資源簡介

V評價建議與測試題
一、本章學業要求
1.能夠理解指數函數的背景、概念和性質，了解對數函數的背景、概念和性質.
2.能夠從函數的觀點認識方程，并運用函數的性質求方程的近似解.
3.能夠對簡單的實際問題，選擇適當的函數構建數學模型、解決問題.
4.能夠從函數的觀點認識不等式，并運用函數的性質解不等式.
5.能夠在本章的學習中，重點提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養.
二、本章評價建議
為落實本章的學業要求，下面從核心知識評價要求、思想方法評價要求和關鍵能力評價要求這三個維度，提出具體的評價建議.
1.核心知識評價要求
依據本章的學習目標和學業要求，可列出本章的11個核心知識按照了解、理解、掌握的三個認知層次，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求.具體評價要求詳見表1.
表1
主題 知識單元 核心知識 評價要求 個數
了解 理解 掌握
函 數 指 數 函 數 與 對 數 函 數 指數函數 有理數指數冪、實數指數冪的含義 √ 3
指數冪的運算性質 √
指數函數的概念、圖象及其性質 √
對數函數 對數的概念與運算性質 √ 4
對數換底公式 √
對數函數的概念、圖象及其性質 √
指數函數與對數函數互為反函數 √
函數應用（二） 函數的零點與方程解的關系 √ 4
函數零點存在定理 √
用二分法求方程近似解 √
函數模型的應用 √
總計 7 3 1 11
對數學知識技能的評價，本章應關注學生能否把握知識之間的內在聯系.如學生能否真正理解正整數指數冪擴充到實數指數冪的過程，由指數到對數的過程，由指數冪的運算性質到對數運算性質的過程，由指數函數的概念、圖象和性質到對數函數的概念、圖象和性質的過程；能否掌握指數與對數互化的特點；能否說出指數函數與對數函數互為反函數的圖象特征.
為此，我們對本章11個核心知識的評價要求中的了解、理解和掌握三個層次的具體含義進行解析，使其對教學發揮指導作用.
（1）了解有理數指數冪、實數指數冪的含義：能類比整數指數冪、根式的概念，初步認識有理數指數冪的意義；能借助用有理數逼近無理數的思想，初步認識無理數指數冪的意義；能結合實數指數冪是有理數指數冪的進一步擴充，初步認識實數指數冪的意義.
（2）掌握指數冪的運算性質：能根據整數指數冪的運算性質導出實數指數冪的運算性質，能根據分數指數冪的意義熟練進行根式與指數冪的互化，并能熟練運用實數指數冪的運算性質進行化簡、求值和證明.
（3）理解指數函數的概念、圖象及其性質：知道指數函數的實際意義，能說出指數函數的定義，會分底數及描述指數函數的圖象特征，并能判別其單調性與特殊點；會用描點法、信息技術畫出具體指數函數的圖象，能用指數函數的單調性比較兩個指數冪的大小，能根據指數函數的圖象與性質解決一些簡單的實際問題.
（4）理解對數的概念與運算性質：能說明對數的含義，解釋對數的真數、底數的意義及其取值范圍，明確對數與指數的關系，并能根據對數的定義進行指數式與對數式的互化；能類比指數冪的運算性質發現對數的運算性質，能根據指數與對數的關系加以解釋，并能利用對數的運算性質進行對數式的求值、化簡與證明.
（5）了解對數換底公式：知道對數換底公式的作用，會用對數換底公式將已知對數化為常用對數、自然對數或指定底數的對數.
（6）了解對數函數的概念、圖象及其性質：知道對數函數的實際背景，能說出對數函數的定義，會分底數及描述對數函數的圖象特征，并能判別其單調性與特殊點；會用描點法、信息技術畫出具體對數函數的圖象，會根據對數函數的圖象與性質解釋一些簡單的實際問題.
（7）了解指數函數與對數函數互為反函數：會根據指數函數與對數函數的圖象關系，直觀發現它們互為反函數，并知道它們的圖象關于直線對稱.
（8）了解函數的零點與方程解的關系：能結合函數圖象，初步認識方程的解、函數的零點、函數的圖象與軸的公共點之間的相互關系.
（9）了解函數零點存在定理：會結合具體的連續函數及其圖象解釋函數零點存在定理，并會利用定理識別函數在某個區間內是否存在零點，以及利用函數圖象與性質判斷函數零點的個數.
（10）了解用二分法求方程近似解：知道用二分法求方程近似解的原理和步驟，并能借助信息技術用二分法求方程的近似解.
（11）理解函數模型的應用：能結合具體的實際問題情境，利用計算工具，比較對數函數、線性函數、指數函數增長的差異，并描述對數增長、直線上升、指數爆炸等術語的現實含義；能結合已知數據的特征，根據不同函數增長的差異，合理選擇函數模型，并利用所建立的函數模型解決有關實際問題.
2.思想方法評價要求
本章的數學思想方法主要包括數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想和分類討論思想等四種，具體評價要求詳見表2.
表2
思想方法 評價要求
數形結合 能以指數函數和對數函數的概念、圖象和性質為基礎，用圖象認識概念和性質；用概念和性質認識圖象；結合概念、性質和圖象，分析方程的解，解決實際問題.
函數與方程 能分析實際問題中的數量關系，并建立函數模型或方程模型解決相關實際問題；能運用函數的觀點比較兩個數的大小、研究方程的解等，并能根據函數與方程的內在關系進行函數與方程的相互轉化.
轉化與化歸 能分別將指數冪運算與對數運算、指數函數與對數函數、函數與方程相互轉化，并能在具體情境中，通過運算法則、圖象特征和函數性質等將陌生問題轉化為熟悉問題加以解決.
分類討論 能將指數函數和對數函數的底數分類研究它們的圖象與性質；能在具體問題中，對已知函數解析式中的參數進行分類，進而討論函數的性質，并解決有關問題.
（1）關注學生能否運用數形結合的思想方法.如能否利用函數圖象認識指數函數和對數函數的性質；能否結合函數的圖象和性質分析函數的零點；能否從函數圖象和性質兩方面選擇函數模型解決實際問題.
（2）關注學生能否借助信息技術理解本章的知識與方法.如能否借助信息技術的運算功能探求指數與對數的運算性質、進行實際問題中的數值計算；能否借助信息技術的作圖功能，畫出具體指數函數和對數函數的圖象，研究底數對指數函數和對數函數的函數值變化的影響；能否借助信息技術用二分法求方程近似解；能否借助信息技術比較指數函數、線性函數、對數函數增長速度的差異.
3.關鍵能力評價要求
本章的關鍵能力主要包括抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、直觀想象能力和數學建模能力，具體評價要求詳見表3.
表3
關鍵能力 評價要求
抽象概括 能在具體情境中抽象出指數、對數、指數函數、對數函數、函數零點等概念和性質；能通過特殊到一般、具體到抽象概括出指數函數和對數函數的概念、圖象和性質以及它們之間的邏輯關系；能夠在實際情境中抽象出有關指數函數和對數函數問題，并加以解決.
推理論證 能通過類比、歸納、演繹等推理過程，理解指數函數和對數函數的概念、圖象和性質；能綜合應用指數和對數的運算性質，以及指數函數和對數函數的性質進行分析、推理和論證，準確、規范使用函數的有關術語和數學符號進行表達，解決有關問題.
運算求解 能根據指數、對數的運算性質和對數的換底公式進行指數和對數運算；能根據指數函數和對數函數的概念和單調性求函數值和比較大?。荒苡枚址ㄇ蠓匠痰慕平猓荒芤罁鶎W概念、公式、法則等確定運算目標，選擇運算方法，設計運算程序，并進行合理的恒等變形、近似計算和估算.
直觀想象 能借助指數函數和對數函數的圖象特征，研究它們的基本性質和變化規律，求方程的近似解，刻畫現實問題，探討函數的本質等，形成數學直覺和數形結合的思想.
數學建模 能依托指數函數和對數函數建立函數模型，認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型的增長含義；能閱讀、理解問題情境，合理選擇函數類型，通過對已知材料的分析、整理，清晰、準確地表達數學建模的過程和結果，解決有關的實際問題.
（1）要關注學生能否形成由具體到抽象的思維品質.在本章，指數函數和對數函數的概念、圖象和性質都是通過由特殊到一般、由具體到抽象得到的，這是一個充分經歷觀察、操作、類比、推理、歸納、交流的過程.對于指數函數和對數函數，不應單純評價對其概念與性質的記憶，而應注重對其本質的理解和思想方法的把握，并結合具體問題進行評價，避免片面強調機械模仿、死記硬背和復雜技巧.
（2）要關注學生能否提升數學建模素養.如能否理解指數函數和對數函數是現實生活中的兩個重要的數學模型，并在具體問題中，認識“直線上升”“指數爆炸”“對數增長”的含義；注意將數學建模滲透在全章的學習過程之中，可以通過典型例子規范學生的建模過程，通過測試檢驗學生掌握情況，為學生以后進一步提升數學建模素養打好基礎.
三、本章命題建議
本章學業水平測試的命題，要以學業要求的達成為目標，以核心知識為基礎，以問題情境為載體，以思想方法為依托，以關鍵能力為特征，綜合體現數學學科核心素養的落實.
1.本章學業水平測試的命題意圖
（1）重視對核心知識的評價.以指數函數、對數函數的核心知識為素材，突出評價學生對指數函數和對數函數有關概念、運算、圖象和性質的了解、理解和掌握程度.如指數與對數的運算性質，函數的奇偶性、單調性、最大（小）值，函數的零點，等等.
（2）重視對思想方法的評價.以指數函數、對數函數的基本問題為載體，突出評價學生利用指數函數和對數函數研究函數圖象與性質的一般方法，注重結合具體問題情境融入對數形結合、函數與方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想方法的評價，強調通性通法，淡化特殊技巧.
（3）重視對關鍵能力的評價.以指數函數、對數函數的簡單應用為特征，突出問題情境中要蘊含數學關鍵能力的評價，注重指數函數和對數函數的核心知識、思想方法和實際應用的有機結合，重在評價學生綜合運用所學的知識建立函數模型，解決實際問題的能力.
2.本章學業水平測試題的雙向細目表
依據上述命題意圖，我們設計了本章學業水平測試題的雙向細目表（詳見表4），編制了一套示范性學業水平測試題，并給出了參考答案，以供教學參考選用.
題型 題號 問題情境 核心知識 評價要求 思想方法 關鍵能力
選擇題 1 數學 指數冪的運算性質 掌握 劃歸與轉化 運算求解
2 數學 指數函數與對數函數的關系 了解 劃歸與轉化 推理論證
3 數學 指數函數的圖象與性質 理解 數形結合 直觀想象
4 數學 函數的零點與方程的解 了解 函數與方程 推理論證
填空題 5 數學 函數的零點與方程的解 了解 函數與方程 抽象概括
6 數學 指數函數的圖象與性質 理解 分類討論 運算求解
7 數學 對數函數的圖象與性質 了解 轉化與劃歸 運算求解
解答題 8 數學 對數的運算性質 理解 函數與方程 推理論證
9 數學 指數函數的性質 理解 劃歸與轉化 推理論證
10 現實 函數模型的應用 理解 數形結合 數學建模

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