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《函數(shù)的應用（二）》真題探源
考情揭秘 函數(shù)的零點往往與方程的實根的個數(shù)、函數(shù)的圖像和性質(zhì)相結(jié)合,考查零點個數(shù)的判斷,討論零點的存在區(qū)間和零點的個數(shù),有時以求某些參數(shù)的范圍的形式考查,二分法的考查主要是對其思想方法、步驟程序的一個考查,通常均是以選擇題和填空題形式出現(xiàn),但還是有一定的難度.利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解應用問題的考查主要是培養(yǎng)學生的建模能力,在自主招生、學科競賽中有一定的指導意義.
題型1 確定函數(shù)零點方程的根所在區(qū)間
例1（1）（云南學考）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）.
A.（2,3）
B.（3,4）
C.（0,1）
D.（1,2）
（2）（2017·云南學考）設是常數(shù),,是的零點.若,,則下列不等式正確的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（3）（2017·浙江普通高中學業(yè)水平考試）若實數(shù)a,b,c滿足1A.在區(qū)間（-1,0）內(nèi)沒有實數(shù)根
B.在區(qū)間（-1,0）內(nèi)有一個實數(shù)根,在（-1,0）外有一個實數(shù)根
C.在區(qū)間（-1,0）內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根
D.在區(qū)間（-1,0）內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根
真題探源 本例取材于教材P144練習第2題及P155習題4.5第2題,主要考查函數(shù)零點存在性定理、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識,考查數(shù)學運算和邏輯推理的學科素養(yǎng).
思路點撥 （1）,,所以零點∈（2,3）,故選A.
（2）令,的零點,則,其圖像是由的圖像向下平移2017個單位長度得到的,它與x軸的交點也分別向左、向右移動,故.
（3）,對稱軸,所以在（-1,0）內(nèi)有兩個不同的零點,故選D.
答（1）A（2）C（3）D
答題模板
確定函數(shù)零點所在區(qū)間的答題步驟
定理法是指利用函數(shù)零點的存在性定理,通過判斷區(qū)間端點的函數(shù)值的積的符號來確定函數(shù)零點的方法.此種方法適用于判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間、求函數(shù)零點的近似值、求方程根的近似值、求兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標所在的范圍等問題.其步驟為：
第一步：判斷單調(diào)性.判斷給出的函數(shù)的單調(diào)性.
第二步：確定符號.確定區(qū)間端點對應的函數(shù)值的符號.
第三步：得出結(jié)論.通過得到函數(shù)零點所在的區(qū)間（a,b）.
題型2 確定函數(shù)零點的個數(shù)
例2（1）（天津高考）已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
（2）（2018·河北秦皇島高一期末統(tǒng)考）函數(shù),所有零點組成的集合為（ ）.
A.{1}
B.{-1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
真題探源 本題取材于教材P143例1,主要考查函數(shù)的零點的個數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖像等知識點,意在考查考生的運算求解能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).
思路點撥 （1）函數(shù)的零點個數(shù)即,圖像的交點個數(shù).在同一平面直角坐標系中分別畫和函數(shù)的圖像,如圖所示,其中函數(shù)的圖像可由的圖像變換得到.由圖可知,函數(shù),的圖像有2個交點,所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選A.
（2）令=0,則當x≤0時,由x+1=0得x=-1；當x>0時,由得x=1.因而所有零點組成的集合為{-1,1}.故選C.
答（1）A（2）C
解題通法
判斷函數(shù)的零點的個數(shù)的方法
（1）解方程法,方程=0的實數(shù)根的個數(shù)就是函數(shù)的零點的個數(shù)
（2）借助函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的存在性定理進行判斷；
（3）如果函數(shù)圖像易畫出,那么可依據(jù)圖像與x軸的交點的個數(shù)來判斷.特別地,對于形如的函數(shù),可通過函數(shù)與的圖像的交點的個數(shù)來判斷函數(shù)的零點的個數(shù).
題型3 與函數(shù)零點（方程的根）有關(guān)的參數(shù)問題
例1（1）（2017·全國Ⅲ高考已知函數(shù)有唯一零點,則a=（ ）.
A.
B.
C.
D.1
（2）（2018·全國l高考）已知函數(shù),.若存在2個零點,則a的取值范圍是（ ）.
A.[-1,0）
B.[0,+∞）
C.[-1,+∞）
D.[1,+∞）
真題探源 本題主要考查分段函數(shù)的零點,考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.
思路點撥 （1）,
令t=x-1,則.∵,函數(shù)為偶函數(shù).∵有唯一零點, 也有唯一零點.又為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知,解.故選C.
（2）函數(shù)存在2個零點,即關(guān)于x的方程有2個不同的實根,即函數(shù)的圖像與直線有2個交點,作出直線與函數(shù)的圖像,如圖所示.故-a≤1,∴a≥-1.
答（1）C（2）C
解題通法
根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)或所在區(qū)間求參數(shù)的方法
已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)取值范圍的方法
（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.
（2）分離參數(shù)法；先將參數(shù)分離,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形,再在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像,然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
題型4 二分法的應用
例4（浙江杭州學業(yè)水平測試）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算所得參考數(shù)據(jù)如下表：
那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（ ）.
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
真題探源 教材在P145講解了二分法的相關(guān)概念后,在P146例2中用表格的形式求出了一系列函數(shù)值,然后由表中的相關(guān)數(shù)據(jù)確定方程的近似解所在的區(qū)間,進而由精確度確定近似解,與本題是同類型的問題.
思路點撥 ∵,且,方程的一個近似根位于區(qū)間（1.4375,1.40625）內(nèi).
又∵1.4375,1.40625精確到0.1的近似值均為1.4,
∴方程的一個近似解為1.4,故選C.
答（1）C
答題模板
利用二分法求方程近似解的步驟
（1）構(gòu)造函數(shù),利用圖像確定方程的根所在的大致區(qū)間通常限制在區(qū)間（n,n+1）上,n∈Z；
（2）利用二分法求出滿足精確度的方程的根所在的區(qū)間M
（3）區(qū)間M內(nèi)的任意實數(shù)均是方程的近似解,通常取區(qū)間M的一個端點.
題型5 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應用
例5（2018·溫州二中高一檢測）某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表：
強度（J）
震級（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震強度是指地震時釋放的能量.
地震強度（x）和震級（y）的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=（其中a,b為常數(shù),a≠0）來表示.利用散點圖可知a的值約為 .（取進行計算）
真題探源 本題取材于教材P152例6,主要考查對數(shù)運算以及分析、解決實際問題的能力,考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的學科核心素養(yǎng).
思路點撥 由表中數(shù)據(jù)作出散點圖,如圖
由記錄的部分數(shù)據(jù)可知
當時,y=5.0；當時,y=5.2,
所以②-①得.所以.
答
答題模板
解函數(shù)模型不定的應用題的步驟
（1）作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖.
（2）選擇函數(shù)模型：一般是根據(jù)散點圖的特征,聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似圖像特征,找?guī)讉€比較接近的函數(shù)模型嘗試.
（3）求出函數(shù)模型：求出（2）中找到的幾個函數(shù)模型的解析式.
（4）檢驗：將（3）中求出的幾個函數(shù)模型進行比較、驗證,得出最合適的函數(shù)模型.
（5）利用所求出的函數(shù)模型解決問題.
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