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《對數(shù)函數(shù)》知識探究
探究點1 對數(shù)函數(shù)的概念
判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù):
(1)形如;
(2)底數(shù)滿足,且;
(3)真數(shù)為,而不是的函數(shù);
(4)定義域為.
【要點辨析】
學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)概念的注意事項
(1)對數(shù)符號前面的系數(shù)是1.
(2)由指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系知,對數(shù)函數(shù)的自變量恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,所以對數(shù)函數(shù)的定義域是.
(3)對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的限制條件:,且.
學(xué)科素養(yǎng):根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念、推測解釋,從而解決問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).
典例1 [概括理解能力]已知下列函數(shù)①;②;③;④是常數(shù)).其中是對數(shù)函數(shù)的是__________(只填序號).
解析:本題主要考查根據(jù)對數(shù)函數(shù)概念判斷命題是否成立,具體解題過程如下:根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是,而不是的函數(shù);對數(shù)函數(shù)的系數(shù)是1;對數(shù)函數(shù)的底數(shù),且得到①②④都不是對數(shù)函數(shù).
答案:③
探究點2 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.對數(shù)函數(shù),且的圖象特點
(1)圖象在軸右側(cè),且過點.
(2)圖象都無限地靠近軸,但不會與軸相交.
(3)當(dāng)時,圖象自左向右“上升”,當(dāng)時,圖象自左向右“下降”.
2.底數(shù)對函數(shù)圖象的影響
(1)底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”:當(dāng)時,對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;當(dāng)時,對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.
(2)函數(shù)與,且的圖象關(guān)于軸對稱.
(3)底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低:不論是還是,在第一象限內(nèi),自左向右,圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.
①上下比較:在直線的右側(cè),時,越大,圖象向右越靠近軸;時,越小,圖象向右越靠近軸.
②左右比較:比較圖象與直線的交點,交點的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.(如圖所示)
【要點辨析】
兩個單調(diào)性相同的對數(shù)函數(shù),它們的圖象在位于直線右側(cè)的部分是“底大圖低”.(如圖所示)
學(xué)科素養(yǎng):利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).
典例2 [分析計算能力](1)(2018廣東汕頭一中期中)已知,且,則函數(shù)的圖象必過定點_________.
(2)若函數(shù),且的圖象恒過定點,則實數(shù)的值分別為_________.
(3)(2018江蘇徐州一中高一檢測)設(shè),,其中.
①若,求的值;
②若,求的取值范圍.
解析:通過對數(shù)函數(shù)的圖象特征和基本性質(zhì)分析計算解決本題.具體解題過程如下:
(1)當(dāng)即時,恒成立,所以的圖象必過定點.
(2)∵函數(shù)的圖象恒過定點將代入,得,又當(dāng),且時,恒成立,∴.
(3)①∵,
∴,解得,經(jīng)檢驗,在函數(shù)的定義城內(nèi),
∴.
②,
即,
∴解得,
∴的取值范圍為.
探究點3 對數(shù)函數(shù)圖象的變換
1.常見的圖象變換
一般地,函數(shù)(為正數(shù))的圖象可由函數(shù)的圖象變換得到.
將的圖象向左或向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,再向上或向下平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象(記憶口訣:左加右減,上加下減)
2.含有絕對值的函數(shù)的圖象變換
一般地,的圖象是與直線對稱的對稱圖形;函數(shù)的圖象與的圖象在軸上方相同,在軸下方關(guān)于軸對稱.
【要點辨析】
常見的對數(shù)圖象變換:
學(xué)科素養(yǎng):利用對數(shù)函數(shù)圖象的變換解決對數(shù)型函數(shù)的圖象問題,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).
典例3 [觀察記憶能力]函數(shù)是( )
A.
B.
C.
D.
解析:解決此類問題可以根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)變換解析式,也可以觀察圖象,用排除法,具體解題過程如下:
方法一:,而的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱,所以將的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象.
方法二:根據(jù)定義域、單調(diào)性排除選項A、B、D.
答案:C
探究點4 幾類函數(shù)模型的增長差異
1.幾類不同增長的函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型的增長特點是直線上升,其增長速度不變.
(2)指數(shù)函數(shù)模型的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇上升,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.
(3)對數(shù)函數(shù)模型的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.
(4)冪函數(shù)模型:當(dāng)時,冪函數(shù)是增函數(shù),且當(dāng)時,越大其函數(shù)值的增長就越快.
2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異
一般地,在區(qū)間上,盡管函數(shù),和都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.
隨著的增大,的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于的增長速度,而的增長速度會越來越慢.
因此,總會存在一個,當(dāng)時,就有.
3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長趨勢比較
性質(zhì)函數(shù)
在上的 單調(diào)性 遞增 遞增 遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 越來越快
圖象的變化 隨x的增大 越來越陡 隨x的增大逐漸變緩 隨著n值的 不同而不同
【要點辨析】
1.進一步理解三個增長函數(shù)模型
(1)直線上升,其增長量固定不變.
(2)指數(shù)增長,其增長量成倍增加,增長速度是直線上升無法企及的,隨著自變量的不斷增長,直線上升與指數(shù)增長的差距越來越大,當(dāng)自變量很大時,這種差距大得驚人,因此指數(shù)增長可以用“指數(shù)爆炸”來形容.
(3)對數(shù)增長,其增長速度平緩,當(dāng)自變量不斷增大時,其增長速度小于直線上升的速度.
2.選取上述三個增長函數(shù)模型時,應(yīng)注意:
(1)當(dāng)描述增長速度變化很快時,常常選用指數(shù)函數(shù)模型.
(2)當(dāng)要求不斷增長,但又不會增長過快,也不會增長到很大時,常常選用對數(shù)函數(shù)模型.
(3)冪函數(shù)模型可以描述增長幅度不同的變化,當(dāng)值較小時,增長較慢;當(dāng)值較大時,增長較快.
學(xué)科素養(yǎng):通過分析函數(shù)模型的增長差異,解決函數(shù)相關(guān)問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理核心素養(yǎng).
典例4 [推測解釋能力、分析計算能力](1)(2018四川宜賓二中月考)在一次數(shù)學(xué)實驗中,采集如下一組數(shù)據(jù):
x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近 (其中為待定系數(shù))( )
A.
B.
C.
D.
(2)某個病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為(其中為常數(shù),表示時間,單位:小時,表示病毒個數(shù)),則_________,經(jīng)過5小時,1個病毒能繁殖__________個.
(3)如圖所示,函數(shù)和的圖象交于點,且.①請指出示意圖中曲線分別對應(yīng)哪一個函數(shù);②結(jié)合函數(shù)圖象,比較,的大小.
解析:(1)根據(jù)表中的數(shù)對畫圖象是解題的關(guān)鍵.如圖:
(2)用代入法解決本題,當(dāng)時,,∴.當(dāng)時,.
(3)明確指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三種常見函數(shù)的遞增特點是解決此類問題的關(guān)鍵.具體解題過程如下:
①曲線對應(yīng)的函數(shù)為,曲線對應(yīng)的函數(shù)為.
②∵,019.由圖可知,當(dāng)時,;當(dāng)時,,且在上是增函數(shù),∴.
答案:(1)B (2)
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