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《函數的應用（二）》真題探源
考情揭秘 函數的零點往往與方程的實根的個數、函數的圖像和性質相結合,考查零點個數的判斷,討論零點的存在區間和零點的個數,有時以求某些參數的范圍的形式考查,二分法的考查主要是對其思想方法、步驟程序的一個考查,通常均是以選擇題和填空題形式出現,但還是有一定的難度.利用指數函數、對數函數模型解應用問題的考查主要是培養學生的建模能力,在自主招生、學科競賽中有一定的指導意義.
題型1 確定函數零點方程的根所在區間
例1（1）（云南學考）函數的零點所在的區間為（ ）.
A.（2,3）
B.（3,4）
C.（0,1）
D.（1,2）
（2）（2017·云南學考）設是常數,,是的零點.若,,則下列不等式正確的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（3）（2017·浙江普通高中學業水平考試）若實數a,b,c滿足1A.在區間（-1,0）內沒有實數根
B.在區間（-1,0）內有一個實數根,在（-1,0）外有一個實數根
C.在區間（-1,0）內有兩個相等的實數根
D.在區間（-1,0）內有兩個不相等的實數根
真題探源 本例取材于教材P144練習第2題及P155習題4.5第2題,主要考查函數零點存在性定理、函數的單調性等基本知識,考查數學運算和邏輯推理的學科素養.
思路點撥 （1）,,所以零點∈（2,3）,故選A.
（2）令,的零點,則,其圖像是由的圖像向下平移2017個單位長度得到的,它與x軸的交點也分別向左、向右移動,故.
（3）,對稱軸,所以在（-1,0）內有兩個不同的零點,故選D.
答（1）A（2）C（3）D
答題模板
確定函數零點所在區間的答題步驟
定理法是指利用函數零點的存在性定理,通過判斷區間端點的函數值的積的符號來確定函數零點的方法.此種方法適用于判斷函數的零點所在的區間、求函數零點的近似值、求方程根的近似值、求兩個函數圖像交點的橫坐標所在的范圍等問題.其步驟為：
第一步：判斷單調性.判斷給出的函數的單調性.
第二步：確定符號.確定區間端點對應的函數值的符號.
第三步：得出結論.通過得到函數零點所在的區間（a,b）.
題型2 確定函數零點的個數
例2（1）（天津高考）已知函數,函數,則函數的零點個數為( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
（2）（2018·河北秦皇島高一期末統考）函數,所有零點組成的集合為（ ）.
A.{1}
B.{-1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
真題探源 本題取材于教材P143例1,主要考查函數的零點的個數、函數的性質及函數的圖像等知識點,意在考查考生的運算求解能力及轉化與化歸思想、數形結合思想,考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科素養.
思路點撥 （1）函數的零點個數即,圖像的交點個數.在同一平面直角坐標系中分別畫和函數的圖像,如圖所示,其中函數的圖像可由的圖像變換得到.由圖可知,函數,的圖像有2個交點,所以函數的零點個數為2.故選A.
（2）令=0,則當x≤0時,由x+1=0得x=-1；當x>0時,由得x=1.因而所有零點組成的集合為{-1,1}.故選C.
答（1）A（2）C
解題通法
判斷函數的零點的個數的方法
（1）解方程法,方程=0的實數根的個數就是函數的零點的個數
（2）借助函數的單調性及函數零點的存在性定理進行判斷；
（3）如果函數圖像易畫出,那么可依據圖像與x軸的交點的個數來判斷.特別地,對于形如的函數,可通過函數與的圖像的交點的個數來判斷函數的零點的個數.
題型3 與函數零點（方程的根）有關的參數問題
例1（1）（2017·全國Ⅲ高考已知函數有唯一零點,則a=（ ）.
A.
B.
C.
D.1
（2）（2018·全國l高考）已知函數,.若存在2個零點,則a的取值范圍是（ ）.
A.[-1,0）
B.[0,+∞）
C.[-1,+∞）
D.[1,+∞）
真題探源 本題主要考查分段函數的零點,考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力,考查的核心素養是邏輯推理、數學運算.
思路點撥 （1）,
令t=x-1,則.∵,函數為偶函數.∵有唯一零點, 也有唯一零點.又為偶函數,由偶函數的性質知,解.故選C.
（2）函數存在2個零點,即關于x的方程有2個不同的實根,即函數的圖像與直線有2個交點,作出直線與函數的圖像,如圖所示.故-a≤1,∴a≥-1.
答（1）C（2）C
解題通法
根據函數零點個數或所在區間求參數的方法
已知函數有零點（方程有根）求參數取值范圍的方法
（1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式,通過解不等式確定參數的取值范圍.
（2）分離參數法；先將參數分離,然后轉化成求函數值域問題加以解決.
（3）數形結合法：先對解析式變形,再在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像,然后利用數形結合思想求解.
題型4 二分法的應用
例4（浙江杭州學業水平測試）函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算所得參考數據如下表：
那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（ ）.
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
真題探源 教材在P145講解了二分法的相關概念后,在P146例2中用表格的形式求出了一系列函數值,然后由表中的相關數據確定方程的近似解所在的區間,進而由精確度確定近似解,與本題是同類型的問題.
思路點撥 ∵,且,方程的一個近似根位于區間（1.4375,1.40625）內.
又∵1.4375,1.40625精確到0.1的近似值均為1.4,
∴方程的一個近似解為1.4,故選C.
答（1）C
答題模板
利用二分法求方程近似解的步驟
（1）構造函數,利用圖像確定方程的根所在的大致區間通常限制在區間（n,n+1）上,n∈Z；
（2）利用二分法求出滿足精確度的方程的根所在的區間M
（3）區間M內的任意實數均是方程的近似解,通常取區間M的一個端點.
題型5 指數函數、對數函數模型的應用
例5（2018·溫州二中高一檢測）某地區發生里氏8.0級特大地震.地震專家對發生的余震進行了監測,記錄的部分數據如下表：
強度（J）
震級（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震強度是指地震時釋放的能量.
地震強度（x）和震級（y）的模擬函數關系可以選用y=（其中a,b為常數,a≠0）來表示.利用散點圖可知a的值約為 .（取進行計算）
真題探源 本題取材于教材P152例6,主要考查對數運算以及分析、解決實際問題的能力,考查數學建模和數學運算的學科核心素養.
思路點撥 由表中數據作出散點圖,如圖
由記錄的部分數據可知
當時,y=5.0；當時,y=5.2,
所以②-①得.所以.
答
答題模板
解函數模型不定的應用題的步驟
（1）作圖：根據已知數據畫出散點圖.
（2）選擇函數模型：一般是根據散點圖的特征,聯想哪些函數具有類似圖像特征,找幾個比較接近的函數模型嘗試.
（3）求出函數模型：求出（2）中找到的幾個函數模型的解析式.
（4）檢驗：將（3）中求出的幾個函數模型進行比較、驗證,得出最合適的函數模型.
（5）利用所求出的函數模型解決問題.
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