資源簡介

4.5函數的應用（二）
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：函數零點與方程解的關系，函數零點存在定理的應用，用二分法求方程近似解的思路與步驟，用函數建立數學模型解決實際問題的基本過程.
難點：函數零點存在定理的導出，用二分法求方程近似解的算法，選擇恰當的函數模型分析和解決實際問題.
三、教科書編寫意圖及教學建議
為了突出函數應用的廣泛性，加強函數與其他數學知識的聯系性，本節在函數應用（一）的基礎上，進一步從兩個方面展開函數應用，安排了函數在學科內外的應用.前兩小節是數學學科內部的應用：第一小節是為了建立求方程近似解的理論依據，研究從函數特征判定方程實數解的存在性；第二小節是用這個理論依據得到求方程近似解的二分法.第三小節是函數模型的實際應用，意在從現實背景體現出函數的應用價值.
函數的應用（一）重點取材于一次函數、二次函數、冪函數等函數圖象與性質的實際應用，而函數的應用（二）一方面是側重于函數與方程的相互關系，突出用函數性質求方程近似解的基本方法（二分法）；另一方面是側重于用函數構建數學模型的基本過程，突出用“指數型”函數和“對數型”函數模型發現和提出問題、分析和解決問題的過程和方法.
本節函數的應用，一是力圖進一步采用從特殊到一般的方式，幫助學生從函數的觀點認識方程，了解用二分法求方程近似解的思路、步驟和算法，提升數學運算素養；二是力圖追求問題情境的真實性與例題設問的典型性，強調數學模型的廣泛應用和參數的現實意義，著眼于學生對數學應用的理解，認識數學的價值，提升數學建模素養.
4.5.1 函數的零點與方程的解
教科書按照“函數零點的概念—函數零點存在定理—應用函數零點存在定理和函數性質判定方程的解”的路徑展開，這樣可以幫助學生能夠更好地從函數的觀點認識方程.教科書先通過一個“思考”，從研究不能用公式求解的方程
（如）出發，在二次函數零點的基礎上，直接引出一般函數零點的概念；再通過二次函數零點存在的特征，導出一般函數零點存在定理，并用例1說明函數零點存在定理的應用，這種從特殊到一般的抽象概括過程，易于學生接受.與上一版教科書相比，本版教科書將零點概念前移，將原來“方程的根與函數的零點”的順序調整為“函數的零點與方程的解”，并給出“函數零點存在定理”的名稱，同時調整了例題要求.這種處理加強了該內容作為數學內部應用的定位，突出了函數的核心地位，并將重心放在應用函數性質研究方程的解上.
在本小節內容教學中，既要體現指數函數和對數函數的應用，又要體現函數性質的應用；既要利用函數的局部性質分析其整體性質，注重用函數特征來判定方程解的存在，又要體現用函數觀點研究方程解的基本方法，突出函數零點與方程解的有機聯系，通過函數的應用，突出數學運算素養.
本小節的教學可按照“概念—定理—應用”的線索展開，在函數的零點與方程的解的轉換過程中，逐步滲透化歸與轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想，以此幫助學生通過直觀想象進一步領悟函數的本質.
1.函數零點的概念
首先，教科書類比二次函數的零點直接給出函數零點的概念，這既符合《標準（2017年版）》的意圖，又遵循了學生的認知規律，利于學生把握函數零點的本質.因此，教學時要用函數的觀點說明學習的必要性.教學時可結合本節后面的閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”，從高次代數方程解的探索歷程，引導學生認識函數與方程的關系，并形成先將方程的問題轉化成函數問題、再利用函數的性質解決問題的習慣.
其次，教科書類比“一元二次方程有實根一元二次函數有零點一元二次函數的圖象與軸有公共點”，得出“方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點”的結論，對學生而言也是順理成章的推理，沒有必要作多余的解釋.因此，教學中，利用好由具體到抽象的方法，順其自然地導出一般函數零點的概念并得到相應結論，是把握函數零點概念教學的關鍵.
2.函數零點存在定理的教學
教科書通過“探究”，讓學生觀察對應的二次函數在區間端點上的函數值之積的特點，引導學生發現連續函數在某個區間上存在零點的判定方法，在此基礎上給出函數零點存在定理.教學時可按照“導出定理—了解定理—應用定理”展開.
（1）在“導出定理”環節，要讓學生認真思考、仔細分析“探究”中的問題.實際上，這是一個數形結合、將形轉化為數的過程.其中，“函數圖象與軸的關系”不僅僅是“有公共點”，更重要的是“穿過”軸.在“圖象連續不斷”的條件下，把“圖象穿過軸”（形）用“函數的取值規律”（數）來表達，就是“兩側端點的函數值異號”，即.在以往的學習中，學生很少接觸這樣的刻畫方法，因此對于學生而言有難度，教師應加強引導.
另外，可以適當借助一些正反例讓學生研究函數零點存在的條件，但不能錯把充分條件當成必要條件去研究.
（2）在“了解定理”環節，定理的兩個條件“在給定區間上連續”和“”缺一不可，但一定要強調它們是充分但不必要的.
當然，作為對函數零點存在定理的一種補充，可讓有興趣的學生適當了解該定理的數學史背景：函數零點存在定理在數學分析上是“閉區間上連續函數的介值定理”的特例，是捷克數學家波爾察諾在1817年首先證明的.但由于當時缺乏實數理論，證明不嚴格，后由德國數學家魏爾斯特拉斯將這個證明嚴密化.這些素材能讓學生感受到數學文化方面的熏陶，提高學習的積極性和主動性.有條件的學校，可以酌情給學有余力的學生補充該定理的證明思路或提供學生自學的課外讀物.
（3）在“應用定理”環節，首先要讓學生明確函數零點存在定理為研究方程的解提供了理論基礎，在教科書所給的例1的基礎上，可適當補充相關例子；其次要提醒學生注意，利用這個定理可以證明函數有零點，但不能斷定函數無零點或零點個數，如果要判斷零點的個數，還要與結論“函數在單調區間上最多有一個零點”相結合.在例1的教學中，可以讓學有余力的學生自主探究函數零點存在定理的一個推論：
若在區間上是單調函數，其圖象是一條連續不斷的曲線，且有
，則函數在區間內有且僅有一個零點，即存在唯一的
，使得.
3.例題的教學
（1）發揮問題的作用.對教科書邊空的思考：“為什么由圖4.5-2和
還不能說明函數只有一個零點？”一是要通過舉例說明對于給定閉區間上的函數，“連續不異號”“異號不連續”“不連續不異號”等都不能斷定該函數是否存在零點，從而進一步強化學生對函數零點存在定理的認識：其中的兩個條件只是充分條件，而不是必要條件，而且即使是滿足了這兩個條件，也不能斷定零點的個數.二是在此基礎上，引導學生研究函數在某個區間上存在零點時，應借助函數的單調性來判斷是否只有一個零點.
（2）拓展求解思路.對于函數單調性的探究，可有意識地引導學生先將其轉化為兩個基本函數與，由于它們在內都單調遞增，從而推斷出函數在內是增函數，再要求學生用單調函數的定義加以證明.
（3）挖掘隱含價值，可從以下兩個方面進行挖掘：
①挖掘解法的一般性.根據例1的求解過程，可讓學生通過探究得出“函數在單調區間上最多有一個零點”的結論，再進一步得到上述函數零點存在定理的推論.這個推論在后繼學習與練習中經常要用到，其探究與發現過程，有助于提升學生的數學抽象素養.
②探究解法的多樣性.在說明例1的函數在區間內至少有一個零點的教學中，除了強化教科書給出的解法之外，還可啟發學生考慮以下思路：
通過嘗試函數的取值，尋找函數零點所在的區間.設函數，則，，所以在區間上，有，由函數零點存在定理可知，函數在區間內至少有一個零點.
如果能借助信息技術畫出函數圖象，那么方程的有解區間就容易確定；如果沒有條件畫出函數的大致圖象，還可以采用嘗試或轉化的方法探索方程的有解區間，這樣做也有助于提高學生的估算意識，養成近似計算的習慣，提升數學運算素養.
通過例1的教學，還可引發學生進一步思考：觀察函數的圖象，借助計算工具，你能進一步縮小函數零點所在的范圍嗎？從而為下節內容的學習埋下伏筆.
4.5.2用二分法求方程的近似解
教科書按照用二分法求方程近似解的步驟一步步展開，既滲透了逼近思想和算法思想，又讓學生經歷了觀察發現、抽象概括的過程.通過本小節的學習，主要幫助學生能夠以函數的觀點認識方程，會根據函數性質用二分法求方程的近似解.
教科書將方程的求解問題貫穿于函數零點與二分法的學習之中，先介紹二分法的基本思路，再提煉二分法的一般步驟，體現了從特殊到一般的歸納；再在例2中應用二分法的步驟，強調使用二分法的程序性，體現了從一般到特殊的演繹.
二分法的教學可按照“求方程近似解—求函數零點—縮小區間逼近零點—二分法”的過程展開，在解決問題的過程中提升數學抽象和數學運算素養.
本小節的教學，既要讓學生了解二分法的來龍去脈，又要讓學生在近似計算中感受逼近和算法的思想.必須要讓學生明確的是，使用二分法的依據是方程所對應的函數的性質，關鍵是按照步驟“通過縮小區間逼近零點”.
1.為什么要學習二分法
主要是為了加強函數的應用，通過引入函數零點，將方程的解轉化為函數零點，然后用二分法求出方程的近似解，拓展了解方程的思想方法；其次是利用二分法求方程近似解時的程序性來體現算法思想，讓學生通過二分法的學習，體會按照明確步驟解決問題的重要性.
2.函數零點存在定理的證明
為了更好地理解二分法，這里給出函數零點存在定理的證明，供教學時參考.
不妨設，，將區間二等分，分點為.
（1）若，則就是函數的零點，定理得證.
（2）若（下面的證明均假設分點不是零點），則或.
當時，滿足，則令，；
當時，滿足，則令，.
（3）重復（2）的過程，可得到：，各區間的中點為.
由假設，，區間的長度逐漸減半且趨于0.
由，可知數列單調遞增有上界，數列單調遞減有下界，因為單調有界數列必有極限，所以與都存在.
于是由，可得，記這個極限值為，即，由極限的保號性可知.
又由為連續函數，且，可得，
，，所以.
盡管函數零點存在定理只解決了零點的存在性問題，但由其證明過程卻可以發現求函數零點近似值的方法：隨著的增大，區間的長度越來越小，區間的兩個端點越來越逼近零點，所以我們可以用這個區間中的任意一點作為零點的近似值.特別地，可以用區間端點的值作為的近似值：（不足近似值），或（過剩近似值），用區間內的任意一點作為的近似值，其誤差不超過區間長度.這種證明方法就是將區間不斷進行二分以縮小區間的長度，周而復始，使區間中點逐步逼近函數零點的精確值.設想讓這一過程無限進行下去，就能得到函數零點的精確值，所以這種求函數零點的方法就叫做“二分法”，弄清楚函數零點存在定理的這個證明，對理解二分法很有幫助.
理論上二分法是可以無限進行下去的，但實際上往往只需要求滿足某種精度要求的近似解，因此可以編制計算程序，借助計算工具替代人工做重復的運算，將這種方法進行所需要的次數，從而達到理想的誤差要求.
當然，盡管區間的分法還有其他方法，如三等分、四等分、黃金分割等，但二分法僅是最簡單的一種，而且二分法容易建立前后之間的迭代關系，保證一定的收斂速度，利于算法的實現.不過，二分法求近似解的缺陷也很明顯，它適用于求有解區間內的單實數解或奇次重實數解的近似值，不能用于求偶次重實數解的近似解.
3.信息技術的應用
現代信息技術都已經具有強大的計算與作圖功能，通過輸入方程的表達式，就能得到方程的精確解或近似解；通過輸入函數的解析式，就能畫出相應函數的圖象，再分析函數的零點，也能得到方程的精確解或近似解.因此，在二分法的教學中，要注意恰當地融入信息技術，突出它的作用：一是利用信息技術作出函數圖象，幫助直觀地確定函數零點所在區間；二是信息技術為學習二分法提供了快速計算的工具，有助于提高運算的效率，減少人為重復的運算；三是信息技術為學習二分法提供了驗證的工具，有助于檢驗結論的正確性.當然，要注意防止錯誤地使用信息技術，而影響了應用函數和對二分法的理解.
例如，在求方程與的近似解的過程中，既要借助信息技術畫出對應函數的圖象和計算相應的函數值，形成對函數有零點的直觀認識、驗證方程近似解的精確度、讓學生逐步形成估算的習慣、突出函數性質的應用，又要杜絕不經歷分析和求解過程而直接利用信息技術得解.使用信息技術，可以更好地理解二分法的算法思想，探索相應的結論，突出動手操作的過程，這是提升學生運算素養的一種有效途徑.
4.例題和練習的教學
（1）可以類比例1，讓學生證明例2的方程只有一個實數解.
因為，，所以有，由函數零點存在定理可知，函數在區間內至少有一個零點；又容易證明函數在上是增函數，所以函數在上最多有一個零點.于是，函數有唯一的零點，即原方程只有一個實數解.
（2）在例2的教學中，要區分清楚“精確度”與“精確到”這兩個極易混淆的概念.
精確度是指近似值與其準確值的接近程度，近似值的誤差不超過某個數，即，就說它的精確度是，一般地，對于數值，如果要獲得它滿足精確度的近似值，就可以找一個包含的區間，使得即可.
精確到是按四舍五入的原則得到準確值的前幾位的近似值，的最后一位有效數字在某一數位，就說精確到某一數位.即若的近似值為.，其中，為整數，，，，都是0～9中的任一整數，
且，則稱近似值具有位有效數字或稱精確到.比如，若取3位有效數字，則，即精確到0.01.特別地，若已知精確到的近似值是，由于，則可知的范圍是.
由此可見，“精確度”與“精確到”都是用來刻畫近似值的，但刻畫的角度不同.“精確度”是用準確值所在鄰域的半徑刻畫近似值的近似程度，在精確度限制下近似值為所在區間中的任意值，即近似值有無數個；而“精確到”是用準確值的數位刻畫近似值的近似程度，“精確到”是指所確定近似值的區間的兩端點值精確到時的值相等，因此在“精確到”限制下的近似值是唯一的.
在此基礎上，可結合例2提出思考：如果把例2中對近似解的要求“精確度0.1”，更換為在初中學習時用到的“精確到0.1”，你知道這兩種近似值之間的異同嗎？
事實上，當該近似解要求“精確到0.1”時，此時有解區間的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以該有解區間內的所有數值精確到0.1的近似值都是1.4，因此1.4是原方程精確到0.1的唯一近似解.
由于，所以滿足“精確到0.1”的有解區間一定是滿足“精確度0.1”的有解區間，只是要求的近似解的確定方法有所不同，運算量會不一樣，“精確度0.1”的近似解有無數多個，而“精確到0.1”的近似解只有一個.在初中，只涉及對一個數取近似值，所以用“精確到”比較方便；而在用二分法求方程近似解時，要涉及在一個區間取近似值，并要將這種方法用算式加以表達，所以用“精確度”更合適.
（3）練習第1題可啟發學生思考：所給的函數還有其他零點嗎？若有，這些零點分別在什么區間內？這些問題可以幫助學生形成對三次函數甚至一般的多項式函數零點的認識.
練習第2題中方程近似解的探究，則可仿照例2處理.
4.5.3函數模型的應用
本小節用四個實例介紹利用函數模型解決實際問題的過程，這些例子體現了函數模型應用的兩種情況，一是利用已知函數模型解決實際問題，如例3、例4；二是選擇合適的函數模型解決實際問題，如例5、例6.
1.例題3的教學
例3的人口問題是一個經典的指數增長模型，這個模型的基本條件是年增長率保持不變，并將人口數視作連續變化，因此這個模型采用了簡單化、數學化的處理，這對初學者認識模型的作用很有幫助，由于這個模型在時表示人口隨時間按指數增長規律無限增長，與現實會有一定差距，因而存在一些爭議，但它對人口學和經濟學的發展都產生了一定的影響.本例意在引導學生認識數學模型的含義，并通過驗證問題中的數據與所提供的數學模型是否吻合，體會求解模型的過程，然后再利用模型簡要回答實際問題，初步體驗數學建模的基本步驟.
教學中，應讓學生明確，利用題目中給定的1950年末、1959年末的數據，可以求解給定的模型中的年平均增長率，從而建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.利用這一模型，可以求得我國在1951～1958年期間的各年末人口總數，再與國家統計局網站公布的我國1951～1958年各年末的實際人口總數比較，可以發現，這一模型與我國1950～1959年的實際人口數據是基本吻合的.
例3的問題（3）是利用求得的模型預測大約在什么時候我國人口總數達到13億，經過計算可以發現，得到的結果和實際情況是不相符的.這是因為我們只是根據1950年末和1959年末的數據建立的模型，這一時期我國人口處于自然增長狀態，因此所得的模型與這一時期的人口增長情況基本吻合.而我國在20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，這時的人口增長條件已經不適合馬爾薩斯人口模型的條件了.這一結論也告訴我們，應用已知的函數模型刻畫實際問題時，應注意模型的使用條件，這一點教科書也在邊空進行了說明.
2.例題4的教學
例4通過指數函數模型推斷良渚遺址的年代，意在回答章引言的設問，并引導學生進一步認識這一重要的函數模型，提升學生數學建模素養.
教學中，重在分析題意并指導學生選擇函數建立數學模型，指明數據與字母的實際意義.解決本例的關鍵是理解半衰期與衰減率的含義，解題過程中涉及的多個字母的理解是教學難點.為此，一是注意引導學生認真閱讀教科書正文中涉及碳14衰減的內容，包括指數函數概念引入、閱讀與思考、對數函數概念引入涉及的內容，以加深對此問題背景的理解；二是可以設樣本中碳14的原有含量為1，即取進行計算.
3.例題5的教學
例5的投資回報問題是投資中不可回避的問題，因而具有現實意義，但由于實際投資涉及面廣，因此將模型進行簡單化處理，更有利于學生的學習.本例教學意在通過分析三種不同的投資回報模型，引導學生認識“直線上升”“指數爆炸”“對數增長”的差異，并根據實際情況選擇不同的函數模型.
教學重點是引導學生對三種模型的增長情況進行分析，懂得從增加量和累計的回報數兩個角度入手分析并解決問題，初步發現當自變量變得很大時，指數函數比一次函數增長得快，一次函數比對數函數增長得快，并能借助計算結果與圖象直觀理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義.為了減輕比較分析過程中的運算量，可以利用信息技術，引導學生獲得教科書中的表格和圖象，指導學生通過觀察增加量體會指數函數的增長速度.
教學中，應指出計算每月回報的增加量（或增長率）是對數據的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數模型的增長差異.但要具體到投資的天數，回報的增加量不能作為選擇投資方案的依據，應借助教科書的邊空問題，進一步引導學生考慮累計的回報數.
4.例題6的教學
例6的選擇獎勵模型也是具有實際意義的問題，在管理和經濟問題中，常常選擇像7這樣非e和10的數為底的對數函數來刻畫，所以本例函數模型并非憑空捏造.本例意在引導學生分析實際情況，進一步認識三種函數模型的特點，并通過對比三個函數的增長差異，根據函數性質選擇合適的函數模型.
本例提供了三個不同增長的獎勵模型，只有一個符合要求.教學時應重在分析獎勵方案的具體要求，通過文字、符號與圖象的順利轉化將其數學化，提升數學抽象素養，解題時應從畫函數圖象入手，通過觀察函數的圖象，得到初步的結論，再通過具體計算確認結果，從而培養學生運用函數觀點分析問題的意識.
本小節的四個例題都屬于函數模型的應用，但問題呈現各有側重，例3、例4提供了函數模型，用已知模型解決實際問題，重在通過運算推理求解模型，并將得到的函數模型用于描述實際問題的變化規律，從而解決有關問題；例5、例6則要選擇合適的模型解決實際問題，因此需要先分析和理解實際問題的增長情況，重點考慮是“對數增長”“直線上升”還是“指數爆炸”，然后再根據增長情況選擇函數類型構建數學模型，將實際問題化歸為數學問題.教學中，應引導學生歸納問題特點以及解決問題的過程和方法，注意實際問題的具體背景，并結合三種不同函數模型特點選擇合適的函數模型，重在理解，切忌死記硬背.教學中也要注意借助教科書提供的框圖總結用函數建立數學模型解決實際問題的基本過程.

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