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《對數(shù)函數(shù)》能力探究
概括理解能力、分析計算能力 對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解策略
對數(shù)型函數(shù)是考查定義域問題的重點函數(shù),求對數(shù)型函數(shù)的定義域主要從以下幾方面考慮:
(1)真數(shù)大于0.
(2)底數(shù)大于0,且不等于1.
(3)分式中的分母不等于0.
(4)偶次根式中被開方數(shù)大于或等于0.
(5)指數(shù)為0的冪的底數(shù)不等于0.
(6)根據(jù)底數(shù)的取值確定函數(shù)的單調(diào)性.
典例1 [數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理]函數(shù)的定義域為( )
A.
B.
C.
D.
解析:求給定函數(shù)的定義域往往需轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,進(jìn)行推理、運(yùn)算.本題根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,分式中的分母不等于0列不等式,解不等式得函數(shù)定義域.具體解題過程如下:由得故函數(shù)的定義域為.
答案:
分析計算能力 對數(shù)型函數(shù)的值域與最值的求解策略
1.求對數(shù)函數(shù)或與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值),一般是根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行求解,若需要換元,需考慮新元的取值范圍.
2.對于形如,且的復(fù)合函數(shù),其值域的求解步驟如下:
(1)分解成兩個函數(shù);
(2)求的定義域;
(3)求的取值范圍;
(4)利用的單調(diào)性求解即可.
典例2 [邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算]設(shè),且,求函數(shù)的最大值與最小值.
解析:求函數(shù)的最值時,注意定義域?qū)λ挠绊?再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析、計算和邏輯推理,具體解題過程如下:
∵,設(shè),又,即.又因為是關(guān)于的減函數(shù),因此,函數(shù)(的最大值是,最小值是.
分析計算能力、推測解釋能力 對數(shù)式的比較方法
1.單調(diào)性法:比較同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小,構(gòu)造對數(shù)函數(shù),明確所給的兩個值是哪個對數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,底數(shù)與1的大小關(guān)系,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
2.中間量法:比較不同底數(shù)對數(shù)的大小,常借助于中間值0進(jìn)行比較,利用口訣“同大異小”判斷對數(shù)的符號;對于對數(shù)和均與1比較大小,當(dāng)和都同大于(小于)1時,,否則.
3.分類討論法:比較同底數(shù)(不是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小,構(gòu)造對數(shù)函數(shù),分類討論對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
4.比較多個對數(shù)式的大小,則應(yīng)先根據(jù)每個對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,以及它們與中間量“0”和“1”的大小情況進(jìn)行分組,再比較各組內(nèi)的對數(shù)式的大小即可.
5.比較含參數(shù)的兩個對數(shù)式的大小,要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論,有時也要注意挖掘所給對數(shù)式的隱含條件.
典例3 [邏輯推理](1)(2018黑龍江哈爾濱三中高一檢測)已知,則下列函數(shù)值的大小關(guān)系是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山東青島二中期末)三個數(shù),的大小關(guān)系是( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019山東曲阜期末考試)已知實數(shù)的大小關(guān)系是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題主要運(yùn)用邏輯推理、分析計算和對數(shù)式的比較方法解題.具體解題過程如下:
(1)∵函數(shù)的圖象單調(diào)遞增,∴.
(2)∵.
(3)∵.
答案:(1)B (2) A (3)D
分析計算能力 對數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法
1.形如的不等式,借助的單調(diào)性求解,如果的取值不確定,需分與兩種情況進(jìn)行討論.
2.形如的不等式,應(yīng)將化為以為底數(shù)的對數(shù)式的形式,再借助的單調(diào)性求解.
3.形如,且均不等于的不等式,可利用換底公式化為同底的對數(shù)進(jìn)行求解,或利用函數(shù)圖象進(jìn)行求解.
典例4 [數(shù)學(xué)運(yùn)算]解不等式:2).
解析:解對數(shù)不等式的關(guān)鍵在于不等式變形,然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解運(yùn)算.具體解題過程如下:
原不等式可化為,即,即原不等式的解為.
綜合問題解決能力 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略
1.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分兩類:一類是對數(shù)函數(shù)為外函數(shù),即且型;另一類是對數(shù)函數(shù)為內(nèi)函數(shù),即且型.
2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略
(1)確定函數(shù)的定義域.
(2)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性.
(3)結(jié)合底數(shù)或確定函數(shù)的單調(diào)性.
函數(shù),且1)的單調(diào)性 函數(shù),且的單調(diào)性
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞減
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增
典例5 [數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理](1)(2019山西陽泉統(tǒng)考)已知函數(shù),且4,則的值為( )
A.
B.
C.0
D.2
(2)設(shè)函數(shù),則是( )
A.奇函數(shù),且在上是增函數(shù)
B.奇函數(shù),且在上是減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在上是增函數(shù)
D.偶函數(shù),且在上是減函數(shù)
解析:本題綜合了對數(shù)函數(shù)、其他常用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等知識,進(jìn)行綜合運(yùn)算和步步推理.具體解題過程如下:
(1),又.
(2)由題意得,函數(shù)定義域為,關(guān)于原點對稱,且為奇函數(shù),又,得在上為增函數(shù),故在上為增函數(shù).
答案:(1)C (2)A
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