
（3）（湖南高考）設函數,則是（ ）.
A.奇函數,且在（0,1）上是增函數
B.奇函數,且在（0,1）上是減函數
C.偶函數,且在（0,1）上是增函數
D.偶函數,且在（0,1）上是減函數
（4）（2018·全國Ⅲ高考）已知函數,則 .
真題探源 對數型復合函數的奇偶性、單調性的研究在教材習題中多次出現.如P161復習參考題4的第11題就是討論對數函數的奇偶性的問題,考查數學運算和邏輯推理的核心素養.
思路點撥 （1）由得x<-2或x>4.因此,函數的定義域是（-∞,-2） （4,+∞）.注意到函數在（4,+∞）上單調遞增,由復合函數的單調性法則知,的單調遞增區間是（4,+∞）.故選D.
（2）2=4,
,.故選C.
（3）由題意可得,函數的定義域為（-1,1）,關于原點對稱,且,故為奇函數,
又,易知在（0,1）上為增函數,故在（0,1）上為增函數,選A.
（4）設,
易證為奇函數,且..
答（1）D（2）C（3）A（4）-2
解題通法
解決對數函數綜合問題的方法
對數函數常與函數的奇偶性、單調性、最值以及不等式等問題綜合,求解中通常會涉及對數運算.解決此類綜合問題,首先要將所給的條件進行轉化,然后結合涉及的知識點,明確各知識點的應用思路、化簡方向,與所求目標建立聯系,從而找到解決問題的思路.
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